In matematik daha doğrusu ve fonksiyonel analiz , Mercer teoremi fonksiyonlarının ürünlerin yakınsak bir dizi karesi ile pozitif türde bir simetrik fonksiyonunun bir temsilidir. Bu teorem, James Mercer'in amiral gemisi sonuçlarından biridir . İntegral denklemler teorisinde önemli bir teorik araçtır . Ayrıca kullanılan Hilbert teorinin ait stokastik süreçler (bkz Karhunen-Loeve teoremi (tr) ve Karhunen-Loeve dönüşümü ).
Mercer'in teoremini açıklamak için önemli bir özel durumla başlayalım; daha genel bir formülasyon için aşağıya bakın .
Bu bağlamda çekirdek terimi sürekli bir işlevdir
öyle ki K ( x , s ) = K ( s , x ).
K olduğu söylenir pozitif tipte ise
[ a , b ] nin x 1 ,…, x n noktalarının herhangi bir sonlu serisi ve c 1 ,…, c n gerçek sayılarının herhangi bir seçimi için ( cf. Pozitif tip çekirdek (en) ).
K ile aşağıdaki şekilde tanımlanan integral operatörünü ilişkilendiririz :
Teknik nedenlerden ötürü , φ'nin gerçek integrallenebilir kare fonksiyonlarının L 2 [ a , b ] uzayını kapsayabileceğini varsayacağız .
Teorem - Let K olmak olumlu türde bir simetrik sürekli çekirdek fonksiyonu. Yani :
Mercer teoreminin ispatının yapısını, özellikle de normal kompakt operatörlerin spektral teorisi ile olan ilişkisini ayrıntılı olarak verelim .
Kompakt göstermek için, L birim topun görüntü ilk fark olduğunu 2 [ a , b tarafından] T K ise eşsürekli . Teoremi Ascoli görüntü olduğu sonucuna varıyoruz sağlar nispeten kompakt C ([ a , b normu ile]) düzgün yakınsama ve daha ziyade sahip L 2 [ a , b ].
Bir Hilbert uzayındaki normal kompakt operatörlerin spektral teorisi, T K için uygun bir Hilbert temeli ( e i ) i L 2 [ a , b ] olduğunu gösterir :
Tüm λ i > 0 için, özvektör e i bu nedenle [ a , b ] üzerinde sürekli bir fonksiyondur (L 2 [ a , b ] ' nin elemanlarının tüm T K görüntüleri gibi ). Altın
ve uygun sürekli fonksiyonların dizileri artırmak için Dini'nın teoremine bu yakınsama homojen olanak veren, sayesinde Cauchy-Schwartz eşitsizliği Cauchy kriter dizisi olduğunu göstermek için
yakınsak kesin ve eşit olarak T bir çekirdek K 0 aynı operatör çekirdek tanımlar olduğu kolayca olan K . Yani K = K 0 , dolayısıyla Mercer'in teoremi.
Yukarıdan çıkardık:
Teorem - Let K olmak olumlu türde bir simetrik sürekli çekirdek. Sonra, T K operatörünün (çoklukları ile sayılan) kesin olarak pozitif özdeğerleri sayılabilir bir aile (λ i ) i oluşturur ve bizde:
Bu, T K operatörünün bir ize sahip olduğunu ve
Teoremi aralık [değiştirerek genelleştirilebilir bir , b bir ile] küçük bir alanda , Lebesgue ölçümü ile [ a , b ] sonlu ölçü ile değiştirilir denumerably katkı ile μ Borel ve X . Taşıyıcı μ olduğunu varsayalım X, o ^ ı (demek ki, u tüm açık için)> 0 U boş olmayan X . Yani esasen aynı sonuca sahibiz:
Teorem - K , X üzerinde pozitif tipte simetrik bir sürekli çekirdek olsun . O halde T K'nın özdeğerleri gerçek negatif değildir ve T K'ya özgü fonksiyonlardan oluşan bir Hilbert temeli ( e i ) i L 2 μ ( X ) vardır . Sıfır olmayan özdeğerlere karşılık gelen özfonksiyonlar X üzerinde süreklidir ve K yazılır.
X üzerinde yakınsamanın mutlak ve tekdüze olduğu yerlerde .
Aşağıdaki genelleme, ölçülebilir çekirdeklerin temsiliyle ilgilidir .
( X , M , μ) ölçülü bir σ-sonlu uzay olsun. Çekirdek L 2 üzerindeki , X bir fonksiyonudur
Herhangi bir L 2 çekirdeği , aşağıdaki formüle göre sınırlı bir T K operatörü tanımlar :
T K kompakt bir operatördür (hatta bir Hilbert-Schmidt (en) operatörüdür ). Çekirdek K simetrik ise, bir Hilbert uzayındaki normal kompakt operatörler için spektral teorem ile, T K için özvektörlerden oluşan bir Hilbert tabanı vardır . Sıfır olmayan özdeğerlere karşılık gelen bu tabanın vektörleri, sayılabilir bir aile ( e i ) i oluşturur (Hilbert ayrılabilir olmasa bile).
Teoremi - Eğer K (pozitif tipte bir simetrik çekirdektir X , M , daha sonra, μ)
yakınsaklık L 2 normundadır .
Çekirdeğin artık sürekli olduğu varsayılmıyorsa, genişletmenin artık tekdüze bir şekilde yakınsaması gerekmediğini unutmayın.
Mercer teoremi, çekirdek numarası için makine öğrenmesinde kullanılır .