Kronecker'in-Weber teoremi sağlamlaştırır cebirsel sayı teorisi şu sonuç: bir sonlu değişmeli uzantı alanı ℚ bir rasyonel sayı , örneğin, herhangi bir sayı alanı olan Galois grubu , bir bir alt -body olan ℚ ile değişmeli olan devirli uzantı , örneğin, bir rasyonel sayılara birimin bir kökü eklenerek elde edilen bir alan .
Bu teorem 1853'te Kronecker tarafından belirtildi. Onun ispat önerisi eksikti. Weber , 1886'da, hala bir boşluk olan yeni bir kanıt önerdi. Hilbert bunu 1896'da seleflerinden farklı yöntemler kullanarak gösterdi ve genelleme problemini ortaya attı ( Hilbert'in on ikinci problemini ilgilendiren Kronecker Jugendtraum makalesine bakın ). Teorem bugün genellikle sınıf alanları teorisinin bir sonucu olarak gösterilmektedir . Ancak, aynı zamanda üzerinde benzer iddiayı türeyemez p-sel sayılar alanları : eğer p bir asal sayıdır ve K / ℚ p sonlu değişmeli uzantısıdır, ardından K ℚ bir cyclotomic uzantısı dahildir p .
Küresel teoremin yerel teoremden çıkarılmasıKüresel teoremi yerel teoremden çıkarmak için, K / ℚ uzantısında dallanmış her asal sayı p için , K'nin ℚ p (ζ n p ) ' ye dahil olduğu bir n p tamsayısını göz önünde bulundururuz , burada ζ n p bir köktür ters türevi n p- birlik. Daha sonra göz önüne alındığında, s ( e s ) ait en büyük güç s bölünmesi , n , p , o zaman olduğunu göstermektedir K ℚ (ζ dahildir n ) için, n, ürünü p ( e s ) , ve Ç n ilkel kök n - birimin. Gerçekte, K (ζ n ) / extension uzantısı, yalnızca K ile dallanmış asal sayılarda dallanmıştır ve her yerde çerçevelenmemiş alt uzantıyı kabul etmez (bu sonuç, Minkowski'nin teoremi tarafından yapılan bir ayrımcılığın bir sonucu olarak klasik olarak gösterilmiştir . sayı geometrisi), bu nedenle Galois grubu, p asal sayılarındaki atalet alt grupları tarafından üretilir . Bu nedenle, bu grubun kardinali , ispatı sonuçlandıran, ℚ (ζ n ) / extension genişleme derecesine eşit bulduğumuz, karşılık gelen yerel atalet gruplarının kardinallerinin çarpımı ile sınırlıdır .
Teoremi yerel durum kanıtı yerel devirli uzantılarının da dallanma özelliklerinin bilinmesi gerekir, daha sonra sırayla bir asal sayı bir güç siklik uzantıları halinde azaltmak için q ve bu tartışma , q = p , ya da p = 2 durumu tekrar ayrı olarak ele alınmalıdır.
Verilen bir değişmeli uzantı K için ℚ, aslında onu içeren minimal bir siklotomik alan vardır. Teoremi için imkan sağlar iletkenin (en) ve K küçük olarak, bir doğal sayı n, öyle ki K tarafından oluşturulan alana dahil edilir , n -inci kökleri biriminin. Örneğin, ikinci dereceden alanların iletkenleri, ayırt edicilerin mutlak değerine sahiptir; bu , sınıf alanı teorisinde genelleştirilmiş bir gerçektir .