Gelen matematik , hiperbolik geometrisi (daha önce adı geçen geometrisi Lobachevsky a, derinlemesine bunun çalışma yayınlamak ilk, Kim) Öklid dışı geometri doğrulanması ilk dört önermeleri arasında Öklid , ancak kendileri için beşinci önerme , eşdeğerdir bir doğrunun dışındaki bir noktanın ona paralel olan bir ve yalnızca bir doğruyu geçtiğini iddia etmek, yerine "bir doğrunun dışındaki bir noktanın buna paralel birkaç doğru geçmesini" öngören postulat (o zaman bir sonsuzluk).
Hiperbolik geometride, Öklid geometrisinin metrik özelliklerinin çoğu artık geçerli değildir; özellikle Pisagor teoremi artık doğrulanmamaktadır ve bir üçgenin açılarının toplamı her zaman 180°'den küçüktür. Bununla birlikte çizgiler, iki noktayı birleştiren en kısa yol çizgileri olarak kalır; bu , hiperbolik düzlem durumunda Beltrami'nin , eliptik geometrinin çizgileri büyük daireler tarafından modellendiğinden , onları sabit negatif eğrilikli bir yüzey üzerinde jeodezik olarak modellemesine izin verdi. bir küre üzerinde .
Beltrami sonra, Klein ve Poincare birçok inşa modelleri gibi hiperbolik geometrisi, hiperboloit model olarak ya da Poincare disk . Bu modeller göstermektedir bağımsız bir paralellik aksiyomu diğer aksiyomlarından öyle, gösteren (veya çürüten) imkansızlığı; bu aynı zamanda Öklid geometrisi bir çelişki içermiyorsa hiperbolik geometrinin de çelişki içerdiği anlamına gelir.
Fiziksel uzayımızın “gerçek” geometrisinin belirlenmesi, Öklidyen olmayan geometrilerin keşfinden doğdu; başında XXI inci yüzyıl, deneysel testler hala olan ne karar vermek kullanılmaz düzlük sorun , biri kozmolojinin çözülmemiş sorular.
Öklid beşinci postülası (şu anda "denilen paralellikler aksiyomu ") her zaman diğer dört çok daha az 'doğal' bir durum olduğu için, ve bunun yerine bir hâle gelmiş görünüyor kimin kanıtı henüz elde edilmemişti teoremi . Kanıtlama girişimleri Antik Çağ'dan beri ortaya çıkıyor ve birçok hatalı "kanıt" var. Bunu diğerlerinden çıkarmanın en umut verici yolu , saçma sapan akıl yürütmek gibi görünüyor ve birkaç matematikçi, iki çizginin dik olması gerçeği gibi sağduyuyla çelişiyor gibi görünen postulat sonuçlarını inkar ederek elde etmeyi başardığına inanıyordu. aynı doğruya her iki yönde de birbirinden uzaklaşacaktır. Ancak bu girişimlerin başarısızlıkları, yavaş yavaş başka geometrilerin de mümkün olduğu fikrine ve Öklidyen olmayan geometrilerin keşfine yol açacaktır .
Hiperbolik geometrinin kendisinin geçmişi ancak başında başlayacak gibi görünüyor XVIII inci İtalyan matematikçi çalışmalarından yüzyıl Giovanni Girolamo Saccheri hayatının, çalışmalarına gösterme amacı taşıyan, naevo vindicatus omni Euclides ab ( Öklid tüm leke yıkanmış ), Öklid'in varsayımlarının tutarlı ve geometriyi tanımlamak için gerekli olduğunu. Özellikle beşinci postülatın yanlış olduğunu varsayarak, bir çelişki elde edene kadar bu hipotezin tüm sonuçlarını geliştirmeye çalışır. Çok sayıda garip teorem elde ederek, ancak bunlar arasında herhangi bir tutarsızlık göstermeyerek bu girişiminde başarısız olur. Önünde yeni bir geometri olduğunun farkına varmadan, yarı başarısız olduğunu kabul ederek işini bitirir.
Ortasında XVIII inci yüzyılın Johann Heinrich Lambert da öncül reddi sonuçlarını inceledi ve toplamı açıları için, formül (şimdiki hiperbolik geometrisi ait olduğu kabul) bu varsayım teoremi ve kesin sonuçlar altında alır alanının bir fonksiyonu olarak bir üçgen: C Δ = π - (α + β + γ) , burada α, β, γ üçgenin üç köşesinin açılarıdır, C a orantılılık katsayısı ve Δ alanıdır üçgen. Ömrünün sonuna doğru, bu teoremlerin "hayali bir yarıçap küresi üzerinde" otantik geometrinin varlığını ortaya koyduğunu anlamış görünüyor .
Hiperbolik geometrinin gerçek başlangıç noktası olarak kabul edilen Carl Friedrich Gauss'un eseridir , ancak bunlar yaşamı boyunca hiç yayınlanmamıştır. 1813'ten itibaren notlarında yapılandırılmış bir teori formüle etti ve görünüşe göre bu geometrinin Öklid geometrisine eşdeğer bir matematiksel statüye sahip olduğunun tamamen farkındaydı.
Hiperbolik geometri, 1830'dan itibaren Nikolai Lobachevsky ve 1825'ten bağımsız olarak János Bolyai tarafından 1831'de yayınlanan eserlerde yeniden keşfedildi ve kapsamlı bir şekilde araştırıldı ; bununla birlikte, bu eserler, Gauss ve Heinrich Christian Schumacher arasındaki yazışmaların 1865'te yayınlandığı ve Gauss'un Lobachevsky ve Bolyai'den övgüyle bahsettiği zaman, ancak çok geç tanındı .
Hiperbolik geometri, gerçek anlamda pratik önemi olmayan bir merak olarak kabul edilir (Lobachevsky, fiziksel uzayın gerçek geometrisine karşıt olması anlamında bunu "hayali geometri" olarak adlandırır), Eugenio Beltrami 1868'de (kendisi temsiller olarak adlandırdığı) birkaç model önerene kadar. ), sonradan sırasıyla Henri Poincaré ve Felix Klein tarafından yeniden keşfedilen konformal ve projektif temsiller ve ayrıca pseudosphere modeli dahil . O Öklit geometrisi ise bu durum bu temsiller yardımıyla gösteriyor matematiksel olarak tutarlı , daha sonra hiperbolik geometri öyle ve bu nedenle mutlaka bir paralellik aksiyomu olan bağımsız başkalarının.
1872'de Felix Klein, Erlangen'in programında , Öklid ve Öklid olmayan tüm geometrilerin, ayrıcalıklı bir konik ( mutlak konik olarak adlandırılır ) kullanarak projektif geometrinin alt geometrileri olarak görülebileceğini gösterir (bu yapı tanımlayandır. Cayley- Klein mt ); Mutlak bir konik olarak "gerçek" bir koniğin seçimi Lobachevsky'nin geometrisini oluşturmayı mümkün kılar ve Klein'ın ona verdiği ve bundan böyle onunla ilişkilendirilen "hiperbolik geometri"nin adını kısmen açıklar.
Bu bölüm sadece düzlem şekillerin özelliklerini detaylandırmaktadır; gerçekten de, daha yüksek boyuttaki hiperbolik uzayın geometrisi, Öklid durumunda olduğu gibi düzleminkinden çıkarılabilir ve esasen yeni bir fenomen ortaya çıkmaz.
Öklid aksiyomlarından (veya Hilbert'inki gibi daha titiz ve modern bir formülasyondan) gösterilebilen düzlemin özelliklerinin, paraleller aksiyomu dışında , mutlak geometriye ait olduğu söylenir . Böylece, örneğin, aynı doğruya iki dikin ortak noktası olmadığını ve bu nedenle her zaman paralellerin olduğunu gösteriyoruz (bu yüzden eliptik geometri mutlak bir geometri değildir). Hiperbolik geometrinin birçok özelliği, bazen bir yeniden formüle etme pahasına, benzer şekilde Öklid geometrisininkilerle örtüşür: böylece, herhangi bir üçgenin iç açıortaylarının eşzamanlı olduğu kolayca gösterilebilir ( klasik kanıt paralellik kavramını kullanmaz) ve dolayısıyla bu üçgende yazılı bir daire var ; dik açıortayların özellikleri, onların da eşzamanlı olduklarını ve dolayısıyla çevrelenmiş bir dairenin de var olduğunu düşünmemize yol açar , ancak bu sonuç hiperbolik düzlemde genellikle yanlıştır, çünkü iki eşzamanlı doğruya iki dik paralel olabilir; doğru olan, bir üçgenin iki dik açıortayının kesişmesi durumunda, üç dik açıortayın eşzamanlı olduğudur (aynı sonuç üçgenin yükseklikleri için de geçerlidir ).
Hiperbolik geometri, mutlak geometriden, paraleller aksiyomunun (veya daha doğrusu Proclus tarafından verilen versiyonun ) örneğin "aynı üçüncüye paralel en az iki eşzamanlı doğru var" şeklindeki bir aksiyomla değiştirilmesiyle elde edilir . Daha sonra herhangi bir hat için ispat D ve herhangi bir nokta için P değil ile D , bir içinden geçen çizgilerin sonsuz vardır P ve karşılamayan D açısı 2 oluşturan iki sınır çizgileri arasında yer alan, İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin olan mesafeye sadece olarak P için D ; θ paralellik açısı olarak adlandırılır (bu açının uzaklığın bir fonksiyonu olarak hesaplanması metrik özelliklere ayrılan bölümde yapılacaktır ). İki sınır çizgileri olduğu söylenen asimptotik paralel için D (bazı yazarlar asimptotik paralellikler terimi paralellikler ayıracağı, diğer olmayan kesen daha sonra olduğu söylenir ultraparallel veya bazen hyperparallel ). Düzlemin iki çizgisi sekant değilse (olağan Öklid anlamında paralel), bunların ya asimptot olduklarını ya da her ikisine de dik bir ve sadece bir çizgi olduğunu kanıtlıyoruz; bu ortak dikey üzerinde kesilen segment, bu iki çizgi arasındaki minimum mesafeye karşılık gelir (iki asimptotik çizgi için sıfırdır). Paralel çizgiler arasındaki bir denklik ilişkisi ve bir çizginin sonsuzluğundaki bir nokta ( projektif geometride , bu çizginin l 'sonsuz çizgisiyle kesişimi olarak tanımlanır) olarak tanımlanan bir çizginin yönüne ilişkin Öklid kavramları ortadan kalkar, ancak asimptotik paraleller (şimdi iki yöne sahip olan doğrular) ile sonsuzdaki noktalar kavramı arasında bir denklik ilişkisi tanımlamak mümkün olmaya devam etmektedir; örneğin, Poincare diskinin modelinde , sonsuzdaki noktalar diski sınırlayan bir daire oluşturur ve her çizgi (bu modelde bir daire yayı ile temsil edilir) bu sınırlayıcı daireyi iki yönüne karşılık gelen iki noktada keser, iki Sonsuzda ortak bir noktaları varsa, doğrular paralel asimptotlardır.
Yarıçaplı bir daire metrik özellikler r , çevresi ve kendi alanında daha oranlarının daha büyük olmasını: Öklid düzleminin farklılık 2π r ve π r 2 . Ama buna ek olarak, Öklid çizgilerinin belirli karakteristik özellikleri, Öklid benzeri olmayan, ancak bazı yönlerden genelleştirilmiş daireler olarak yorumlanabilen hiperbolik düzlemin eğrilerini tanımlar: sabit bir d d ' mesafesinde bulunan noktalar, belirli bir D düz çizgisi oluşturur. hiper döngü adı verilen bir eğri ; olan eğriler normaller tüm noktalarda asimptotik paralel çizgiler olarak adlandırılır ailesinde horocycles (veya bazen horicycles ). Gelen Poincare disk modeli , daireler, horocycles ve hiper (aynı zamanda hat) tüm çevre veya yayların ile temsil edilmektedir. Bir üçgen oluşturan üç noktadan, bu ailenin tek bir eğrisi (bir daire, bir horocycle veya bir hipercycle) geçer, bu nedenle bu üçgenle sınırlandırılmış daire kavramını genelleştirir. Son olarak, eğer bir P n ( ) noktaları dizisi, S n = [ P n P n +1 ] doğru parçalarının hepsi aynı uzunlukta ve bu parçalar arasındaki açıların hepsi eşit ve yeterince büyük olacak şekilde ise, bir çokgen sonsuz düzenli , düzenli apeirogon olarak adlandırılır , bir horocycle veya bir hipercycle içinde yazılıdır.
Bir üst açı düzgün çokgen ile n, (geçerli olduğu iki Öklid düzleminde) uzunluğu bağlıdır a hiperbolik geometrisi yan ve istediğimiz kadar küçük yapılabilir; bu nedenle hiperbolik düzlemi, herhangi bir sayıda kenarı olan düzenli çokgenlerle ve ortak bir tepe noktasına sahip herhangi bir sayıda çokgenle (Öklid düzleminde üç düzenli döşemeden daha fazla olmamasına rağmen ) düzgün bir şekilde döşeyebiliriz . Karşıdaki örnek (Poincare diski modelinde ) beş dik açıya sahip düzgün beşgenlerle döşemeyi temsil eder .
Öklid düzleminden farklı olarak, hiperbolik düzlemde, küresel geometrideki kürenin yarıçapına benzer ve bir "eğrilik" olarak yorumlanabilen, örneğin Öklid düzleminin bir deformasyonu olarak yorumlanabilen mutlak bir uzunluk ölçeği vardır. 180 ° 'den küçük bir üçgenin açılarının toplamı; Gauss , daha genel olarak, sadece yüzey üzerine çizilen çizgileri kullanarak herhangi bir yüzey için içsel eğrilik kavramını tanımladı ; bu tanımla hiperbolik düzlemin sürekli eğri bir yüzey negatif K olduğu gösterilmiştir . Uygun uzunluk birimini seçerek, K'yi -1'e eşit alabiliriz ; aşağıda kullanılacak olan bu sözleşmedir. Daha genel formüller için, orada görünen tüm uzunlukları -K ile çarpmak gerekir ; bu nedenle, genel durumda, bir dik üçgenin kenarları arasındaki ilişki cosh ( Kc ) = cosh ( Ka ) cosh ( Kb ) olur ve yarıçaplı bir diskin alanı r olur .
paralellik açısıEğer P hattı dışında bir nokta D ve H üzerinde dik izdüşüm D ile ( a = HD mesafe P için D , bir dik üçgen için aşağıdaki formüller) HSH ile, M ile D sonsuzda uzaklaşmakta, kurşun için paralellik açısının sinüsünü veren formül θ , Lobachevsky tarafından keşfedilen formül :
.P , D' den uzaklaştıkça bu açı hızla 0'a yönelir , yani P'den geçen çizgilerin çoğu D'ye paraleldir .
AlanlarYarıçapı bir dairenin çevre r olan 2π SİNH ( r ) = π (e r e - - r ) karşılık gelen disk ve bir alandır ; bu nedenle, bir diskin alanı, yarıçapı ile Öklid düzleminden çok daha hızlı büyür. Bir üçgenin alanı Δ için oldukça farklıdır ( kenarlar büyük olduğu için α , β ve γ açılarının tümü daha küçüktür): Lambert , Δ = π - (α + β + γ ) formülünün aynı olduğunu gösterdi. oturum Girard formül içinde küresel trigonometri bir üçgenin açılarının toplamı daima daha az olduğunu geçerken ve gösterir tt .
Hiperbolik üçgenin trigonometrisiBiçimsel olarak, hiperbolik düzleme karşılık gelen sonuçlar, hayali yarıçapı R = i olan bir küre üzerine çizilen üçgeni varsayarak elde edilebilir (yani R 2 = -1 ); başka bir deyişle, klasik küresel trigonometri formüllerinde yayların sinüslerini ve kosinüslerini ( açıların değil) hiperbolik sinüs ve kosinüslerle değiştirerek (ve belirli işaretleri düzelterek). Böylece, bir ABC üçgeni için , küresel durumda olduğu gibi aynı kurallara sahip (kenarlar a = BC , b = AC ve c = AB olarak belirtilmiştir; karşılık gelen açılar α , β ve γ olarak belirtilmiştir ), bir kosinüs yasasına sahibiz : cosh ( c ) = cosh ( a ) cosh ( b ) - sinh ( a ) sinh ( b ) cos (γ) , bir ikili kosinüs yasası : cos (γ) = - cos (α) cos (β) + sin (α) sin (β) cosh ( c ) ve sinüs yasası : . Özellikle, C'deki bir dik üçgen için cosh ( c ) = cosh ( a ) cosh ( b ) elde ederiz ; cosh gibi ( x ) ≈ 1 +x 22yeterince küçük x için , sonunda Pisagor teoremini buluruz.
Oryantasyonu koruyan bir izometriyi hareket ettiren plana diyorlar . Rotasyonlar hiperbolik düzlemin tam Öklid geometride olduğu gibi tanımlanmıştır: eğer r, merkezi dönme olan C ve açı a, görüntünün A ile r , A ' = R ( A ), bu tür bir nokta = CA CA' ve açı ; bu dönüşümün gerçekten bir yer değiştirme olduğunun ispatı, paraleller aksiyomuna bağlı değildir. Öte yandan, hiperbolik geometride gerçek öteleme analogları yoktur ; buna en yakın olan, sonsuz C'deki bir nokta etrafında bir dönmedir , bu noktada eksenler için iki eşzamanlı düz çizgiye sahip iki dik simetrinin bileşiği tarafından oluşturulan bir dönüşümdür (dolayısıyla paralel asimptotlar); böyle bir dönüşümün yinelemelerinde, her nokta, C merkezinin bir horocycle'ında yazılı düzenli bir apeirogonun köşelerinden geçer (bu dönüşüme bazen C merkezinin horolasyonu denir ). Daha genel olarak, hiperbolik düzlemin herhangi bir yer değiştirmesinin iki ortogonal simetriden oluştuğu gösterilmiştir: simetri eksenleri karıştırılırsa özdeşliktir, kesişirlerse sıradan bir dönüştür, paralel olduklarında bir horolasyondur. asimptotlar ve son olarak, eğer simetrinin iki ekseni ultraparalel ise, bu yer değiştirme ortak dik açıları boyunca bir ötelemedir, hiper döngüleri geçen diğer noktalar eksen için bu dikliğe sahiptir.
Tarafından icat René Descartes arasında onun adını taşıyacak koordinat sistemleri doğurdu analitik geometri , geometri yöntemleri ile sorunları çözmek için cebir . Hiperbolik düzlemin noktalarını aynı şekilde sayı çiftleriyle belirlemek mümkündür, en yaygın kullanılan sistem eksenel koordinatlardır (bir noktanın koordinatları iki dik eksen üzerindeki ortogonal izdüşümlerini alarak), ancak bu sistemler alışılmış şekilleri (çizgiler ve daireler) tanımlayan veya açıları ve mesafeleri hesaplamaya izin veren formüllerin karmaşıklığı nedeniyle de uygun olmaktan uzak; bu nedenle çoğu bilgisayar uygulaması Poincaré disk modelinde hesaplamalardan geçer .
Modellerin teorisi tarafından inşa örneklerde tam kaynağını bulur Eugenio Beltrami onlara adını verdi, temsiller ; Ona göre, bir geometrinin temsili , olağan Öklid uzayında (veya daha genel olarak uzayda ), bir geometriye ve özelliklerine tutarlı bir şekilde karşılık gelen nesnelerin bir yapısıdır . Örneğin, Minkowski diyagramı Minkowski geometrisinin bir temsilidir ; büyük daireleri olan küre , eliptik geometrinin bir temsilini oluşturur . Beltrami o titizlikle göstermek için elde etmişti farklı temsillerini kullanılan bağımsızlığını ait paralellik aksiyomu .
Hiperbolik geometrinin tüm temsilleri matematiksel bir bakış açısından eşdeğerdir, yani bir temsilden diğerine geçmeye izin veren izomorfizmler vardır ; işte bu anlamda matematikçiler hiperbolik düzlemden tek bir nesne olarak söz ederler.
Aşağıda verilen farklı temsillerin gerçekten hiperbolik geometri modelleri olduğundan emin olmak için (diğer bir deyişle, tüm aksiyomlarını doğruladıklarından), “çizgilerin” ne olduğunu söylemek yeterli değildir. Bu kavramını tanımlamak gereklidir bağdaşım aynı şey hangi miktarda (segmentlerinin) ya da bir mesafe (zorunlu alan sıradan mesafeden farklı olacaktır) noktaları arasında. Her model için bu mesafeleri tanımlayan formüller ilgili ayrıntılı makalelerde bulunabilir.
Bu modelde hiperbolik uzay açık bir Öklid topudur. 2. boyutta, hiperbolik düzlem bu nedenle açık bir disk tarafından modellenir. Hiperbolik uzayın çizgileri, uçları topun kenarına ait olan parçalardır; mesafe ile verilir Cayley- Klein metrik . Bu modelde hiperbolik çizgilerin gösterimi kolaydır, ancak açılar korunmaz ve daireler elipslerle temsil edilir.
Modelin alanını sınırlayan küre (veya boyut 2'deki daire) , sonsuzda bulunan hiperbolik uzayın noktalarına karşılık gelir . Ayrıca, alanın kenarına ne kadar yaklaşırsak, modelde mesafeler o kadar daralmış görünüyor.
Klein-Beltrami modelinde olduğu gibi, bu modelde hiperbolik uzay açık bir Öklid topuyla (ve dolayısıyla 2 boyutlu bir diskle) temsil edilir, ancak bu hiperbolik uzayın çizgileri topun kenarına dik olan dairelerin yaylarıdır. ; mesafe Poincare metriği ile tanımlanır . Bu gösterimin ilgi alanı, yerel olarak, uzayın metriğinin, bir faktörle, modelin Öklid metriği olmasıdır. Özellikle hiperbolik uzayın iki çizgisi arasındaki açı, bu iki çizgiyi temsil eden modelin iki çemberinin oluşturduğu Öklid geometrisinin açısına eşittir. Hiperbolik uzayın temsilinin uyumlu olduğunu söylüyoruz .
Klein-Beltrami modelinde olduğu gibi, modelin alanını sınırlayan küre (veya boyut 2'deki daire) , sonsuzda bulunan hiperbolik uzayın noktalarına karşılık gelir , mesafeler alanın kenarından yaklaşırken daralır gibi görünür.
Bu modelde hiperbolik uzay, 'nin açık bir yarı uzayıdır . 2. boyutta, hiperbolik düzlem bu nedenle bir Öklid yarı düzlemi tarafından modellenir. Bu hiperbolik uzayın çizgileri, yarı-uzayı sınırlayan hiperdüzleme (veya boyut 2'deki çizgiye) dik olan dairelerin yaylarıdır; mesafe metrik kullanılarak tanımlanır Temsil yine tutarlıdır.
Bu modelde, alanı sınırlayan hiperdüzlem (veya boyut 2'deki düz çizgi) , sonsuzda bulunan hiperbolik uzayın noktalarına karşılık gelir . Mesafeler bu hiper düzleme yaklaştıkça küçülür ve uzaklaştıkça genişler.
Poincare ve özellikle 1880'lerde Killing tarafından incelenen bu modelde, hiperbolik uzay, belirli bir metrik ile sağlanan bir hiperboloid tabakasıdır . Daha doğrusu, Minkowski uzayında , yani R n +1 , psödometrik - dx ile donatılmış2
0+ dx2
1+ ... + dx2
n, denklem x hiperboloidinin sayfasıdır2
0- x2
1- ... - x2
n= 1 öyle ki x 0 > 0 , aslında homojen bir Riemann metriği olan indüklenmiş psödometrik ile sağlanır. Minkowski 1908'de bu modelin özel göreliliğin hız vektörlerinin ( Geschwindigkeitsvectoren ) uzayıyla tanımlandığını gösterdi .
Eugenio Beltrami 1868'de hiperbolik düzlemin bir modeli olarak negatif sabit eğrilikli bir yüzey almayı (ve bu yüzeyin jeodeziklerini "çizgiler" olarak adlandırmayı ) önerdi . ( Hilbert'in bir teoremine göre ) böylece tekillikleri sunmayan tüm hiperbolik düzlemin bir modelini elde etmek imkansızdır , ancak sözde küre en iyi temsildir ; ayrıca jeodezikler boyunca mesafeleri ölçerek olağan metriği koruma avantajına da sahiptir. Henri Poincaré , hiperbolik düzlemin , jeodezikleriyle sağlanan tam ve basit bir şekilde bağlanmış sabit negatif eğriliğin herhangi bir "soyut" yüzeyiyle (teknik olarak, herhangi bir Riemann manifoldu 2 boyutuyla) eşdeğerliğini daha genel olarak gösterdi ; bu sonuç onun üniformizasyon teoreminin özel bir halidir .
Boyuta hiperbolik bir boşluk tanımlamak için n , belirtilen H , n o (örneğin dayanarak yeniden belitsel yaklaşım kullanmak mümkündür, Hilbert'in aksiyomlardan ); Öte yandan, Felix Klein'ın tanımı , mutlak konik yerine bir hiperkuadrik getirilerek herhangi bir boyutta kolaylıkla genelleştirilebilir .
Bununla birlikte, modern tanımlar, Riemann manifoldu kavramına güvenmeyi tercih eder : H n , sabit ve negatif bir kesit eğriliğine sahip , basit bağlantılı simetrik , n boyutunda bir Riemann manifoldudur ( bu özellikleri karşılayan tüm manifoldlar izomorfiktir ve hatta izometriktir). "Çizgiler" bu manifoldun jeodezikleridir ve her noktadan daha önce incelenen hiperbolik düzleme izomorfik en az bir alt manifolddan geçer; karşılıklı olarak, belirli bir manifoldla hangi geometrilerin uyumlu olduğunu (ve özellikle hiperbolik bir geometri ile donatılması için hangi koşulların gerekli olduğunu) merak etmeye yol açan bu yaklaşımdır; Bu araştırma ile gösteri 2003 yılında sonuçlandı Grigori Perelman ait Thurston Geometrikleştirme varsayım .
Üçüncü bir daha yapıcı bir yaklaşım tanımlanmasında oluşur H , n (hepsi birbirine izomorfik) Yukarıdaki modellerden biri, olarak hiperboloid modeli hesaplamalar basitlik veya elde Poincare modeli , uyumluluğunu uygun grafik temsilleri,. Hiperboloit modeli, özellikle, bir şekilde tanımlanabilir bölüm a matrisler alan zengin bir cebirsel yapı verir, ve üzerinde çalışmayı kolaylaştırmaktadır, izometrileri .
Birkaç tamamen geometrik yaklaşım da önerilmiştir; bir yanda, 1959'da yalnızca geliş, diklik ve izometri kavramları kullanılarak oluşturulan Bachmann'ın aksiyomatiği ; Öte yandan, 2000'li yılların başında, hiperbolik geometri için bir cebirsel yapının , gyrovektörel uzayın keşfi , Öklid geometrisi için vektör uzayının yapısının oynadığı rolün aynısını oynuyor.
Daha genel olarak, Mikhail Gromov 1985 civarında hiperbolik metrik uzayları keşfetti , hiperbolik uzayın özelliklerine benzer özelliklere sahip uzaylar ve mesafeleri arasındaki bir bağıntı kullanılarak tanımlanır, bunlar Gromov'un çarpımıdır .
Modüler grubu daha özel olarak Poincaré'in temsillerine, hiperbolik düzeyde doğal etki eder bu modellerde Möbius dönüşümleri ile temsil edilen yer değiştirme grubunun bir alt grubudur . Modüler eğrileri modüler grubun bazı alt gruplar hiperbolik düzlemin katsayılar gibi tanımlanmıştır; karşılık gelen denklik sınıfları, özellikle Poincare , Dedekind ve Klein tarafından incelenen hiperbolik düzlemin döşemelerine yol açar .
Jeodezik akışı bir üzerinde kompakt Riemann negatif eğrilik ile manifolduna olan en kaotik sürekli zaman dinamik sistem prototipi bir özellik gibi erken 1898 olarak tarafından fark, A. Edison . Artık bu akışın Bernoulli olduğunu ve bu nedenle özellikle ergodik, karıştırma (" karıştırma ") vb. olduğunu biliyoruz . Taşkın ve uygulamaları hakkında çok sayıda ayrıntılı çalışma 1980'lerin sonlarından itibaren yayınlandı.
Karmaşıklık teorisi , olağan biçimde, sinyaller anında yaymak bir dünya varsayar ve nerede dolayısıyla bir verinin okunması her zaman aynı zaman alır. Ancak daha ayrıntılı analizler önerildi; daha sonra hiperbolik bir dünyada, belirli bir mesafede çok daha fazla bilginin saklanabileceği, bu da belirli hesaplamaları hızlandırmayı mümkün kıldığı fark edildi; özellikle, daha sonra P = NP olduğunu gösterebiliriz (ne yazık ki pratik bir uygulaması olmayan sonuç).
1908 gibi erken bir tarihte Hermann Minkowski , özel göreliliğin hız vektörlerinin uzayının hiperbolik düzlem gibi davrandığını fark etti (bu, hiperboloidin modelidir ). Böylece hızların bileşimi , 2000'li yıllarda Abraham A. Ungar da dahil olmak üzere çeşitli yazarlar tarafından tanımlanan ve incelenen ve hiperbolik geometride uygun uygulamalar bulan jirovektör uzayı adı verilen cebirsel bir yapıya yol açar. arasında Bloch küre .
Gauss , daha sonra Lobachevsky , fiziksel uzayın geometrisinin Öklidyen olmadığını, ancak elde edebildikleri jeodezik ve hatta astrometrik ölçümlerin yalnızca paralellik aksiyomunu doğruladığını düşündü. Einstein , modeli kütlelerin uzayı "büktüğünü" varsayan genel görelilik teorisini formüle ettiğinde, soru fiziksel bir bakış açısıyla ele alındı . Bir bütün olarak uzayın geometrisini ve özellikle eğriliğini belirlemek , özellikle hiperbolik bir uzayda, bir kürenin hacminin yarıçapının küpünden çok daha hızlı büyüdüğü gerçeğini kullanarak deneysel testlere duyarlı bir soru haline gelir. . Erken 21 inci : yüzyılda, ancak, uzay fiziği mevcut bilginin çok açıklamak olmadığını, ölçümlerin doğruluğunu "düz" (Öklit) görünüyor düzlük sorunu . Bununla birlikte, bazı kozmolojistler gibi Jean-Pierre Luminet , evren modelleri bazıları hiperbolik alanı elde edilir, “buruşuk evrenin” adı altında, önermişlerdir H 3 (a oluşturarak ondan bölüm alanı ), ve hangi gözlemsel verilerle uyumlu olduğunu iddia eder.
Birçok iken bilimkurgu ve fantezi metinleri Öklid dışı geometrilere bakın ( Lovecraft defalarca tarafından mimaride kullanımları söz Antik Ones , o sadece görünüyor sürücüler bunu deli anlamaya çalışmak olanların) Christopher Priest ' romanını , Le Monde inverti alır hiperbolik geometriye sahip bir evrende (bir katenoidin yüzeyi ) yer. Bununla birlikte, Anselme Lanturlu'nun hiperbolik düzlem de dahil olmak üzere kavisli alanlardaki maceralarını anlatan bir çizgi roman olan Géométricon'dan da alıntı yapabiliriz .
Maurits Escher , 1952'de Harold Coxeter tarafından kendisine sağlanan araçlar sayesinde , Angels and Demons veya Circular limit serisinde olduğu gibi onları antropomorfik figürler veya hayvanlar yapmak için kalıplarını dönüştürerek hiperbolik düzlemin döşemelerini tekrar tekrar kullandı .
Tasarlanmıştır ve GPS kağıdın yapılan modellerde ilham alan Thurston , Daina Taimiņa bir teknik icat tığ ile sanatsal kullanılan hiperbolik düzlem kısımlarını, Margaret ve Christine Wertheim taklit etmek mercan resiflerinin .