Radon-Nikodym-Lebesgue teoremi

Teoremi Radon - Nikodym - Lebesgue a, teoremi bir analiz , bir dalı matematik oluşur hesabı ve ilgili alanlarda.

Tanımlar

Tanımlar - Let $olmak v$ bir pozitif tedbir üzerinde ve izin $ρ$ , $olmak ρ$ pozitif veya kompleks tedbirler (tr) üzerinde . $(X, {\ mathcal A})$ $(X, {\ mathcal A})$

Biz söylemek $ρ$ olan mutlak sürekli açısından $cyclotron frekansının$ ve biz tarafından ifade $ρ « ν$ herkes için eğer öyle ki $ν$ $($ $A$ $) = 0$ , biz de var $ρ$ $($ $A$ $) = 0$ . ${\ Mathcal A} içinde A \$
Biz söylemek $ρ$ edilir taşıdığı (veya üzerinde yoğunlaştı $E$ eğer herkes için) elimizdeki $ρ$ $($ $A$ $) =$ $ρ$ $($ $A$ $\cap$ $E$ $)$ . (Bu, varsayıma eşdeğerdir: tüm $ρ$ $($ $A$ $\$ $E$ $) = 0 için$ ) ${\ mathcal {A}}} içinde {\ displaystyle E \$ ${\ Mathcal A} içinde A \$ ${\ mathcal {A}} içinde {\ displaystyle A \,}$
Bu demek $p$ ve $ρ$ olan karşılıklı tekil (ya da yabancı ), ve ile ifade $ρ ⊥$ $ρ$ mevcutsa, bu tür $ρ$ tarafından taşınan $E$ ve $ρ$ tarafından taşınan $e$ $c$ . ${\ mathcal {A}}} içinde {\ displaystyle E \$

Radon-Nikodym-Lebesgue teoremi

Radon-Nikodym-Lebesgue teoremi bir sonucudur ölçüm teori ancak içeren bir gösteri, Hilbert boşluk matematikçi tarafından verildi John von Neumann erken XX inci yüzyılın. Aşağıdaki gibi okur:

Radon-Nikodym-Lebesgue teoremi - Let $olmak v$ pozitif bir σ-sonlu önlem üzerinde ve $u$ olumlu σ-sonlu örgü üzerinde ölçmek (sırasıyla Real, solunum Kompleks..) . $(X, {\ mathcal A})$ $(X, {\ mathcal A})$

Eşsiz bir çift ( μ 1 , μ 2 ) σ-sonlu pozitif ölçümler (sırasıyla Gerçek, veya Kompleks) vardır:
- ${\ displaystyle \ mu = \ mu _ {1} + \ mu _ {2},}$
- ${\ displaystyle \ mu _ {1} \ ll \ nu,}$
- ${\ displaystyle \ mu _ {2} \ perp \ nu.}$

Bu ayrışma denir Lebesgue ayrışma (tr) ait

u

göre

cyclotron frekansının

Eşsiz bir (eşitlik $ν$ - hemen hemen her yerde ) pozitif ölçülebilir bir fonksiyon $h$ (sırasıyla $Ν -$ bütünleştirilebilir gerçek, yanıt $Ν -$ bütünleştirilebilir kompleks) vardır, öyle ki, sahip olduğumuz her şey için: ${\ Mathcal A} içinde A \$ ${\ displaystyle \ mu _ {1} (A) = \ int _ {A} h ~ \ mathrm {d} \ nu = \ int _ {X} 1_ {A} h ~ \ mathrm {d} \ nu.}$ Bu fonksiyon, $h olan$ adı Radon Nikodym türevi ve $u$ ile ilgili olarak $cyclotron frekansının$ .

Bir ölçünün yoğunluğu

Tanımı - Let $olmak ν$ üzerinde olumlu σ-sonlu önlem ve izin $olmak ρ$ pozitif σ-sonlu önlem üzerinde (sırasıyla Real, solunum Kompleks..) Biz söylemek $ρ$ bir yoğunluk vardır $h$ açısından $cyclotron frekansının$ ise $h$ olumlu ölçülebilir fonksiyon (sırasıyla $ν$ -gerçek integrallenebilir, karşılık $ν$ -integrallenebilir kompleks), öyle ki sahip olduğumuz her şey için: $(X, {\ mathcal A})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}).}$ ${\ Mathcal A} içinde A \$

{\ displaystyle \ rho (A) = \ int _ {A} h ~ \ mathrm {d} \ nu = \ int _ {X} 1_ {A} \, h ~ \ mathrm {d} \ nu.}

Fark ederiz

{\ displaystyle h = {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} \ nu}}.}

Radon-Nikodym teoreminin bir sonucu olarak, aşağıdaki özelliğe sahibiz:

Önerme - Let $olmak v$ üzerinde olumlu σ-sonlu önlem ve $u$ olumlu σ-sonlu önlem üzerinde (sırasıyla Real, solunum Kompleks..) Denklik arasında yok: $(X, {\ mathcal A})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}).}$

${\ displaystyle \ u \ nu \ nu,}$
$μ$ göre bir yoğunluğa sahiptir $cyclotron frekansının$ .

Gösteri

Eğer , daha sonra açık bir şekilde, bir ayrışma $u$ , daha sonra teoremi son bölümünde sayesinde, teoremi Radon-Nikodym tatmin $μ$ göre bir yoğunluğa sahiptir $cyclotron frekansının$ . Bunun aksine, izin $saat$ ifade yoğunluğu $u$ ile ilgili olarak $cyclotron frekansının$ . Evet ${\ displaystyle \ u \ n \ nu}$ ${\ displaystyle \ mu = \ mu +0}$

{\ displaystyle \ nu (A) = \ int _ {X} 1_ {A} ~ \ mathrm {d} \ nu = 0,}

Daha sonra sıfırdır $ν$ -neredeyse her yerde. Bunun sonucu sıfırdır $ν$ -neredeyse her yerde, yani $1 A}$ ${\ displaystyle 1_ {A} \, h}$

{\ displaystyle \ mu (A) = \ int _ {X} 1_ {A} \, h ~ \ mathrm {d} \ nu = 0.}

Σ-sonluluk hipotezi önemlidir: sayma ölçüsü ile karşılaştırıldığında , bir ölçü her zaman mutlak olarak süreklidir, ancak Lebesgue'in on üzerinde (örneğin) yoğunluğu yoktur.

Rastgele bir vektörün olasılık yoğunluğu

Hatırlatma -

Diyoruz olasılık yoğunluk bir rastgele değişken $X$ ℝ değerlerle d bir ölçülebilir fonksiyonu $f$ , bu şekilde bir Borelian bölümü için $A$ ⊂ ℝ d : ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A içinde X \) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} \ 1_ {A} (u) \, f (u) ~ \ mathrm {d} u = \ int _ {A} \ f (u) ~ \ mathrm {d} u.}$
Olasılığı yasası bir rastgele değişkenin ℝ değerlerle d herhangi bir Borelian kısım için tanımlandığı olasılık ölçer $bir$ ⊂ ℝ D ile: $\ mathbb {P} _X$ $X$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {X} (A) = \ mathbb {P} (A içinde X \).}$
Eğer d = 1, $X'in$ bir adlandırılan gerçek rasgele değişken veya Var

Tanımlar açısından olasılık dili, ölçüm teorisinin dilinden biraz farklıdır. Üç iddia arasında bir denklik vardır:

ℝ d değerine sahip rastgele bir $Z$ değişkeninin bir olasılık yoğunluğu vardır.
Ölçer ile ilgili bir yoğunluğa sahiptir Lebesgue ölçümü ℝ ile d . ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {Z}}$
Önlem ℝ ile Lebesgue ölçümü ile ilgili olarak mutlak sürekli olan d . ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {Z}}$

Son nokta olasılıklı bir dille yeniden yazılabilir.

Kriter - Bir rastgele değişken $Z$ ℝ değerlerle d , her Borelian için bir olasılık yoğunluk, ancak ve ancak, sahip $A$ ℝ arasında d Lebesgue ölçümü sıfır olduğu için, sahiptir:

{\ mathbb {P}} \ left (A \ sağda Z \) = 0.

Bu kriter pratikte nadiren $Z'nin$ yoğunluğa sahip olduğunu göstermek için kullanılır , ancak diğer yandan bazı olasılıkların sıfır olduğunu göstermek için kullanışlıdır. Örneğin, rastgele vektör $Z = ( X , Y )$ yoğunluğa sahipse, o zaman:

${\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (X = Y \ sağ) = 0,}$
${\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (X ^ {2} + Y ^ {2} = 1 \ sağ) = 0,}$

çünkü birinci bisektörün (yani birim çemberin) Lebesgue ölçümü (başka bir deyişle alan) sıfırdır.

Daha genel olarak, ölçülebilir bir fonksiyonun grafiğinin Lebesgue ölçümü φ sıfırdır, şunu takip eder:

${\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (Y = \ varphi (X) \ sağ) = 0.}$

Benzer şekilde, kümenin Lebesgue ölçüsü sıfır olduğu için şu sonuca varabileceğimiz birçok örnek vardır: ${\ displaystyle \ sol \ {(x, y) \ \ mathbb içinde {R} ^ {2} \ orta \ psi (x, y) = 0 \ sağ \}}$

${\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (\ psi (X, Y) = 0 \ sağ) = 0.}$

Radon-Nikodym kriteri, rastgele bir vektörün yoğunluğa sahip olmadığını göstermek için de kullanılabilir, örneğin:

Z = \ left (\ cos \ Theta, \ sin \ Theta \ right),

Burada $Θ$ , $[0, 2π]$ üzerindeki tekdüze yasasına göre rastgele bir değişkeni belirtir , bu durumda $Z'nin$ yoğunluğu yoktur, çünkü:

{\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (X ^ {2} + Y ^ {2} -1 = 0 \ sağ) = 1.}

Not - olması durumunda , d = 1, rastgele değişken $Z$ ℝ değerlerle ise ve sadece bir olasılık yoğunluğu dağılım fonksiyonu olduğu yerel olarak kesinlikle kesintisiz.

Derecelendirme ve referans

Örneğin bkz. Walter Rudin , Gerçek ve karmaşık analiz [ basımların detayı ] daha fazla ayrıntı için.

Kaynakça

(tr) Leo Egghe, Stopping Time Techniques for Analysts and Probabilists , coll. "London Mathematical Society Lecture Note Series",1984, 351 s. ( ISBN 978-0-521-31715-3 , çevrimiçi okuyun )
(en) Gerald Folland (en) , Gerçek Analiz: Modern Teknikler ve Uygulamaları , John Wiley & Sons ,2013, 2 nci baskı. ( çevrimiçi okuyun )
(en) J. von Neumann, " Operatörlerin halkaları üzerine, III " , Ann. Matematik. , cilt. 41, n o 1,1940, s. 94-161 ( çevrimiçi okuyun ) (çapraz başvuru s. 127-130)
Otton Nikodym, " MJ Radon integrallerinin bir genellemesi üzerine ", Fund. Direk. , cilt. 15,1930, s. 131-179 ( zbMATH 56.0922.02 , çevrimiçi okuyun )
(de) J. Radon, " Theorie und Anwendungen der absolut additiven Mengenfunktionen " , Sitz. Kais. Akad. Wiss. Wien , matematik. -Naturwiss. Kl. IIa, cilt. 122,1913, s. 1295-1438