Fejér teoremi

In matematik ve daha doğrusu içinde analiz , Fejer teoremi ana biridir sonuçlarının Fourier serileri arasında teorisi . Cesàro toplama işlemi kullanıldığında, Fourier serileri için çok genel yakınsaklık özellikleri verir . Matematikçi Lipót Fejér tarafından 1900'de gösterildi .

Eyaletler

Fejer teoremi : Let $f olmak$ bir yerel integrallenebilirdir ve $2π$ -periyodik fonksiyonu. Fark ederiz

{\ displaystyle S_ {n} (f) (x): = \ toplamı _ {k = -n} ^ {n} c_ {k} (f) \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} kx}}

Sipariş süresi n kendi içinde Fourier serileri ile

{\ displaystyle c_ {k} (f): = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} kt} \, \ mathrm {d} t}

sonra

{\ displaystyle \ sigma _ {N} (f) \ iki nokta üst üste x \ longmapsto {\ frac {1} {N + 1}} \ toplamı _ {n = 0} ^ {N} S_ {n} (f) (x )}

Ardışık Cesàro, Fourier serisinin terimlerini ifade eder. Daha sonra aşağıdaki ifadelere sahibiz:

Fejér teoremi, tek tip versiyon: Eğer $f$ süreklidir, bu durumda, işlevlere dizi eşit yakınsar fonksiyonu $f$ için tüm, bundan başka, birlikte, N , $\ sigma_N (f)$ ${\ displaystyle \ | \ sigma _ {N} (f) \ | _ {\ infty} \ leqslant \ | f \ | _ {\ infty}}$ ;
Fejér teoremi, sürüm L p , aynı zamanda Fejér-Lebesgue teoremi olarak da adlandırılır : ${\ displaystyle (1 \ leqslant p <+ \ infty)}$ Eğer $f$ L p uzayına aitse , o zaman fonksiyonlar dizisi norm anlamında $f$ fonksiyonuna yakınsar , ek olarak tüm N için , $\ sigma_N (f)$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {p}}$ ${\ displaystyle \ | \ sigma _ {N} (f) \ | _ {p} \ leqslant \ | f \ | _ {p}}$ .

Başvurular

Fourier serisine ilişkin birçok sonuç, Fejér teoreminin bir sonucu olarak elde edilebilir. Aşağıdaki önermelerde, dikkate alınan tüm işlevler $2π$ -dönemseldir.

Fourier katsayılarını integrallenebilir bir fonksiyonla ilişkilendiren uygulama enjektiftir.

Enjektivite

L 1

uzayında anlaşılmalıdır , yani aynı Fourier katsayılarına sahip iki fonksiyon hemen hemen her yerde eşittir. İki sürekli fonksiyon durumunda, bunlar eşittir.

Düzgün Fejér teoremi , trigonometrik Weierstrass teoreminin olası kanıtlarından birini oluşturur : eğer $f$ sürekli bir fonksiyonsa, $f'ye$ tekdüze olarak yakınsayan bir trigonometrik polinom dizisi vardır . Benzer şekilde, Fejér-Lebesgue teoremi, farklı L p uzaylarındaki trigonometrik polinomların uzayının yoğunluğunun kanıtını sağlar .
Eğer $f$ süreklidir ve bir nokta için Fourier serisi yakınsak eğer x , o zaman mutlaka yakınsamaktadır $f ( x )$ .

Bu, bir fonksiyonun Taylor serisinin davranışı ile karşılaştırılmalıdır , bu çok iyi bir şekilde fonksiyonun değerinden farklı bir değere yakınsayabilir.

Jordan-Dirichlet teoreminin tek tip bir versiyonunu kanıtlamak için Fejér teoremini kullanabiliriz : eğer $f$ sürekli ve sınırlı varyasyonluysa , Fourier $f$ serisi homojen olarak $f'ye$ yakınsar .

Notlar ve referanslar

Lipót Fejér, “İntegral ve sınırlı fonksiyonlar hakkında”, CR Acad. Sci. Paris , 10 Aralık 1900, s. 984-987 , çevrimiçi okuyun .
(de) Leopold Fejér, "Untersuchungen über Fouriersche Reihen", Math. Annalen , cilt. 58 , 1904 , s. 51-69 .