Sürekli yeknesak hukuk
Üniforma
|
Olasılık yoğunluğu
|
|
|
Dağıtım işlevi
|
|
Ayarlar
|
-de,b∈ ]-∞,+∞[{\ displaystyle a, b \ in \] \! - \ infty, + \ infty [\!}
|
---|
Destek
|
-de≤x≤b{\ displaystyle a \ leq x \ leq b \!}
|
---|
Olasılık yoğunluğu
|
1b--deiçin -de≤x≤b0pÖsenr x<-de Ösen x>b{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {ba}} & {\ mbox {for}} a \ leq x \ leq b \\\\ 0 & \ mathrm {for} \ x <a \ \ mathrm {veya} \ x> b \ end {matris}} \!}
|
---|
Dağıtım işlevi
|
0için x<-dex--deb--de için -de≤x<b1için x≥b{\ displaystyle {\ begin {matrix} 0 & {\ mbox {for}} x <a \\ {\ frac {xa} {ba}} & ~~~~~ {\ mbox {for}} a \ leq x <b \\ 1 & {\ mbox {for}} x \ geq b \ end {matris}} \!}
|
---|
Umut
|
-de+b2{\ displaystyle {\ frac {a + b} {2}}}
|
---|
Medyan
|
-de+b2{\ displaystyle {\ frac {a + b} {2}}}
|
---|
Moda
|
herhangi bir değer [-de,b]{\ displaystyle [a, b]}
|
---|
Varyans
|
(b--de)212{\ displaystyle {\ frac {(ba) ^ {2}} {12}}}
|
---|
Asimetri
|
0{\ displaystyle 0 \!}
|
---|
Normalleştirilmiş basıklık
|
-65{\ displaystyle - {\ frac {6} {5}} \!}
|
---|
Entropi
|
ln(b--de){\ displaystyle \ ln (ba) \!}
|
---|
Moment üreten fonksiyon
|
etb-et-det(b--de){\ displaystyle {\ frac {{\ rm {e}} ^ {tb} - {\ rm {e}} ^ {ta}} {t (ba)}}}
|
---|
Karakteristik fonksiyon
|
ebentb-ebent-debent(b--de){\ displaystyle {\ frac {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} tb} - {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} ta}} {{\ rm { i}} t (ba)}}}
|
---|
Gelen olasılık teorisi ve istatistik , sürekli tekdüze kanunları ailesini oluşturan yoğunluk olasılık yasaları şu özelliğe: bütün aralıklar dahil aynı uzunlukta destek kanunun aynı olasılığına sahiptir. Bu, bu yasaların olasılık yoğunluğunun destekleri üzerinde sabit kalmasıyla sonuçlanır.
Sürekli tekdüze yasası, olasılık yoğunluk fonksiyonunun şekli nedeniyle dikdörtgen fonksiyonunun bir genellemesidir . Bu en küçük ve en büyük değerler parametreli bir ve b o tekdüze rasgele değişken alabilir. Bu sürekli yasa genellikle U ( a , b ) ile gösterilir.
Karakterizasyon
Yoğunluk
Olasılık yoğunluk sürekli ve tek biçimli dağılımına a, fonksiyon aralığının [ a , b ] :
f(x)={1b--deiçin -de≤x≤b,0sbendeğilÖdeğil.{\ displaystyle f (x) = {\ {vakalar} {\ frac {1} {ba}} ve {\ text {pour}} a \ leq x \ leq b, \\ 0 & \ mathrm {aksi halde} başlar. \ end {vakalar}}}
Dağıtım işlevi
Dağılım fonksiyonu ile verilmektedir
F(x)={0için x<-dex--deb--deiçin -de≤x<b1için x≥b{\ displaystyle F (x) = {\ başlar {vakalar} 0 & {\ text {for}} x <a \\ {\ dfrac {xa} {ba}} ve {\ text {for}} a \ leq x <b \\ 1 & {\ text {for}} x \ geq b \ end {vakalar}}}
İşlevler oluşturma
Moment üreten fonksiyon
Moment kavramı olan
Mx=E[etx]=etb-et-det(b--de){\ displaystyle M_ {x} = \ mathbb {E} [{\ rm {e}} ^ {tx}] = {\ frac {{{\ rm {e}} ^ {tb} - {\ rm {e} } ^ {ta}} {t (ba)}}}merkezlenmemiş tüm momentlerin hesaplanmasına izin veren , m k :
m1=-de+b2,{\ displaystyle m_ {1} = {\ frac {a + b} {2}},}m2=-de2+-deb+b23,{\ displaystyle m_ {2} = {\ frac {a ^ {2} + ab + b ^ {2}} {3}},}mk=1k+1∑ben=0k-debenbk-ben.{\ displaystyle m_ {k} = {\ frac {1} {k + 1}} \ toplam _ {i = 0} ^ {k} a ^ {i} b ^ {ki}.}Bu durumda, bir için rastgele değişkenin Bu yasa sonra umut daha sonra m, 1 = ( a + b ) / 2 ve varyans olup
m 2 - m 1 2 = ( b - a ) 2 / yazılır 12.
Kümülantların üretme işlevi
İçin n 2 ≥, n- inci kümülan aralığı [0, 1] boyunca homojen yasa olan b , n / n , B , n olup n- inci Bernoulli sayısı .
Özellikleri
Sipariş istatistikleri
Let X 1 , ..., X burada n bir örnek IID hakları elde edilen , U (0, 1). Let X ( k ) olmak k- inci sıra istatistiği numunesinin. Daha sonra, dağıtım X ( k ) a, p dağıtım parametreleri k ve n, - k beklentisi olan + 1
E[X(k)]=kdeğil+1.{\ displaystyle \ mathbb {E} [X _ {(k)}] = {k \ n + 1} üzerinden.}Bu gerçek, bir Henry çizgisi oluştururken kullanışlıdır .
Varyanslar
Var(X(k))=k(değil-k+1)(değil+1)2(değil+2).{\ displaystyle \ operatorname {Var} (X _ {(k)}) = {k (n-k + 1) \ over (n + 1) ^ {2} (n + 2)}.}
Tek tip görünüm
Tek tip bir değişkenin belirli bir aralıkta düşme olasılığı, bu aralığın konumundan bağımsızdır, ancak bu aralığın kanunun desteğine dahil edilmesi koşuluyla, yalnızca uzunluğuna bağlıdır. Öyleyse, X ≈ U ( a , b ) ve [ x , x + d ], d > 0 sabit olmak üzere [ a , b ] ' nin bir alt aralığı ise , o zaman
P(X∈[x,x+d])=∫xx+ddyb--de=db--de{\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (X \ in \ sol [x, x + d \ sağ] \ sağ) = \ int _ {x} ^ {x + d} {\ frac {\ mathrm {d} y} {ba}} \, = {\ frac {d} {ba}} \, \!}bunlardan bağımsız x . Bu gerçek, bu kanunun mezhebini motive etmektedir.
Standart yeknesak hukuk
A = 0 ve b = 1 özel durumu , U (0, 1) olarak da belirtilmiş olan standart yeknesak yasayı ortaya çıkarır . Şu gerçeğe dikkat edin: u 1 standart bir tek tip dağılıma göre dağıtılırsa, bu aynı zamanda u 2 = 1 - u 1 için de geçerlidir .
A kümesinde tek tip yasa
Herhangi bir bölümü ise A ve Borel, Lebesgue ölçümü λ ( A ) sonlu ve kesinlikle olumlu, biz denilen bir olasılık dağılımını, ilişkilendirmek Üniforma Hukuku A ve olasılık yoğunluk fonksiyonu ƒ için tanımlanmış tarafından:
Rd,{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d},} x∈Rd,{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {d},}
f(x) = 1λ(AT) χAT(x),{\ displaystyle f (x) \ = \ {\ frac {1} {\ lambda (A)}} \ \ chi _ {A} (x),}burada χ A , montaj A'nın gösterge işlevidir . Yoğunluk ƒ sıfır dışında bir ama sabitine eşit 1 / λ ( A ) arasında A .
Esas olarak bu sayfada ele alınan özel durum, d = 1 ve A'nın [ a , b ] aralığı olduğu durumdur .R.{\ displaystyle \ mathbb {R}.}
Taşıma ve değişmezlik
Yeterli durumu - rastgele değişkenin kanunu Y = T ( X ) , resim, bir dönüşüm sırasında , T a, tek tip değişken X bir parçası ile ilgili A arasında hala homojen yasası T ( A ) ise , T , bir set, bir ihmal edilebilir yakın, enjekte edilebilir ve türevlenebilir ve eğer, hemen hemen her yerde A üzerinde , Jacobian of T'nin mutlak değeri sabitse.
Rd,{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d},}
Tekdüzelik saygı duyan dönüşüm örnekleri:
- Eğer T olduğu afin ve örten, Y üzerinde muntazam kuralı takip T ( A ) .
- Özellikle, T bir bir izometrik bir ayrılan bir değişmez, Y, aynı dağılımına sahip , X .Rd{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}
- Örneğin, bir izometrisi ait yaprakların kökeni değişmeyen bırakarak koşuluyla, merkezi orijinde birim topa düzgün bir yasa değişmez.Rd{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}
- Başka bir izometri örneği: U [0, 1] üzerinde tekdüze ise, 1 - U da eşittir.
- Eğer bir kesir kısmı arasında x , ve , tüm [0, 1] üzerinde birebir ya da türevlenebilir değil ama yukarıda belirtilen hipotezleri tatmin T ([0, 1 [) = [0, 1 [ . Buna göre ve hatta U gibi davranın . Bu sayfanın çerçevesini biraz terk ederek ve M ( x ) 'e ek olarak sahip olan trigonometrik çemberin noktasını not ederek , trigonometrik çember üzerinde rastgele düzgün bir şekilde çizilmiş bir nokta olarak M ( U )' yu görebiliriz . Noktalar ve daha sonra , birim çemberi değişmez bırakan izometriler olan 2a a açısının dönmesi ile elde edilir (sırasıyla, yönlendirme açısı π a ile çizgiye göre simetri ile ) . Bu nedenle, bu noktaların hala birim çemberdeki tek tip yasayı takip etmesi şaşırtıcı değildir . Bu üniform bir hukuk çok özel mülkiyet çevirir: öyle Haar ölçüsü arasında{x}{\ displaystyle \ {x \}}T+,-de(x)={-de+x}{\ displaystyle T _ {+, a} (x) = \ {a + x \}}T-,-de(x)={-de-x}{\ displaystyle T _ {-, a} (x) = \ {ax \}}{-de+U}{\ displaystyle \ {a + U \}}{-de-U}{\ displaystyle \ {aU \}} e2benπx,{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {2 {\ rm {i}} \ pi x},}M({-de+U}){\ displaystyle M (\ {a + U \})}M({-de-U}){\ displaystyle M (\ {aU \})}R∖Z.{\ displaystyle \ mathbb {R} \ ters eğik çizgi \ mathbb {Z}.}
Sonuç - Dizi , [0, 1] üzerinden bağımsız ve tek tip rasgele değişkenlerin bir dizisiyse ve bu durumda dizi , [0, 1] üzerinden bağımsız ve tek tip rasgele değişkenlerin bir dizisidir .
V=(V1,V2,...,Vdeğil){\ displaystyle V = (V_ {1}, V_ {2}, \ noktalar, V_ {n})}Uk={V1+V2+⋯+Vk},{\ displaystyle U_ {k} = \ {V_ {1} + V_ {2} + \ noktalar + V_ {k} \},}U=(U1,U2,...,Udeğil){\ displaystyle U = (U_ {1}, U_ {2}, \ noktalar, U_ {n})}
Gösteri
Koşullu yasası bilerek kanunudur biz sadece birkaç satır yukarıda gördüğümüz gibi, [0, 1] üniforma yasası olur ki. Öyleyse, kesinlikle buna bağlı olmadığını bilmenin koşullu yasası Bunun iki sonucu vardır:
Uk,{\ displaystyle U_ {k},}(V1,V2,...,Vk-1)=(-de1,-de2,...,-dek-1),{\ displaystyle (V_ {1}, V_ {2}, \ noktalar, V_ {k-1}) = (a_ {1}, a_ {2}, \ noktalar, a_ {k-1}),}{-de1+-de2+⋯+-dek-1+Vk},{\ displaystyle \ {a_ {1} + a_ {2} + \ noktalar + a_ {k-1} + V_ {k} \},}Uk{\ displaystyle U_ {k}}(V1,V2,...,Vk-1)=(-de1,-de2,...,-dek-1){\ displaystyle (V_ {1}, V_ {2}, \ noktalar, V_ {k-1}) = (a_ {1}, a_ {2}, \ noktalar, a_ {k-1})}(-de1,-de2,...,-dek-1).{\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, \ noktalar, a_ {k-1}).}
-
Uk{\ displaystyle U_ {k}} [0, 1] üzerindeki tek tip yasayı takip eder;
-
Uk{\ displaystyle U_ {k}}bağımsız oluşturulan kabile ile ve daha ziyade, üretilen kabile göre yana(V1,V2,...,Vk-1){\ displaystyle (V_ {1}, V_ {2}, \ noktalar, V_ {k-1})}(U1,U2,...,Uk-1),{\ displaystyle (U_ {1}, U_ {2}, \ noktalar, U_ {k-1}),}σ(V1,V2,...,Vk-1) ⊃ σ(U1,U2,...,Uk-1).{\ displaystyle \ sigma (V_ {1}, V_ {2}, \ noktalar, V_ {k-1}) \ \ supset \ \ sigma (U_ {1}, U_ {2}, \ noktalar, U_ {k- 1}).}
Bu sonuca varmak için yeterlidir.
Bu değişkenler olması şaşırtıcı görünebilir ve her ikisi de değişkenlere önemlisi bağımlı iken, örneğin, bağımsız ve örneğin varlık: Bu üniform hukuk değişmezliği özelliğinin belirli bir sonucudur Haar de tedbir ait bunun olduğunu İdempotent için büklüm .
{V1+V2}{\ displaystyle \ {V_ {1} + V_ {2} \}}{V1+V2+V3},{\ displaystyle \ {V_ {1} + V_ {2} + V_ {3} \},}V1{\ displaystyle V_ {1}}V2.{\ displaystyle V_ {2}.}R∖Z,{\ displaystyle \ mathbb {R} \ ters eğik çizgi \ mathbb {Z},}
İlişkili dağılımlar
Aşağıdaki teorem, tüm dağılımların tek tip kanunla ilgili olduğunu belirtir :
Ters teoremi - F dağılım fonksiyonuna sahip rastgele bir değişkeniçin, aşağıdaki gibi tanımlanan genelleştirilmiş tersini G ilegösteririz:
ω∈]0,1[,{\ displaystyle \ omega \ in] 0,1 [,}
G(ω)=inf{x∈R | F(x)≥ω}.{\ displaystyle G (\ omega) = \ inf \ sol \ {x \ in \ mathbb {R} \ | \ F (x) \ geq \ omega \ sağ \}.}
Eğer anlamına gelir [0, 1] üzerinde üniform bir gerçek rasgele değişken, o zaman dağıtım işlevi vardırU{\ displaystyle U}X=G(U){\ displaystyle X = G (U)}F.{\ displaystyle F.}
Kısaca F ile karakterize edilen yasaya göre (bağımsız) çekilişler elde etmek için bu işlevi tersine çevirmek ve tek tip (bağımsız) çekilişlere uygulamak yeterlidir.
İşte bu kanunun bazı örnekleri:
-
Y = –ln ( U ) / λ, λ parametresiyle üstel yasaya göre dağıtılır ;
-
Y = 1 - U 1 / n , 1 ve n parametrelerinin beta yasasına göre dağıtılır . Bu nedenle bu, standart yeknesak yasanın 1 ve 1 parametreleri ile beta yasasının özel bir durumu olduğu anlamına gelir.
Daha eksiksiz bir tablo burada bulunabilir . Üstelik, tek tip değişkenleri kullanarak, örneğin keyfi yasaların rastgele değişkenler üretme sanatı, içinde geliştirilen Düzensiz Rastgele Değişken Üretimi tarafından, Luc Devroye internet üzerinde mevcut Springer tarafından yayınlanan,.
Başvurular
Olarak istatistik bir zaman p-değeri ( p-değeri ), bir bir istatistiksel test prosedüründe kullanılan sıfır hipotezi basit ve dağıtım test sürekli olduğu, p değeri eşit üniform dağılımı için uygun olarak dağıtılır [ 0, 1] boş hipotez geçerli ise.
Yeknesak Hukuk Başarıları Elde Edin
Çoğu programlama dili , dağıtımı etkin bir şekilde standart tekdüze kanun olan bir sözde rasgele sayı üreteci sağlar.
Eğer U olan U (0, 1), daha sonra hacim = bir + ( B - bir ) u yasa aşağıdaki U ( a , b ).
Devam eden herhangi bir yasanın gerçekleşmelerini elde edin
Yukarıda atıfta bulunulan teoreme göre, tekdüze yasa teorik olarak herhangi bir sürekli yoğunluk yasasından çekimler elde etmeyi mümkün kılar. Bunun için , bu yasanın dağıtım işlevini tersine çevirmek ve bunu standart tekdüze yasanın çizimlerine uygulamak yeterlidir . Ne yazık ki, birçok pratik durumda, dağıtım işlevi için analitik bir ifadeye sahip değiliz; daha sonra sayısal bir ters çevirme (hesaplamalarda maliyetli) veya Reddetme yöntemi gibi rakip yöntemler kullanılabilir .
Ters dönüşüm yönteminin başarısızlığının en önemli örneği Normal Yasadır . Bununla birlikte, Box-Muller Yöntemi, tek tip bir numuneyi tam bir şekilde normal bir numuneye dönüştürmek için uygun bir yöntem sağlar.
Luc Devroye veya Richard P. Stanley gibi matematikçiler , rastgele permütasyonların ( döngü boyutları , Euler sayıları , hızlı sıralama gibi sıralama algoritmalarının analizi) çalışması için [0, 1] 'de tek tip yasanın kullanımını popüler hale getirdiler .
Bir inşaatı üniform rastgele permütasyon tekdüze dağılım örneği kullanılarak
Izin üniform bir dizi rastgele değişken IID [0, 1] bir probabilized uzayında tanımlanmış (örneğin, tanımlanmış olan sahip Borelians oymağından ve Lebesgue ölçümü ile ile, eşdeğer bir şekilde ya da, tüm tamsayı için 1 ile n arasında k , let
U=(U1,U2,...,Udeğil){\ displaystyle U = (U_ {1}, U_ {2}, \ noktalar, U_ {n})}(Ω,AT,P){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P})}Ω=[0,1]değil{\ displaystyle \ Omega = [0,1] ^ {n}}Uk(ω1,ω2,...,ωdeğil) = ωk,{\ displaystyle U_ {k} (\ omega _ {1}, \ omega _ {2}, \ noktalar, \ omega _ {n}) \ = \ \ omega _ {k},}U(ω)=ω.{\ displaystyle U (\ omega) = \ omega.}
σ(k,ω) = VS-derd{ben tels qsene 1≤ben≤değil, et tels qsene Uben(ω)≤Uk(ω)}.{\ displaystyle \ sigma (k, \ omega) \ = \ \ mathrm {Kart} \ sol \ {i \ \ mathrm {böyle ~ as} \ 1 \ leq i \ leq n, \ \ mathrm {ve ~ böyle ~ } \ U_ {i} (\ omega) \ leq U_ {k} (\ omega) \ sağ \}.}
Böylece, olduğu şekilde yorumlanır rank ve bu artan düzende düzenlenmiş bir kez, numune içinde.
σ(k,ω){\ displaystyle \ sigma (k, \ omega)}Uk(ω){\ displaystyle U_ {k} (\ omega)}
Önerme - Harita tekdüze bir rastgele permütasyondur.
k↦σ(k,ω){\ displaystyle k \ mapsto \ sigma (k, \ omega)}
Gösteri
Bir için sabit permütasyon τ , denote
ATτ= {x∈Rdeğil∣xτ(1)<xτ(2)<⋯<xτ(değil)},{\ displaystyle A _ {\ tau} = \ \ sol \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ orta x _ {\ tau (1)} <x _ {\ tau (2)} <\ noktalar <x_ {\ tau (n)} \ sağ \},}
ve poz
τ.x= (xτ(1),xτ(2),...,xτ(değil)).{\ displaystyle \ tau .x = \ (x _ {\ tau (1)}, x _ {\ tau (2)}, \ noktalar, x _ {\ tau (n)}).}
Yani
{x∈ATτ} ⇔ {τ.x∈ATbend}.{\ displaystyle \ {x \ in A _ {\ tau} \} \ \ Leftrightarrow \ \ {\ tau .x \ in A _ {\ mathrm {Id}} \}.}
Üstelik tabii ki, öyleyse
U(ω)∈ATτ,{\ displaystyle U (\ omega) \ A _ {\ tau} içinde}
{∀k tel qsene 1≤k≤değil,σ(τ(k),ω) = k} Ösen edeğilvsÖre {σ(.,ω)=τ-1}.{\ displaystyle \ sol \ {\ forall k \ \ mathrm {böyle ~ que} \ 1 \ leq k \ leq n, \ quad \ sigma (\ tau (k), \ omega) \ = \ k \ sağ \} \ \ mathrm {veya ~ tekrar} \ \ {\ sigma (., \ omega) = \ tau ^ {- 1} \}.}
Gibi
⋃τ∈SdeğilATτ = {x∈Rdeğil|les xben sÖdeğilt tÖsens dbenffe´redeğilts},{\ displaystyle \ bigcup _ {\ tau \ {\ mathfrak {S}} _ {n}} A _ {\ tau} \ = \ sol \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ içinde, | \, \ mathrm {the} \ x_ {i} \ \ mathrm {are ~ all ~ fark {\ akut {e}} kiralar} \ doğru \},}
onu takip eder
B=Ω∖(⋃τ∈SdeğilATτ) = ⋃1≤ben<j≤değil{x∈Rdeğil|xben=xj}.{\ displaystyle B = \ Omega \ ters eğik çizgi \ sol (\ bigcup _ {\ tau \ {\ mathfrak {S}} _ {n}} A _ {\ tau} \ sağda) \ = \ \ bigcup _ {1 \ leq i <j \ leq n} \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \, | \, x_ {i} = x_ {j} \ sağ \}.}
Eğer bir çift vardır i < j olarak ve dolayısıyla Böylece σ (., Ω ) bir permütasyon değildir. Son olarak, B ve tür kümeleri bunun bir bölümünü oluşturduğundan, herhangi bir τ permütasyonu için ,
U(ω)∈B,{\ displaystyle U (\ omega) \ B,}Uben(ω)=Uj(ω),{\ displaystyle U_ {i} (\ omega) = U_ {j} (\ omega),}σ(ben,ω)=σ(j,ω).{\ displaystyle \ sigma (i, \ omega) = \ sigma (j, \ omega).}ATρ{\ displaystyle A _ {\ rho}}Rdeğil,{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}
{U(ω)∉ATτ} ⇒ {σ(.,ω)≠τ-1},{\ displaystyle \ sol \ {U (\ omega) \ notin A _ {\ tau} \ sağ \} \ \ Sağa \ \ {\ sigma (., \ omega) \ neq \ tau ^ {- 1} \}, }
Dolayısıyla
P(U∈ATτ) = P(σ=τ-1).{\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (U \ A _ {\ tau} \ sağda) \ = \ \ mathbb {P} \ sol (\ sigma = \ tau ^ {- 1} \ sağ).}
Rasgele vektörün bileşenleri de olan , bağımsız rastgele değişkenler ile yoğunluğu , ilgili ifade edilmiş yoğunluklarının, rastgele vektör biliyoruz U kendini bir yoğunluğa sahip f ile tanımlanan,
U=(U1,U2,...,Udeğil){\ displaystyle U = (U_ {1}, U_ {2}, \ noktalar, U_ {n})} fben,1≤ben≤değil,{\ displaystyle f_ {i}, \ dört 1 \ leq i \ leq n,}
f(x)=∏ben=1değilfben(xben).{\ displaystyle f (x) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} f_ {i} (x_ {i}).}
Benzer şekilde, rasgele vektör ve bir olasılık yoğunluk τ.U olan g , ile tanımlanır:
g(x)=∏ben=1değilfτ(ben)(xben).{\ displaystyle g (x) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} f _ {\ tau (i)} (x_ {i}).}
Burada olduğu gibi, rasgele bir vektörün bileşenlerinin iid olduğu durumda, hepsi eşit olan olasılık yoğunluklarını seçebiliriz . Bu nedenle, rasgele U ve τ.U vektörlerinin yoğunlukları f ve g eşittir: U ve τ.U rasgele vektörleri bu nedenle aynı yasaya sahiptir. Bu nedenle, herhangi bir permütasyon için τ ,
fben{\ displaystyle f_ {i}}
P(U∈ATbend) = P(τ.U∈ATbend) = P(U∈ATτ) = P(σ=τ-1).{\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (A _ {\ mathrm {Id}} \ sağdaki U \) \ = \ \ mathbb {P} \ sol (\ tau .U \ A _ {\ mathrm {Id) }} \ sağ) \ = \ \ mathbb {P} \ left (A _ {\ tau} \ sağdaki U \) \ = \ \ mathbb {P} \ left (\ sigma = \ tau ^ {- 1} \ sağ).}
Aksi takdirde,
P(U∈B) = P(∃ben<j tels qsene Uben=Uj) ≤ ∑1≤ben<j≤değilP(Uben=Uj) = 0.{\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (U \ B \ sağda) \ = \ \ mathbb {P} \ sol (\ var ben <j \ \ mathrm {böyle ~ bu} \ U_ {i} = U_ { j} \ right) \ \ leq \ \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} \ mathbb {P} \ left (U_ {i} = U_ {j} \ sağ) \ = \ 0.}
Gerçekten de hiper bir sahiptir sıfır Lebesgue ölçümünü ve olasılığı yasası U olan yoğunluğu , bu nedenle mutlak sürekli nedenle Lebesgue ölçümü ile ilgili
{xben=xj}{\ displaystyle \ {x_ {i} = x_ {j} \}}
{λ({xben=xj})=0} ⇒ {0=PU({xben=xj})(=P(Uben=Uj))}.{\ displaystyle \ sol \ {\ lambda (\ {x_ {i} = x_ {j} \}) = 0 \ sağ \} \ \ Sağa \ \ sol \ {0 = \ mathbb {P} _ {U} ( \ {x_ {i} = x_ {j} \}) (= \ mathbb {P} \ left (U_ {i} = U_ {j} \ sağ)) \ sağ \}.}
En sonunda
değil!P(σ=τ)=değil!P(U∈ATτ-1) = değil!P(U∈ATbend)=∑ρ∈SdeğilP(U∈ATρ)=P(U∈B)+∑ρ∈SdeğilP(U∈ATρ)=1,{\ displaystyle {\ başlar {hizalı} n! \, \ mathbb {P} \ sol (\ sigma = \ tau \ sağ) & = n! \, \ mathbb {P} \ sol (U \ A _ {\ içinde tau ^ {- 1}} \ right) \ = \ n! \, \ Mathbb {P} \ left (U \ in A _ {\ mathrm {Id}} \ right) \\ & = \ sum _ {\ rho \ {\ mathfrak {S}} _ {n}} \ mathbb {P} \ left (U \ in A _ {\ rho} \ right) \\ & = \ mathbb {P} \ left (U \ in B \ right) + \ sum _ {\ rho \ in {\ mathfrak {S}} _ {n}} \ mathbb {P} \ left (U \ in A _ {\ rho} \ right) \\ & = 1, \ end {hizalı}}}
son eşitlik, B ve kümelerin bir bölüm oluşturduğu gerçeğini kullanır . ATρ{\ displaystyle A _ {\ rho}}Rdeğil.{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}
Değişkenler için ortak olan olasılık dağılımı ne olursa olsun bir yoğunluğa sahipse ve sadece tekdüze yoğunluk için değil, yukarıdaki önerme doğru kalır . Yasası dağınık (atomsuz) olan iid değişkenlerinden bile tatmin olabiliriz, ispatın küçük bir değişikliğini modulo. Bununla birlikte, tek tip yasa özellikle çeşitli uygulamalar için uygundur.
Uben{\ displaystyle U_ {i}}
Rastgele bir permütasyonun iniş sayıları ve Euler sayıları
Izin vermek , rasgele çizilmiş bir permütasyonun iniş sayısı olsun
, tabii ki,
Xdeğil(ω){\ displaystyle X_ {n} (\ omega)}σ(ω){\ displaystyle \ sigma (\ omega)}Sdeğil.{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}.}
P(Xdeğil=k)=değilÖmbre de vs-des f-devÖr-deblesdeğilÖmbre de vs-des pÖssbenbles=AT(değil,k)değil!,{\ displaystyle {\ başlasın {hizalı} \ mathbb {P} \ sol (X_ {n} = k \ sağ) & = {\ frac {\ mathrm {sayı ~ ~ uygun ~ vakaların sayısı}} {\ mathrm {sayı ~ olası ~ vakaların sayısı}}} \\ & = {\ frac {A (n, k)} {n!}}, \ end {hizalı}}}
burada A ( n , k ) tam olarak k inişe sahip olmanın permütasyon sayısını belirtir . A ( n , k ), Euler sayısı olarak adlandırılır . Hadi poz verelim
Sdeğil{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}
Sdeğil=U1+U2+⋯+Udeğil.{\ displaystyle S_ {n} = U_ {1} + U_ {2} + \ noktalar + U_ {n}.}
O zaman bizde
Teorem (S.Tanny, 1973) - Eşdeğer olarak,
P(Xdeğil=k) = P(⌊Sdeğil⌋=k) = P(k≤Sdeğil<k+1),{\ displaystyle \ mathbb {P} \ sol (X_ {n} = k \ sağ) \ = \ \ mathbb {P} \ sol (\ lfloor S_ {n} \ rfloor = k \ sağ) \ = \ \ mathbb { P} \ left (k \ leq S_ {n} <k + 1 \ sağ),}
veya
AT(değil,k) = değil! P(k≤Sdeğil<k+1).{\ displaystyle A (n, k) \ = \ n! \ \ mathbb {P} \ sol (k \ leq S_ {n} <k + 1 \ sağ).}
Gösteri
[0, 1] üzerindeki bağımsız ve tekdüze rastgele değişkenler dizisi kullanılarak oluşturulan dizinin ilişki yoluyla olduğunu varsayıyoruz. Daha sonra, değişmezlik değerlendirmeleri sayesinde ( yukarıya bakın ), bir dizinin [0 , 1]. Daha sonra homojen bir rastgele permütasyon oluşturmak σ (. Q'dan dizisi kullanılarak) U belirtildiği gibi, yukarıdaki bölüm : olduğu iniş sıraya I için σ (., Ω ) halinde σ ( i , ω )> σ ( i + 1, ω olarak) ya da eşdeğer bir şekilde, paralel, tek bir çekilişi hakkında trigonometrik daire , noktalar için olan ekleri bir sonra noktaları şaryo oluşan birim çember üzerinde bir gezi üstlenir sonra o ..., daha sonra şu şekilde her zaman saat yönünün tersine çevirerek ve ek 1 ile A noktasından başlayarak (Kartezyen koordinatlarla (0, 1)). Bu şekilde katedilen yolun toplam uzunluğu o zaman
U=(U1,U2,...,Udeğil){\ displaystyle U = (U_ {1}, U_ {2}, \ noktalar, U_ {n})}V=(V1,V2,...,Vdeğil){\ displaystyle V = (V_ {1}, V_ {2}, \ noktalar, V_ {n})}Uk={V1+V2+⋯+Vk}.{\ displaystyle U_ {k} = \ {V_ {1} + V_ {2} + \ noktalar + V_ {k} \}.}U=(U1,U2,...,Udeğil){\ displaystyle U = (U_ {1}, U_ {2}, \ noktalar, U_ {n})}Uben(ω)>Uben+1(ω).{\ displaystyle U_ {i} (\ omega)> U_ {i + 1} (\ omega).}Mk(ω){\ displaystyle M_ {k} (\ omega)} e2benπUk(ω).{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {2 {\ rm {i}} \ pi U_ {k} (\ omega)}.}M1(ω),{\ displaystyle M_ {1} (\ omega),}M2(ω),{\ displaystyle M_ {2} (\ omega),}Mdeğil(ω),{\ displaystyle M_ {n} (\ omega),}
2π (V1+V2+⋯+Vdeğil).{\ displaystyle 2 \ pi \ \ sol (V_ {1} + V_ {2} + \ noktalar + V_ {n} \ sağ).}
Dahası, aşağı mertebesine i için σ (., Ω ) ancak ve ancak noktadan yukarıdaki seyahat adım gelişti aracılığıyla A . Dolayısıyla, σ (., Ω ) 'nin iniş sayısı, A noktasının kesişme sayısıdır; bu, aynı zamanda , toplam uzunluğunu veren hesaplama görünümünde, A noktasından In konumuna yolculuk sırasında yapılan birim çemberin tam dönüşlerinin sayısıdır . iyi gidilen yol, yukarıya bakın, tam dönüşlerin sayısı da yazılmıştır:
Mben(ω){\ displaystyle M_ {i} (\ omega)}Mben+1(ω){\ displaystyle M_ {i + 1} (\ omega)}Mdeğil(ω).{\ displaystyle M_ {n} (\ omega).}
⌊V1(ω)+V2(ω)+⋯+Vdeğil(ω)⌋.{\ displaystyle \ sol \ lfloor V_ {1} (\ omega) + V_ {2} (\ omega) + \ noktalar + V_ {n} (\ omega) \ sağ \ rfloor.}
Böylece σ (., Ω ) 'nin iniş sayısı eşittir σ ' nun iniş sayısı bu nedenle aynı yasaya sahiptir.⌊V1(ω)+V2(ω)+⋯+Vdeğil(ω)⌋.{\ displaystyle \ sol \ lfloor V_ {1} (\ omega) + V_ {2} (\ omega) + \ noktalar + V_ {n} (\ omega) \ sağ \ rfloor.}⌊Sdeğil⌋.{\ displaystyle \ sol \ kat S_ {n} \ sağ \ rfloor.}
Bu hemen aşağıdaki itibaren merkezi limit teoremi için aracılığıyla Slutsky teoremi .
Xdeğil,{\ displaystyle X_ {n},}
Notlar ve referanslar
-
Burada ayrıntılı makaleye bakın .
-
(en) Luc Devroye , Non-Uniform Random Variate Generation , New York, Springer-Verlag'ın pdf versiyonu (ücretsiz ve yetkili) ,1986, 1 st ed. ( çevrimiçi okuyun ) Luc Devroye'nin editörü ile olan tartışmalarının komik bir anlatımının yanı sıra mevcut.
-
Daha doğrusu, yöntem iki bağımsız normal çekiliş sağlamak için iki bağımsız çizim U (0, 1) gerektirir .
-
bkz . S. Tanny , " Euler sayılarının olasılıksal yorumu " , Duke Math. J. , cilt. 40,1973, s. 717-722veya (en) RP Stanley , " Bir birim hiperküpün Eulerian bölümleri " , Higher Combinatorics , Dordrecht, M. Aigner, ed., Reidel,1977.
İlgili Makaleler