Hopf-Rinow teoremi
( M , g ) bağlı bir Riemann manifoldu olsun ( sınırsız ). Hopf-Rinow teoremi aşağıdaki özellikleri eşdeğer olduğunu söylüyor:
- Bir nokta da mevcuttur m de M için de tatbik üstel orijinal m ayarlanır T m M .
- Herhangi bir nokta için m olarak M , üstel orijinal m ayarlanır T m M .
- Manifold ( M , g ) jeodezik olarak tamamlanmıştır, yani jeodezikler ℝ üzerinde tanımlanmıştır.
- Boşluk M olan tam Riemannsal mesafe.
- Kapalı ve sınırlandırılmış parçalar vardır kompakt .
Aynı zamanda, bu durumda herhangi bir iki nokta bir ve b arasında M uzunluğu bir jeodezik ile bağlı olabilir d ( a , b ). Özellikle, üstel harita (kökeni ne olursa olsun) örtendir .
Teorem, Heinz Hopf ve öğrencisi Willi Rinow'un (de) (1907-1979) adını almıştır .
Uzunluk uzayları çerçevesinde daha genel bir versiyona izin verir .
Örnekler
- Hopf-Rinow teoremi, tüm kompakt, bağlantılı Riemann manifoldlarının jeodezik olarak tamamlandığını ima eder. Örneğin, küre jeodezik olarak tamamlanmıştır.
- Öklid alan ℝ n ve hiperbolik alanlarda jeodezik tamamlandı.
- Metrik uzay M : = ℝ 2 \ {0} neden Öklit metriği ile jeodezik tam değildir. Aslında, M'de iki zıt nokta herhangi bir jeodezik ile bağlantılı değildir. Metrik uzay M de 2'de kapalı olmadığından tam değildir .
Lie gruplarına uygulama
Let G olmak bir Lie grubu ile donatılmış bir iki-değişmeyen metrik Riemannsal (bu tür bir ölçüm her zaman vardır G olan kompakt ). Böyle bir metrikle ilişkili nötr öğedeki üstel, Lie grupları teorisi anlamında üstel ile çakışır . Özellikle nötr elementten geçen jeodezikler tek parametreli alt gruplarla tanımlanır . Bu nedenle:
- herhangi bir kompakt Lie grubu G için üstel (Lie grubu teorisi anlamında) örtendir;
- Lie grubu SL (2, ℝ) herhangi bir çift-değişmez Riemann metriğini kabul etmez (üstel, örten olmadığından, örneğin alın ).
