Gerçek sayıların inşası
In matematik , farklı vardır inşaatları gerçek sayılar bunlardan en meşhur iki tanesi:
Tarihi
1860'lardan itibaren, analizi sağlam temeller üzerine kurmak amacıyla, gerçek sayıların bir yapısını sunma ihtiyacı giderek daha acil hale geldi . Bu tarihe kadar, gerçeklerin ve mülklerinin varlığı, örneğin 1821'de Cauchy tarafından kabul edildi . 1817'de Bolzano , gerçekler tarafından artırılan boş olmayan bir kısmın bir üst sınırı kabul ettiğini tespit etti, ne yazık ki öyle kalmayan bir hatırat. çalışmalarına kadar küçük bir etkisi vardı ki çok yaygın ve Weierstrass Cauchy süitleri dayalı 1865 civarında ilk yapılar, kaynaklanır Meray 1869 yılında, ve Cantor olan fikirler tarafından 1872 yılında sunuldu Heine . Dedekind , 1872'de keserek gerçeklerin inşasını yayınlar. 1878'de Dini , gerçek sayılarla ilgili ana gösterimleri veren bir inceleme yayınlar.
Ondalık sayılarla sezgisel yapı
Bir reel sayı ondalık gösterimi için olan bir miktar burada, bir tam sayıdır, her bir 0 ile 9 arasında bir sayıdır, ve 9 arasında bir sonsuz bitmez dizi tanımı daha sonra hangi tatmin bu çift eşitsizlik sayıdır tüm k için :
x=değil+0,d1d2d3...{\ displaystyle x = n + 0 {,} d_ {1} d_ {2} d_ {3} \ dotso}değil{\ görüntü stili n}dben{\ görüntü stili d_ {i}}x{\ görüntü stili x}
değil+d110+d2100+⋯+dk10k≤x<değil+d110+d2100+⋯+dk10k+110k{\ displaystyle n + {\ dfrac {d_ {1}} {10}} + {\ dfrac {d_ {2}} {100}} + \ dotsb + {\ dfrac {d_ {k}} {10 ^ {k } }} \ leq x <n + {\ dfrac {d_ {1}} {10}} + {\ dfrac {d_ {2}} {100}} + \ dotsb + {\ dfrac {d_ {k}} { 10 ^ {k}}} + {\ dfrac {1} {10 ^ {k}}}}.
Bu yapı, bu formdaki titizlik eksikliğine ek olarak, çeşitli dezavantajlara sahiptir; bunların en önemlisi , çarpma için basit algoritmalar vermenin zorluğu ve hatta . Terence Tao bu (ve inşaatı için olarak yorumlanarak daha doğal yapılabilir işaret p -adic numaraları gibi) yansıtmalı sınır setleri ondalık ile N uygun yuvarlak hesaplama kuralları ile donatılabilir noktadan sonraki basamak,.
0.333...+0.666...{\ displaystyle 0 {,} 333 \ dotso +0 {,} 666 \ dotso}
Dedekind'in inşaatı kesintiye uğradı
Bir bütün olarak tanım
Bu, her rasyonelin iki kümeye bölündüğünü fark eden Richard Dedekind tarafından hayal edilen yapıdır : gibi rasyoneller kümesi ve gibi rasyoneller kümesi . Daha sonra bir kesinti çağırır . Daha sonra , bunun da iki kümeye bölünebileceğini fark eder : gibi rasyoneller kümesi ve gibi rasyoneller kümesi . Bu nedenle, gerçekler kümesini kesme kümesi olarak tanımlama fikri ona geldi . Şimdi geriye gerçek sayının sezgisel kavramını kullanmadan bir kesim tanımlamak kalıyor. Dedekind aşağıdaki tanımı sunar:
r{\ görüntü stili r}S{\ displaystyle \ matematik {Q}}ATr{\ görüntü stili A_ {r}}de{\ görüntü stili a}de<r{\ görüntü stili bir <r}Br{\ görüntü stili B_ {r}}b{\ görüntü stili b}b≥r{\ displaystyle b \ geq r}(ATr,Br){\ görüntü stili (A_ {r}, B_ {r})}S{\ displaystyle \ matematik {Q}}2{\ görüntü stili {\ sqrt {2}}}S{\ displaystyle \ matematik {Q}}AT{\ görüntü stili A}de{\ görüntü stili a}de<2{\ displaystyle bir <{\ sqrt {2}}}B{\ görüntü stili B}b{\ görüntü stili b}b>2{\ displaystyle b> {\ sqrt {2}}}S{\ displaystyle \ matematik {Q}}
Bir
Dedekind kesme vücutta arasında
ses , iki boş olmayan alt-çifti olan bir ve B bu tür
S{\ displaystyle \ matematik {Q}}-
AT∩B=∅{\ displaystyle A \ cap B = \ boş küme} ;
-
AT∪B=S{\ displaystyle A \ fincan B = \ mathbb {Q}} ;
-
∀de∈AT,∀b∈B,de<b{\ displaystyle \ forall a \ in A, \ forall b \ in B, a <b}.
Böylece, herhangi bir rasyonel sayının r'nin iki kesimi tanımladığını görüyoruz :
- ( A , B ), bu şekilde bir rasyonel sayı grubu kesinlikle daha az olan r ve B daha büyük veya ona eşit gerekçeler grubu r ;
- ( A ' B' şekildedir) A ' daha rasyonel kümesidir ya da eşit r ve B' den katı daha büyük gerekçeler grubu r .
Bu belirsizliği gidermek için aşağıdaki kesim tanımını kullanırız:
Bir kesme
S{\ displaystyle \ matematik {Q}} bir parçası olan bir bölgesinin şekildedir
S{\ displaystyle \ matematik {Q}}-
A boş değildir ve ;S{\ displaystyle \ matematik {Q}}
- tüm bir A , tüm , eğer o ait A ;de{\ görüntü stili a}de′∈S{\ displaystyle a '\ in \ mathbb {Q}}de′<de{\ görüntü stili bir '<a}de′{\ görüntü stili bir '}
-
A'nın daha büyük bir elemanı yoktur.
Daha sonra bu kesimlerin kümesi olarak tanımlarız (genelleme için aşağıdaki “Gerçeküstü sayıları kullanma” bölümüne bakınız ). Biz bu ikinci tanım mümkün her rasyonel arasında bir tek anlamlı yazışmalar sağlamak için yapar fark edebilirsiniz r ve kesim tüm gerekçeler kümesi olarak tanımlanan bir şekilde . Daha sonra bunun iki kümeye ayrıldığını görüyoruz; biri, tümleyeni daha küçük bir öğeyi kabul eden kesimleri, formun kesimini ve diğeri, tamamlayıcısı daha küçük bir öğeye sahip olmayan kesimleri içeren kesimleri içerir.
${\ displaystyle \ matematik {R}}ATr{\ görüntü stili A_ {r}}de<r{\ görüntü stili bir <r}${\ displaystyle \ matematik {R}}ATr{\ görüntü stili A_ {r}}
Örneğin irrasyonel , cut ile temsil edilir .
2{\ görüntü stili {\ sqrt {2}}}{de∈S∣de<0 veya de2<2}{\ displaystyle \ {a \ in \ mathbb {Q} \ mid a <0 {\ mbox {or}} a ^ {2} <2 \}}
Kesimi her rasyonel r ile ilişkilendiren dolaylı uygulamaya doğal olarak dalıyoruz .
S{\ displaystyle \ matematik {Q}}${\ displaystyle \ matematik {R}}ATr{\ görüntü stili A_ {r}}
Sipariş ve işlemler
Sıralama ilişkisi : Dahil etme ilişkisi ile sağlanan kesimler kümesi daha sonra tamamen sıralı bir kümedir .
Ekleme : Bir eklemeyi şu şekilde tanımlarız :
${\ displaystyle \ matematik {R}}
vs∈AT+B⇔∃de∈AT∃b∈Bvs=de+b{\ displaystyle c \ A + B'de \ Leftrightarrow \ var a \ A'da \ dörtlü \ var b \ B'de \ dörtlü c = a + b}.
Bu ekleme , değişmeli bir grup yapısı verir . Tek zorluk A : (if ) veya (if )' in tersini tanımlamakta yatmaktadır .
${\ displaystyle \ matematik {R}}AT-r{\ görüntü stili A _ {- r}}AT=ATr{\ görüntü stili A = A_ {r}}-AT¯{\ görüntü stili - {\ üst çizgi {A}}}AT≠ATr{\ displaystyle A \ neq A_ {r}}
Çarpma : Çarpma ilk olarak pozitif gerçellerde şu şekilde tanımlanır:
vs∈AT×B⇔∃de∈AT∩S+∃b∈B∩S+vs≤deb{\ displaystyle c \ in A \ kere B \ Leftrightarrow \ var a \ in A \ cap \ mathbb {Q} ^ {+} \ quad \ var b \ in B \ cap \ matbb {Q} ^ {+} \ dörtlü c \ leq ab}.
İşaretlerin kuralı daha sonra her şeyde çarpmayı tanımlamayı mümkün kılar .
${\ displaystyle \ matematik {R}}
Özellikleri
Bu düzen ve bu iki yasa ile sağlanan kesim
kümesi , daha sonra üst sınırın özelliğini doğrulayan tamamen sıralı bir alandır (boş olmayan herhangi bir kümenin artı bir üst sınırı vardır ).${\ displaystyle \ matematik {R}}
Cauchy süitleri aracılığıyla inşaat
Bu yapıya yaklaşmak daha zordur ancak operasyonların inşası daha doğaldır. Bu yöntem için resmi olarak benzer olan üretim yöntemi , bir gelen sağlar metrik uzay E bir elde edilmesi için, tam bir ölçüm alanı E 'öyle ki D yoğun olan E' .
Dairesel bir argümanın cezası altında , tamamen sıralı bir K alanında , ℝ cinsinden değerlere sahip bir mesafeyi a priori tanımlama konusunda hiçbir soru olamaz, çünkü ikincisini henüz tanımlamadık. Bu nedenle Cauchy dizisi ve yakınsak dizi kavramı (burada, ancak özellikle “İki yapının denkliği” paragrafında) alışılmış Cauchy dizisi ve bir metrik uzayda yakınsak dizi anlamında değil, olağan duygusu. yönünde aşağıdaki gibidir: bir sekans ( bir n ) içinde K
∀ε∈K+∗∃DEĞİL∈DEĞİL∀m,değil≥DEĞİL|dedeğil-dem|<ε{\ displaystyle \ forall \ varepsilon \ in K _ {+} ^ {*} \ dörtlü \ var N \ in \ mathbb {N} \ dörtlü \ forall m, n \ geq N \ dörtlü | a_ {n} -a_ { m } | <\ varepsilon} ;
- a elemanına yakınsar (ki not edilir :) iselimdeğil→∞dedeğil=de{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = a}
∀ε∈K+∗∃DEĞİL∈DEĞİL∀değil≥DEĞİL,|dedeğil-de|<ε{\ displaystyle \ forall \ varepsilon \ in K _ {+} ^ {*} \ dörtlü \ var N \ in \ mathbb {N} \ dörtlü \ forall n \ geq N, \ dörtlü | a_ {n} -a | < \ varepsilon}
burada tüm x ∈ K için eleman | x | ∈ K iki elemanlarının daha büyük anlamına gelmektedir x ve - x .
Cauchy dizilerinin ve yakınsak dizilerin bu iki tanımı - ki bunlar ront üzerinde olağan tanımlara a posteriori karşılık gelir - sırasıyla sıralı grup ( K , +, ≤) üzerindeki tek biçimli yapıya ve qu ' mertebesinin topolojisine bağlı olanlardır. o teşvik eder. Düzgün bir alan tamlığı onun Cauchy dizilerinin yakınsama ifade eder. Genel olarak yanlış olan tersi, eğer K alanı Arşimet ise doğrudur (ve ℝ olacaktır). Bu, ona olağan metrik uzay yapısını sağlamadan önce bile ℝ'nin tam olduğunu (tek bir uzay olarak) göstermek için basit bir kriter sağlayacaktır. Dahası, sürekli eğer kullanacağı K ardından Archimedean olduğundan ε bu tanımların müdahale daima ℚ alınabilir + *.
Bir bütün olarak tanım
Cantor'un fikri (ve ondan birkaç yıl önce Méray'den ), herhangi bir gerçek sayıya bir Cauchy dizisi ile ulaşılabilmesi gerçeğinde yatmaktadır . İçin sınırlama elemanı , bir anlam vermek için gerekli olan daha sonra gerçek sayı olarak tanımlanacaktır. Bununla birlikte, dikkat edeceğimiz Cauchy'nin süitleri çok geniş görünüyor. Gerçekten de, örneğin belirli bir rasyonel için, bu sınıra yakınsayan sonsuz sayıda Cauchy dizisi vardır. Bu kümeyi , diziler arasında bir denklik bağıntısı ile bölmek gerekir : Rasyonel sayıların iki Cauchy dizisi, eğer farkları 0'a yakınsalar (bir dizinin yukarıda tanımlanan anlama sahip yakınsaklığı , aynı şekilde özelliğin Cauchy'nin varlığı):
S{\ displaystyle \ matematik {Q}}S{\ displaystyle \ matematik {Q}}VS{\ görüntü stili {\ matematik {C}}}VS{\ görüntü stili {\ matematik {C}}} ${\ görüntü stili {\ matematik {R}}}S{\ displaystyle \ matematik {Q}}
(sendeğil)$(vdeğil)⇔limdeğil→∞(sendeğil-vdeğil)=0.{\ displaystyle (u_ {n}) {\ matematiksel {R}} (v_ {n}) \ Leftrightarrow \ lim _ {n \ to \ infty} (u_ {n} -v_ {n}) = 0.}
Bu bağıntı gerçekten bir denklik bağıntısıdır, çünkü şu şekildedir:
${\ görüntü stili {\ matematik {R}}}
-
dönüşlü çünkü boş dizi gerçekten 0'a yakınsar;
-
simetrik çünkü bir dizi 0'a yakınsarsa, zıt dizi de 0'a yakınsar;
-
mutlak değer üzerindeki üçgen eşitsizliği nedeniyle geçişli . Eğer , ve üç rasyonel dizi ise, aslında elimizde:S{\ displaystyle \ matematik {Q}}(sendeğil){\ görüntü stili (u_ {n})}(vdeğil){\ görüntü stili (v_ {n})}(wdeğil){\ görüntü stili (w_ {n})}
∀değil∈DEĞİL, |sendeğil-wdeğil|≤|sendeğil-vdeğil|+|vdeğil-wdeğil|.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ | u_ {n} -w_ {n} | \ leq | u_ {n} -v_ {n} | + | v_ {n} -w_ {n} |.}
Daha sonra , Cauchy rasyonel dizilerinin denklik sınıfları kümesi olarak tanımlarız (bu denklik ilişkisi için ).
${\ displaystyle \ matematik {R}}${\ görüntü stili {\ matematik {R}}}VS{\ görüntü stili {\ matematik {C}}}
Operasyonlar
İçindeki diziler kümesi , doğal olarak , 'nin alan yapısından miras alınan toplama ve çarpma ile değişmeli bir halka yapısı ile sağlanır . Eğer ve iki dizi ise, bu işlemler şu şekilde tanımlanır:
S{\ displaystyle \ matematik {Q}}S{\ displaystyle \ matematik {Q}}(sendeğil){\ görüntü stili (u_ {n})}(vdeğil){\ görüntü stili (v_ {n})}
∀değil∈DEĞİL(sen+v)değil=sendeğil+vdeğil{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ dörtlü (u + v) _ {n} = u_ {n} + v_ {n}} ;
∀değil∈DEĞİL(sen⋅v)değil=sendeğil⋅vdeğil{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ dörtlü (u \ cdot v) _ {n} = u_ {n} \ cdot v_ {n}}.
Bu işlemler Cauchy kriterini korur, yani iki Cauchy dizisinin toplamı ve çarpımı hala Cauchy dizisidir. Rasyonel değerli dizilerin halkasında, alt küme bu nedenle bir alt halkadır.
VS{\ görüntü stili {\ matematik {C}}}
Bu halkada , 0'a yakınsayan dizilerin alt kümesi bir idealdir (yani, 0'a yakınlaşan iki dizinin toplamı ve bir Cauchy dizisi ile 0'a yaklaşan bir dizinin ürünü, 0'a yakınsar). Bu nedenle denklik bağıntısı , bu ideal ile ilişkili olarak görünür, bu da bir bölüm halka yapısı (hala değişmeli ve üniter) sağlamayı mümkün kılar .
VS{\ görüntü stili {\ matematik {C}}}${\ görüntü stili {\ matematik {R}}}${\ displaystyle \ matematik {R}}
Biz dalış içine sabit paketleri yoluyla. 'ye eşit sabit diziyi içeren sınıfı belirteceğiz .
S{\ displaystyle \ matematik {Q}}${\ displaystyle \ matematik {R}}(de){\ görüntü stili (a)}de∈S{\ displaystyle a \ in \ mathbb {Q}}
Bölüm halkası bir cisimdir.$=VS/${\ displaystyle \ mathbb {R} = {\ matematik {C}} / {\ matematik {R}}}
gösteri
Sıfır olmayan herhangi bir gerçek sayının tersini kabul ettiğini gösterme sorunudur. Izin bir eleman (0) dan farklıdır ve bu sınıfın bir sekans . Sınıf söylemek için sınıfın (0) farklıdır, dizi yani yazılı olan 0 doğru yaklaşır değildir:
de{\ görüntü stili a}${\ displaystyle \ matematik {R}}(dedeğil){\ görüntü stili (a_ {n}) \;}de{\ görüntü stili a}de{\ görüntü stili a}(dedeğil){\ görüntü stili (a_ {n}) \;}
(1)∃ε∈S+∗ ∀DEĞİL∈DEĞİL ∃değil≥DEĞİL, |dedeğil|≥ε,{\ displaystyle (1) \ qquad \ var \ varepsilon \ in \ mathbb {Q} _ {+} ^ {*} \ \ forall N \ in \ mathbb {N} \ \ var n \ geq N, \ | a_ { n} | \ geq \ varepsilon,}
veya tekrar: belirli bir dizi için mutlak değeri 'den büyük olan sonsuz sayıda terim vardır . Bu dizi Cauchy'den, belirli bir N düzeyinden olduğundan , iki terimin farkının mutlak değeri 'den küçüktür . (1) kullanarak şu sonucu çıkarıyoruz:
ε∈S+∗{\ displaystyle \ varepsilon \ in \ mathbb {Q} _ {+} ^ {*}}ε{\ displaystyle \ varepsilon}ε/2{\ displaystyle \ varepsilon / 2}
(2)∀değil≥DEĞİL, |dedeğil|≥ε/2.{\ displaystyle (2) \ qquad \ forall n \ geq N, \ | a_ {n} | \ geq \ varepsilon / 2.}
Dizinin if ve (örneğin) if ile tanımlanmasına izin verin . Bu rasyoneller dizisi Cauchy'dendir, çünkü (2)'ye göre,
(bdeğil){\ görüntü stili (b_ {n})}bdeğil=1dedeğil{\ displaystyle b_ {n} = {\ dfrac {1} {a_ {n}}}}değil≥DEĞİL{\ displaystyle n \ geq N}bdeğil=0{\ displaystyle b_ {n} = 0}
∀m,değil≥DEĞİL, |bdeğil-bm|=|dem-dedeğil||demdedeğil|≤4ε2|dem-dedeğil|.{\ displaystyle \ forall m, n \ geq N, \ | b_ {n} -b_ {m} | = {\ frac {| a_ {m} -a_ {n} |} {| a_ {m} a_ {n } |}} \ leq {\ frac {4} {\ varepsilon ^ {2}}} | a_ {m} -a_ {n} |.}
Bu nedenle sınıfını içinde düşünebiliriz ve
b{\ görüntü stili b}${\ displaystyle \ matematik {R}}
deb=(dedeğilbdeğil)=(1).{\ displaystyle ab = (a_ {n} b_ {n}) = (1).}
Sipariş
Bu tanımlar değerlerle en az bir Cauchy dizisini içeren sınıfların alt kümesi olarak o zaman bir ilişki tanımlamak, (pozitif ya da sıfır rationals grubu) toplam sipariş üzerine ayarıyla
$+{\ displaystyle \ matematik {R} _ {+}}S+{\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {+}}${\ displaystyle \ matematik {R}}
x≤y⇔y-x∈$+.{\ displaystyle x \ leq y \ Leftrightarrow yx \ in \ mathbb {R} _ {+}.}Bu ilişkinin dönüşlü ve geçişli olması anlıktır. Aynı zamanda antisimetrik olması (dolayısıyla bir düzeni iyi tanımlar) olması gerçeğinden kaynaklanmaktadır . Bu düzenin toplam olduğu .
$+∩-$+={(0)}{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} \ cap - \ mathbb {R} _ {+} = \ {(0) \}}$+∪-$+=${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} \ cup - \ mathbb {R} _ {+} = \ mathbb {R}}
Böylece gövde tamamen düzenli bir gövde yapısına kavuşmuştur . Aslında, bu sıralama toplama ile (yapısal olarak) ve aynı zamanda çarpma ile de uyumludur (çünkü ürünlere göre açıkça kararlıdır). Bu sıra ilişkisinin ( daha önce bahsedildiği gibi içine gömülmüş ) olağan sıra ilişkisiyle örtüştüğünü fark ediyoruz .
${\ displaystyle \ matematik {R}}$+{\ displaystyle \ matematik {R} _ {+}}S{\ displaystyle \ matematik {Q}}${\ displaystyle \ matematik {R}}
Ayrıca bunun Arşimet olduğunu kanıtlıyoruz . Bu nedenle şu sonuca varabiliriz:
${\ displaystyle \ matematik {R}}
($,≤){\ görüntü stili (\ mathbb {R}, \ leq)} tamamen düzenli bir Arşimet gövdesidir.
gösteriler
- ≤{\ görüntü stili \ leq} antisimetriktir:
Bu bunu kanıtlamak içindir . Let öyle ki , bize bu göstereyim . İki Cauchy dizileri vardır , sırasıyla temsil pozitif veya sıfır gerekçeler ve . Ardından , şuna çevrilir: içinde 0'a yakınsar , bu da (o zamandan beri )
0'a yakınsamasına neden olur, böylece .
$+∩-$+={(0)}{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} \ cap - \ mathbb {R} _ {+} = \ {(0) \}}de,b∈$+{\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R} _ {+}}de=-b{\ görüntü stili a = -b}de=(0){\ görüntü stili a = (0)}(dedeğil){\ görüntü stili (a_ {n})}(bdeğil){\ görüntü stili (b_ {n})}de{\ görüntü stili a}b{\ görüntü stili b}de+b=(0){\ görüntü stili a + b = (0)}(dedeğil+bdeğil){\ görüntü stili (a_ {n} + b_ {n})}S{\ displaystyle \ matematik {Q}}0≤dedeğil≤dedeğil+bdeğil{\ displaystyle 0 \ leq a_ {n} \ leq a_ {n} + b_ {n}}(dedeğil){\ görüntü stili (a_ {n})}de=(0){\ görüntü stili a = (0)}
- Toplam sipariş :≤{\ görüntü stili \ leq}
Bu bunu kanıtlamak içindir . Let ve olmak Bu sınıf temsil rasyonel bir Cauchy dizisi. Karşılık gelen alt dizi aynı sınıfı temsil ettiğinden, bu dizi sonsuz sayıda pozitif veya boş terim kabul ediyorsa . "Negatif" tarafından ve "olumlu" değiştirerek aynı şey tarafından . Ancak, bu iki durum (münhasır değil) tüm olasılıkları kapsamaktadır.
$+∪-$+=${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} \ cup - \ mathbb {R} _ {+} = \ mathbb {R}}de∈${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}(dedeğil){\ görüntü stili (a_ {n})}de∈$+{\ displaystyle a \ in \ mathbb {R} ^ {+}}$+{\ displaystyle \ matematik {R} _ {+}}-$+{\ displaystyle - \ matbb {R} _ {+}}
- ${\ displaystyle \ matematik {R}} Arşimet:
Bu, tüm gerçeller ve için öyle bir tamsayı olduğunu göstermek meselesidir . Sadece sor . Gerçek temsili rasyonel Cauchy dizisine sahiptir, bu nedenle artmıştır. Bu dizinin bütün bir üst sınırını alıyoruz . Bütün için , o halde bu nedenle bu nedenle varız .
de>0{\ görüntü stili a> 0 \,}b≥0{\ displaystyle b \ geq 0}DEĞİL{\ görüntü stili N \,}DEĞİLde≥b{\ displaystyle Na \ geq b}x=bde{\ displaystyle x = {\ dfrac {b} {a}}}x{\ görüntü stili x}(xdeğil){\ görüntü stili (x_ {n})}DEĞİL{\ görüntü stiliN}değil{\ görüntü stili n}DEĞİL-xdeğil∈S+{\ displaystyle N-x_ {n} \ in \ mathbb {Q} _ {+}}(DEĞİL)-x∈$+{\ displaystyle (N) -x \ in \ mathbb {R} _ {+}}DEĞİL≥x{\ displaystyle N \ geq x}DEĞİLde≥b{\ displaystyle Na \ geq b}
eksiksizlik
On , az önce tanımladığımız sıra, Cauchy dizisi ve yakınsak dizi kavramlarına anlam verir. Her gerçeğin bir dizi mantıkla sınırlı olduğunu göstereceğiz. Daha doğrusu: rasyonel bir Cauchy dizisi ise sayılar bir gerçek temsil ardından realse dizisi içinde yakınsak doğru . Böylece, rasyonellerin tüm Cauchy dizileri . Bunun herhangi bir Cauchy gerçel dizisi için de geçerli olduğunu göstereceğiz:
${\ displaystyle \ matematik {R}}(dedeğil){\ görüntü stili (a_ {n})}de{\ görüntü stili a}((dedeğil)){\ görüntü stili ((a_ {n}))}${\ displaystyle \ matematik {R}}de{\ görüntü stili a}${\ displaystyle \ matematik {R}}
S{\ displaystyle \ matematik {Q}}yoğundur ve tamdır.${\ displaystyle \ matematik {R}}${\ displaystyle \ matematik {R}}
gösteri
- Her Cauchy rasyonel dizisi kendi sınıfına doğru yakınsar :${\ displaystyle \ matematik {R}}
Gerçek sayıları belirtmek için büyük harfleri ve rasyonel sayıları belirtmek için küçük harfleri kullanacağız. Izin rasyonel bir Cauchy dizisi numaralarına , sınıfını, ve (bir tamsayı için n ) sabit dizisi tarafından temsil edilen gerçek . Sabit bir rasyonel için , öyle
bir N tamsayısının varlığını kanıtlamaya çalışıyoruz:(dedeğil){\ görüntü stili (a_ {n})}AT{\ görüntü stili A}ATdeğil{\ displaystyle A_ {n}}dedeğil{\ görüntü stili a_ {n}}ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}
∀değil≥DEĞİL, ε-|ATdeğil-AT|∈$+.{\ displaystyle \ forall n \ geq N, \ \ varepsilon - | A_ {n} -A | \ in \ mathbb {R} _ {+}.}
Bunun için Cauchy kriterini diziye uygulamak , o zaman herkes
için rasyonel dizinin N rankından pozitif veya sıfır olduğuna ve dolayısıyla temsil ettiği sınıfın içinde olduğuna dikkat ederek yeterlidir .
(dedeğil){\ görüntü stili (a_ {n})}∀m,değil≥DEĞİL, |dedeğil-dem|≤ε{\ displaystyle \ forall m, n \ geq N, \ | a_ {n} -a_ {m} | \ leq \ varepsilon}değil≥DEĞİL{\ displaystyle n \ geq N}(ε-|dedeğil-dem|)m{\ displaystyle (\ varepsilon - | a_ {n} -a_ {m} |) _ {m}}ε-|ATdeğil-AT|{\ displaystyle \ varepsilon - | A_ {n} -A |}$+{\ displaystyle \ matematik {R} _ {+}}
- 'de , her Cauchy dizisi yakınsar:${\ displaystyle \ matematik {R}}
Izin reals bir Cauchy dizisi, bu kanıtlamanın bir sorudur bu dizi yakınsak o . Daha önce tüm gerçeklerin rasyonellerin sınırı olduğunu gördük. Bu nedenle, herhangi bir n > 0 tamsayı için , öyle bir rasyonel seçebiliriz ki . Dizi daha sonra 0'a yakınsar. Bu nedenle dizi Cauchy'ye benzer. Bu nedenle sınıfını düşünebiliriz: bu gerçeği U ile gösterin . Yana için yakınsak U ve 0 yakınsak sekans için yakınsak U .
(sendeğil){\ görüntü stili (U_ {n})}${\ displaystyle \ matematik {R}}dedeğil{\ görüntü stili a_ {n}}|sendeğil-dedeğil|≤1/değil{\ görüntü stili | U_ {n} -a_ {n} | \ leq 1 / n}(sendeğil-dedeğil){\ görüntü stili (U_ {n} -a_ {n})}(dedeğil){\ görüntü stili (a_ {n})}(sendeğil){\ görüntü stili (U_ {n})}(dedeğil){\ görüntü stili (a_ {n})}(sendeğil-dedeğil){\ görüntü stili (U_ {n} -a_ {n})}(sendeğil){\ görüntü stili (U_ {n})}
İki yapının denkliği
Dedekind'in kesmeleri ile inşa, üst sınırın özelliğini karşılayan tamamen düzenli bir alan sağlar: bir üst sınırı olan boş olmayan her alt kümenin bir üst sınırı vardır. Bu by Cauchy süitleri, eksiksiz bir Arşimet düzenine sahip eksiksiz bir gövde sağlar. Bu iki özellik aslında eşdeğerdir. Ayrıca, bunları karşılayan herhangi bir alan, Cauchy dizileri yöntemiyle oluşturulan ℝ alanına eşbiçimlidir. Bu nedenle, “hangisi” olduğunu belirtmeden “cismin” ℝ hakkında konuşarak aşağıdaki teoremi ifade edebiliriz. Bu teoremin bir sonucu, 1), 2), 3) karakterizasyonlarının hepsinin alanın değişmeli olduğunu ve alt alanın yoğun olduğunu ima etmesidir (çünkü bu, Cauchy dizileri tarafından oluşturulan ℝ alanı için geçerlidir).
S{\ displaystyle \ matematik {Q}}
Let K olmak tamamen sipariş alan. Aşağıdaki özellikler eşdeğerdir:
-
K , üst sınırın özelliğini kontrol eder;
-
K , diziler için monotonik limit teoremini sağlar ;
-
K Arşimet'tir ve eksiksizdir;
-
K Arşimet'tir ve bitişik dizilerin teoremini sağlar ;
-
K , ℝ ile izomorfiktir.
gösteri
-
(3)⇒(4){\ Displaystyle (3) \ Sağ Ok (4)} çünkü iki bitişik süit Cauchy'den.
- (4)⇒(1){\ Displaystyle (4) \ Sağ Ok (1)}
Veya E bir eleman içeren ve M ile sınırlandırılmış bir küme .
x{\ görüntü stili x}
Eğer bir üst sınırı olan E daha sonra , üst sınırı olan E .
x{\ görüntü stili x}x{\ görüntü stili x}
Aksi takdirde, E'nin bir üst sınırına (üst sınırın en küçüğüne) sahip olduğunu kanıtlamak için dikotomi ile ilerleniriz . İki dizi oluşturuyoruz ve tümevarımla aşağıdaki gibi tanımlıyoruz:
(dedeğil){\ görüntü stili (a_ {n}) \,}(bdeğil){\ görüntü stili (b_ {n}) \,}
de0=x{\ görüntü stili a_ {0} = x \,} ve
b0=M{\ görüntü stili b_ {0} = M \,}
hepsi için ,
değil{\ görüntü stili n \,}eğer bir üst sınır ise ve
dedeğil+bdeğil2{\ displaystyle a_ {n} + b_ {n} \ 2 üzeri}dedeğil+1=dedeğil{\ displaystyle a_ {n + 1} = a_ {n} \,}bdeğil+1=dedeğil+bdeğil2{\ displaystyle b_ {n + 1} = {a_ {n} + b_ {n} \ 2 üzeri}}
eğer bir üst sınır değilse ve
dedeğil+bdeğil2{\ displaystyle a_ {n} + b_ {n} \ 2 üzeri}dedeğil+1=dedeğil+bdeğil2{\ displaystyle a_ {n + 1} = {a_ {n} + b_ {n} \ 2 üzeri}}bdeğil+1=bdeğil{\ displaystyle b_ {n + 1} = b_ {n} \,}
Yapı ilkesi şunları sağlar:
( ) dizisi, hiçbir terimi E'nin üst sınırı olmayan artan bir dizidir ;
dedeğil{\ görüntü stili a_ {n}}
( ) dizisi, tüm terimleri E'nin üst sınırı olan azalan bir dizidir ;
bdeğil{\ görüntü stili b_ {n}}
herhangi bir n tamsayısı için , bu nedenle ( ) dizisi 0'a yakınsar (burada K'nin Arşimet olduğunu kullanıyoruz ).
|bdeğil-dedeğil|=2-değil(M-x){\ displaystyle | b_ {n} -a_ {n} | = 2 ^ {- n} (Mx) \,}bdeğil-dedeğil{\ displaystyle b_ {n} -a_ {n}}
Bu nedenle süitler bitişiktir. (4)'e göre ortak bir sınıra doğru yakınsarlar .
ℓ{\ görüntü stili \ ell}
Geriye üst sınırın gerçekten olduğunu göstermek kalıyor .
ℓ{\ görüntü stili \ ell}
Herhangi bir gerçek için E , çünkü bir üst sınırdır. Yani gerçek herkes için sınıra geçerek içinde , . bu nedenle, E'nin bir üst sınırıdır .
y{\ görüntü stili y \,}y≤bdeğil{\ displaystyle y \ leq b_ {n}}bdeğil{\ görüntü stili b_ {n} \,}y{\ görüntü stili y \,}E{\ görüntü stili E \,}y≤ℓ{\ displaystyle y \ leq \ ell}ℓ{\ görüntü stili \ ell}
Herhangi bir gerçek için M ' ve majorant E , çünkü bir üst bağlı asla. Limite geçerek , E'nin herhangi bir üst sınırı M için , . üst sınırın en küçüğüdür.
dedeğil<M′{\ displaystyle a_ {n} <M '\,}dedeğil{\ görüntü stili a_ {n} \,}ℓ≤M′{\ displaystyle \ ell \ leq M '}ℓ{\ görüntü stili \ ell}
-
(1)⇒(2){\ Displaystyle (1) \ Sağ Ok (2)} : bakınız Monotonik Limit Teoremi .
- (2)⇒(3){\ Displaystyle (2) \ Sağ Ok (3)}
(2)⇒{\ Displaystyle (2) \ Sağ Ok} K olan
Arşimet (diğer bir deyişle: dizisi (1 / n ) yakınsak) düşmeye ve hafife çünkü.
(2)⇒{\ Displaystyle (2) \ Sağ Ok}içerisinde K , her Cauchy dizisi yakınsak:
Her ikisi de K'de bir Cauchy dizisidir . Biz alt ayıklayabilirsiniz
monoton dizisini ( bkz
alt suit özelliklerini (olarak sınırlanmış olması,) idi , Doğu) bu yüzden de yakınsak olduğunu K . Olarak bir Cauchy olup, bu nedenle (aynı sınıra yaklaşan) birleşir.
-
(3)⇔(5){\ displaystyle (3) \ Leftrightarrow (5)} :
Burada cisim olarak seçiyoruz ℝ Cauchy dizileri tarafından inşa edileni. İnşaat tarafından . Bunun aksine, varsayalım K tam bir Arşimet, bir ilk tanımlamak için: eğer rationals Cauchy dizisinin sınıfıdır sonra, K , (bu sınır vardır ve temsilci seçimine bağlı değildir ). Yapım gereği, operasyonlarla uyumludur ve kesinlikle artmaktadır. Son olarak, bu gerçeği sayesinde örten K Arşimet geçerli: her şey için ve her şey , rasyonel vardır arasına ve :, nerede en küçük başlıca uzmanı . Bu tür bir netice Cauch olduğunu ve sınıfsal bir öncülü olan Par .
(5)⇒(3){\ Displaystyle (5) \ Sağ Ok (3)}f:$→K{\ displaystyle f: \ mathbb {R} \'den K'ye}de∈${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}(dedeğil){\ görüntü stili (a_ {n})}f(de)=lim(dedeğil){\ displaystyle f (a) = \ lim (a_ {n})}(dedeğil){\ görüntü stili (a_ {n})}f{\ görüntü stili f}f{\ görüntü stili f}b∈K+{\ displaystyle b \ in K _ {+}}değil>0{\ görüntü stili n> 0}dedeğil{\ görüntü stili a_ {n}}b{\ görüntü stili b}b+1/değil{\ görüntü stili b + 1 / n}dedeğil=p/değil{\ görüntü stili a_ {n} = p / n}p{\ görüntü stili p}değilb{\ görüntü stili nb}(dedeğil){\ görüntü stili (a_ {n})}de∈${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}b{\ görüntü stili b}f{\ görüntü stili f}
Not. Bu denklikler özellikle her L cismitamamen sıralı ve Arşimet cismi R sıralı cismin bir alt alanına eşbiçimli olduğunu gösterir. Gerçekten de, tamamlanması L (aynı işlem Cauchy tarafından inşa tamamlanmış sekansları R ve Q olacak (aynı argümanlar) bir gövde) K ihtiva eden L , ve Arşimet bu nedenle tam bir izomorfik R .
Diğer yapılar
Diğer katı yapılar önerilmiştir, ancak bunlar genellikle yalnızca merak uyandırır, çünkü genellemelere daha az yatkındırlar veya aslında gerekçelendirilebilmek için derinlemesine ön bilgi gerektirirler.
Bunların adı önerebilir aksine, burada bir kısır döngü vardır: olup gerçekten mümkün şirketinden hyperrationals tanımlamak * için Q ile ( ultraproduct bölüm ile, yani, Q, N , bir tarafından önemsiz olmayan ultrafıltre üzerinde N ); halka B * için "bitmiş" terimi, elemanların , Q (standart bir tam sayı ile artan elemanları seti) maksimal idealdir ı tüm sonsuz, ve bölüm B / izomorf R . Oldukça yapay karakterinin yanı sıra, bu yapı, gereksiz yere kısıtlayıcı görünebilen seçim aksiyomunu gerektirir .
gerçeküstü sayıları kullanma
Dedekind'in kurgusunu genellemek zor görünüyor ve yasalar (özellikle çarpma) biraz yapay görünüyor. Bununla birlikte, 1974'te John Horton Conway , benzer bir yapının, gerçeküstü sayılar adı verilen , hem gerçekleri hem de sıraları genelleştiren ve işlem tanımlarının tamamen doğal bir şekilde yapılabileceği yeni bir sayı sınıfına genişletilebileceğini gösterebildi. yol.
Biliyoruz ki alanını gerçeküstü sayılar (bir vücut o çünkü, büyük harfle yazılan uygun sınıf ) (eşbiçimlilik hariç) tüm sipariş edilen alanları içeren; bu nedenle tanımlayabiliriz Ar büyük olarak Arşimet subfield arasında On . Conway daha karmaşık bir içsel yapı verir ve ayrıca ω gününde oluşturulan sayıların R , ± ω ve formdaki sayıları içerdiğine ve bu nedenle ikincisini çıkarmak için R'yi bulmanın yeterli olduğuna dikkat çeker; bu son yapı, titiz olmasına rağmen, yazarının kendisinin de bildiği gibi, oldukça yapay görünüyor.
p/2değil ± 1/ω{\ displaystyle p / 2 ^ {n} \ \ pm \ 1 / \ omega}
yarı-morfizmler tarafından
Aşağıdaki yapı çok az biliniyor gibi görünüyor; 1975'te yayınlanan, yalnızca göreli Z tamsayılarının toplam grubunu kullanır ve yarı-morfizm kavramına dayanır. Bu yapı, IsarMathLib projesi tarafından titizlikle (ve otomatik olarak ) doğrulanmıştır . Avantajlarından biri , seçim aksiyomunu kullanmamasıdır .
Biz bir uygulama olduğunu söylemek bir olan yarı-morfizmanın seti ise sonlu veya fonksiyon eğer sınırlanmaktadır. g işlevi , f'nin grupların bir morfizmi olduğu kusurunu ölçer . Yarı-morfizmler seti, ekleme ve bileşim ile kararlıdır. Küme sonlu ise, iki yarı-morfizmin neredeyse eşit olduğu söylenir . Bu bağıntı, toplama ve kompozisyon ile uyumlu, yarı-morfizmler kümesi üzerinde bir denklik bağıntısıdır; toplama ve karşılık gelen çarpma ile sağlanan bölüm kümesi, R'ye göre bir alan izomorfudur ; sırayı tanımlamak için, ( eşdeğerlik sınıfını temsil ettiği yerde ) si'nin sınırlı olduğunu veya N üzerinde sonsuz sayıda pozitif değer aldığını söylüyoruz ve daha sonra alanın tam sıralı olduğunu gösterebiliriz, bu da l izomorfizmini kanıtlar. Aslında bunu açıklığa kavuşturmak mümkündür: R'nin varlığını a priori kabul edersek (önceki yöntemlerden biri tarafından oluşturulmuş), o zaman herhangi bir yarı-morfizm için , dizi R'de bir limite doğru yakınsar ve fonksiyon sınırlıdır. üzerinde Z . İkinci onaylama itibaren, sınır olduğu sonucu C ( f ) Sadece eşdeğerlik sınıfı [bağlıdır f ait] f ; yine c ([ f ]) not edilerek , c aranan izomorfizmdir.
f:Z→Z{\ displaystyle f: \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z}}{f(değil+m)-f(m)-f(değil)∣değil,m∈Z}{\ displaystyle \ {f (n + m) -f (m) -f (n) \ orta n, m \ in \ mathbb {Z} \}}g(değil,m)=f(değil+m)-f(değil)-f(m){\ görüntü stili g (n, m) = f (n + m) -f (n) -f (m)}{f(değil)-g(değil)∣değil∈Z}{\ displaystyle \ {f (n) -g (n) \ orta n \ in \ mathbb {Z} \}}[f]≤[g]{\ displaystyle [f] \ leq [g]}[f]{\ görüntü stili [f]}f{\ görüntü stili f}g-f{\ görüntü stili gf}f:Z→Z{\ displaystyle f: \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z}}f(değil)/değil{\ görüntü stili f (n) / n}vs(f){\ görüntü stili c (f)}değil↦f(değil)-vs(f)değil{\ displaystyle n \ mapto f (n) -c (f) n}
Notlar ve referanslar
-
(De) Georg Cantor, " Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen " , Math. Anne. , cilt. 5,1872, s. 123-132 ( çevrimiçi okuyun ).
-
Hélène Gispert-Chambaz, Camille Ürdün ve analiz temelleri , Paris-Sud Üniversitesi , Orsay Matematiksel Yayınları,1982( çevrimiçi okuyun ) , s. 13.
-
Roger Godement , Encyclopædia Universalis için yazdığı Calculus sonsuz küçük makalesinde daha eksiksiz bir versiyon sundu, ancak yine de yeterince resmileştirilmedi ve hesaplama algoritmalarını açıklamadı ; Tamamen katı yapı verilmiştir (in) Barbara Burke Hubbard ve John H. Hubbard , vektör analizi doğrusal cebir, ve Diferansiyel Formlar Birleştirilmiş Yaklaşım , s. 0, bölüm 0.4.
-
(içinde) Terence Tao, kompaktlık ve Çelişki , American Mathematical Society, 2013 ( çevrimiçi okuyun ), c. 1, s. 14.
-
(tr) John H. Conway, Sayılar ve Oyunlar Üzerine , s. 25 ve takip ediyor.
-
Gerçek, On ile sınırlandırılmış bir x öğesidir ( böyle bir n tamsayı vardır ki - n <x <n ) öyle kix={x-(1/değil)değil∈DEĞİL|x+(1/değil)değil∈DEĞİL}.{\ displaystyle x = \ {x- (1 / n) _ {n \ in \ mathbb {N}} | x + (1 / n) _ {n \ in \ mathbb {N}} \}.}
-
Örneğin [1] , [2] ve [3] (en) ' de çeşitli versiyonlar ve Xavier Caruso'da kesin bir açıklama buluyoruz, " Gerçek sayıların gövdesinin az bilinen enkarnasyonu " ,eylül 2008.
-
Caruso 2008 .
-
(in) Reuben Hersh (in) , Matematik Nedir, Gerçekten mi? , New York, Oxford University Press ,1997( çevrimiçi okuyun ) , s. 274 .
-
genel bir durumda, bir grup bir yarı-morfizmanın G için R f (xy) -f (x) -f (y) grubu sınırlanan bir harita şekildedir; bkz. [4] (tr) .
-
Eğer bir gerçekse, haritanın ( 'nin tamamının ) sınıfı ile tanımlanacak bir yarı-morfizm olduğunu fark ederek neden daha iyi anlayacağız .de{\ görüntü stili a}değil↦E(değilde){\ displaystyle n \ mapto E (na)}değilde{\ görüntü stili na}de{\ görüntü stili a}
Şuna da bakın:
İlgili Makaleler
Dış bağlantılar
bibliyografya
- (tr) Holger Teismann, “ Tamamlanmışlık Aksiyomlarının Daha Tam Bir Listesine Doğru ” , Amer. Matematik. Aylık , cilt. 120, n o 22013, s. 99-114 ( DOI 10.4169 / amer.math.aylık.120.02.099 )
- (tr) James Propp (tr) , “ Tersine Gerçek Analiz ” , Amer. Matematik. Aylık , cilt. 120, n o 5,2013, s. 392-408 ( arXiv 1204.4483 )
-
(tr) Arnold Knopfmacher ve John Knopfmacher, “ Gerçek sayıların iki somut yeni yapısı ” , Rocky Mountain J. Math. , cilt. 18, n o 4,1988, s. 813-824 ( çevrimiçi okuyun )- Engel ve Sylvester serisine göre yapılar .
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">