Ara değer teoremi

Gelen matematik , ara değer teoremi de denir (TVI olarak kısaltılır), Bolzano'nun teoremi , önemli bir sonuç analiz ve endişeler sürekli fonksiyonları aşırı aralığı . Bir aralık boyunca sürekli bir fonksiyonun m ve n olmak üzere iki değer alması durumunda, m ve n arasındaki tüm ara değerleri aldığını belirtir .

Bu teorem, belirli durumlarda denklem çözümlerinin varlığını verir ve ikili arama veya ikiye bölme gibi yaklaşık çözünürlük tekniklerinin temelini oluşturur .

Sezgisel yaklaşım

10 inci  Tour de France 2008 aşaması bir 156 oldu km uzunluğunda bisiklet yarışı  başlayarak Pau (: 200 rakım  m ) ve gelen Hautacam (1520  m ).

Adım profili, [0, 156] aralığında ve gerçek değerlerle tanımlanan bir fonksiyondur . Herhangi bir x sayısı [0, 156] ile, başlangıçtan x kilometre uzaklıkta bulunan noktanın rakımını ilişkilendirir . Rakımlar 200 ila 1520 m arasında değiştiği için  , binicilerin tüm ara irtifalardan, yani 200 ila 1 520 m arasındaki rakımlardan en az bir kez geçmek zorunda kaldıkları açıktır. Örneğin, koşucu en az bir kez 1000 m yükseklikten geçecektir  . Ancak bu bulgu iki varsayıma dayanmaktadır:

Profil artık bir aralıkta tanımlanmadığında, örneğin yalnızca karşıdaki grafikte işaretlenen kontrol noktalarıyla ilgileniyorsak, muhakemenin artık geçerli olmadığını unutmayın: bu noktaların hiçbiri, ne kadar çok olursa olsun, bu noktaların hiçbiri olmayabilir, 1000  m yükseklikte.

Ara değer teoremi bu ampirik muhakemeyi resmileştirir.

Eyaletler

Bir aralık I boyunca ve gerçek değerlerle tanımlanan ve sürekli olan herhangi bir f fonksiyonu için , f ( I ) görüntüsü bir aralıktır.

Eşdeğer ifade  :

Herhangi bir sürekli harita f  : [ a , b ] → ℝ ve f ( a ) ile f ( b ) arasındaki herhangi bir gerçek u için , f ( c ) = u olacak şekilde a ve b arasında en az bir gerçek c vardır .

Özel durum ( Bolzano teoremi ):

Eğer f ( a ) f ( b ) ≤ 0 , en az bir gerçek vardır c ∈ [ a , b ] böyle f ( c ) = 0 ( “için  f ( a ) f ( b ) ≤ 0  ” terimi, 0 arasındadır f ( a ) ve f ( b ) ).

Uyarılar

f [ a , b ] üzerinde süreklidir ve [ A , b ] 'ye dahil olan herhangi bir alt aralık [ c , d ] ve [ f ( c ), f ( d )] ' nin herhangi bir y öğesi için , küme [ a , b ] ' nin boş olmayan ve kapalı bir parçasıdır .

Başvurular

Tarihsel Not

1821'de yayınlanan Cours d'Analyse de l'École royale polytechnique adlı eserinde Cauchy , Bölüm II'deki Teorem IV gibi ara değerlerin teoremini açıkladı, sonra bir gösteri yaptı.

Darboux teoremi

Bir fonksiyonu olduğu, sürekli olmayan ara değerlerin teoremi sonuca doğrulayabilir (örneğin: işlevi x ↦ sin (1 / X ) 0 ile tamamlanmış, ↦ bir yerde bir arasında 1 ve 1 arasında bir gerçek).

1875'te Gaston Darboux , bu sonucun, analizin ilk temel teoremine göre sürekli fonksiyonların bir parçası olan türetilmiş tüm fonksiyonlar tarafından doğrulandığını gösterdi . Bu nedenle, ara değerlerin teoremi , ikincisinin ve Darboux teoreminin bir sonucu olarak düşünülebilir .

Çözüm ve gösteri

Ara değerler teoremi, sözde varoluş teoremlerinin bir parçasıdır . Ancak, bu varoluşun genel bir yapıcı kanıtı yoktur .

Bir gerçek setinin üst sınırı kavramına dayanan orijinal Bolzano kanıtı .

Aşağıda iki gösteri daha veriyoruz. İlki kısadır, ancak daha ayrıntılı bir teoriye, topolojiye dayanmaktadır. İkincisi, ikiye bölünme yöntemine dayanır ve bir dereceye kadar dijital olarak uygulanabilir.

Topoloji, bu özelliğin birkaç satırında bir gösterim sağlar:

İlgili ℝ aralıklardır. Başlangıç ​​seti bu nedenle bağlantılı bir settir. Görüntü a bağlı bir yan sürekli bir fonksiyon bir bağlanır. Yani [ a , b ] 'nin f tarafından imge , teoremi kanıtlayan bir aralıktır.

Ancak bu açık basitliğin arkasında, herhangi bir ℝ aralığının bağlantılı olması gibi önceden gösterilmiş olması gereken gizli sonuçlar vardır, bu da ara değerler teoremiyle aynı zorluk derecesinin bir kanıtıdır.

İkiye bölünmüş kanıt

Prensip, başlangıç ​​aralığını ikiye bölmek ve bir çözüm olduğunu bildiğimiz aralığı tutmaktır. Sonra, kalan aralığı ikiye bölerek başlarız, vb. Bu , bir çözüm bulacağımızdan emin olduğumuz daha küçük iç içe geçmiş aralıklarla sonuçlanır. Ardından çözüm için "oldukça iyi" bir çerçeve buluyoruz.

Algoritmalar

Bir karara ispatı Test haricinde, algoritmik bir forma tercüme edilir f ( m, n ) = u ( m , n ve orta noktası olan inci aralığı) biz yaklaşık sayısal hesaplamaları yapar tam olarak ne zaman belirlenmiş edilemez. Koşulu değiştirmeyi tercih ediyoruz | f ( m n ) - u | <ε, burada ε önceden verilen bir hatadır. Algoritma daha sonra gerçek bir x sağlayacaktır, öyle ki | f ( x ) - u | <ε, ancak f hakkında süreklilikten başka bir varsayım yapılmazsa, bu değer kökün kesin değerinden c görece uzak olabilir .

Durumda f C 1 (yani burada ön ve birinci türevi süreklidir) ve çok sayıda bulabileceği m > 0 öyle ki | f '| > M, ikilik yöntemi bir dizi, daha sonra ikiye bölünme algoritması yakınlaşıyor uygulanır aralığında c şekilde f ( c ) = u . Ayrıca , ikiliğin hesapladığı x değeri ile c formundaki c değeri arasındaki farkta da artış var. x - c | ≤ ε / m .

Ek olarak, ikiye bölünme yöntemi yalnızca bir x değerinin bulunmasına izin verir . Her adımda bir boşluğu tamamen ortadan kaldırmak, diğer çözümleri göz ardı edebilir.

Son olarak, dikotomi basit bir algoritmadır, ancak en verimli değildir: kesinlik her yinelemede yalnızca 2 kat artar. Bu nedenle daha hızlı yakınsama sağlayan başka yöntemler aradık. Newton yöntemi teğet veya yöntem iyi verimliliktir.

Genellemeler

ℝ yerine tamamlanmış gerçek hat

Let eksi sonsuz ile ≤ <b ≤ + ∞ ve f :] a , b [→ içinde ℝ sürekli ve sahip olan bir ve b sınırları L bir ve L B (muhtemelen sonsuz). O halde, L a ve L b arasındaki herhangi bir gerçek u için , a , b [ f ( c ) = u gibi bir gerçek c vardır .

Poincaré-Miranda teoremi

ℝ'nin ℝ n ile değiştirilmesi aşağıdaki gibidir:

Let f (= f , 1 , ..., m n [-1, 1]:) n- → ℝ burada n , her yüzü üzerinde görülen sürekli bir harita gibi x i , 1 = f ı , 0 ≥ ve her bir yüzünde x i = -1 , f i ≤ 0. O zaman f'nin kaybolduğu bir nokta vardır .

Henri Poincaré bunu 1883'te duyurdu ve ardından 1886'da gösterdi, ancak Carlo Miranda  (it) Brouwer'in sabit nokta teoremine eşdeğer olduğunu 1940'a kadar fark etmedi .

Notlar ve referanslar

  1. Daniel Perrin , "  Orta Düzey Değerler  " , Alexandre Moatti'nin blogunda ,18 Temmuz 2006.
  2. [PDF] Laurent Moonens, FRS adayı , "  Bolzano ve ara değerlerin teoremi  " , AlmaSoror'da ,20 Şubat 2007.
  3. I. Gaber, A. Lev, R, Zigdon, "  Ara Değer Teoremini Öğretmeye İlişkin Görüşler ve Gözlemler  ", Amer. Matematik. Aylık , cilt.  126, n o  9,Kasım 2019, s.  845-849 ( DOI  10.1080 / 00029890.2019.1647061 )
  4. (inç) Michael Spivak , Matematik ,1967( çevrimiçi okuyun ) , s.  103, daha klasik bir gösteri verir.
  5. Bununla birlikte, bir fonksiyon bu sonucu yerine getirir ve her bir değeri yalnızca sınırlı sayıda alırsa, o zaman süreklidir: Spivak 1967 , s.  109 (ör. 13) .
  6. Spivak 1967 , s.  253 ya da (eski 12). Spivak 2006 tarihinden bu - 3 th  edition, UPC ( ISBN  978-0-52186744-3 ) - s. 296 (ör. 20).
  7. Aynı ruhta modern bir gösteri için bkz. ( İçinde ) Peter D.Lax ve Maria Shea Terrell, Calculus With Applications , Springer ,2013, 2 nci  baskı. ( 1 st  ed. 1976) ( çevrimiçi okuma ) , s.  66-67veya "Ara değer teoremi, ya Bolzano" Vikiversite üzerinde .
  8. Üst sınırın özelliği (Bolzano tarafından kullanılan) ve bitişik dizi teoremi (ikiye bölünmüş ispatta kullanılan) arasındaki eşdeğerlik için , bkz . Gerçek sayıların oluşturulması # İki yapının denkliği .
  9. [PDF] Daniel Perrin , “  çatallanma ile iki gösteriler  ” ile ilgili, Université Paris-Sud .
  10. Bkz ara değer teoremi ikileminin kanıtını Vikiversite üzerinde .
  11. Vikiversite'de süreklilik (ve çözümleri) üzerine 1 veya 4 alıştırma .
  12. [PDF] Demoyu görüntüleyin (in) Władysław Kulpa , "  Poincare ve etki alanı değişmezlik teoremi  " , Acta Univ. Carolin. Matematik. Phys. , cilt.  39, n o  1,1998, s.  127-136 ( çevrimiçi okuyun ), s.  130-131 ( (en) Władysław Kulpa , "  The Poincaré-Miranda Theorem  " , Amer. Math. Month. , Cilt  104, n o  6'dan alınmıştır.1997, s.  545-550 ( DOI  10,2307 / 2975081 )) Veya onun yeniden yazma (tr) Michael Muger, “  boyut değişmezliği Üzerine Bir sözler  ” üzerine, Radboud Universiteit Nijmegen bir “Orada algılar  kübik Sperner Lemmasını ”.
  13. [PDF] H. Poincaré , "  Diferansiyel denklemle tanımlanan eğriler üzerine, IV  ", Journal of pure and application mathematics , cilt.  85,1886, s.  151-217 ( çevrimiçi okuyun ).
  14. (It) C. Miranda , "  Un'osservazione su una teorema di Brouwer  " , Bollettino dell ' Unione Matematica Italiana , cilt.  3,1940, s.  527.

Ayrıca görün

İlgili makale

Kuzen lemma

Dış bağlantılar