Açık görüntü teoremi

In matematik ve daha doğrusu içinde karmaşık analizde , açık görüntü teoremi iddia olmayan sabit holomorfik fonksiyonları vardır açık .

Eyaletler

Let U olabilir , bir bağlantılı açık grubu arasında kompleks düzlem C ve f : U → Cı bir sabit olmayan holomorfik fonksiyonu ; daha sonra f bir bir açık uygulama bu alt-gruplar açık gönderir demek ki, U açık doğru C .

Gösteri

F ( U ) 'nun her noktasının içsel olduğunu, başka bir deyişle f ( U ) ' da bulunan bir diskte bulunduğunu göstermek istiyoruz . Let ağırlık 0 = f ( z 0 ) olduğu bir rasgele nokta f ( U ) ile ( z 0 olarak U ). U yoktur, açık olmak d > 0 öyle ki B , kapalı disk merkezi z 0 ve yarıçap d , dahildir U . f ile sabit değildir , U ve U bağlıdır, ön boyunca sabit değildir B . İşlev g ( Z ) = f ( Z ) - W 0 analitik sabit olmayan ve kabul z 0 kökü olarak; göre izole sıfır ilkesi , biz seçebilmesi gelen bu gr başka hiçbir kökleri B . Let E olmak asgari | g ( z ) | için z sınır daire üzerinde B ve izin D, merkezi disk w , 0 ve yarıçap e . Göre Rouche teoremine , fonksiyon g ( Z ) = f ( Z ) - w 0 kökleri aynı sayıda içinde (çokluklar ile sayılır) B olarak f ( z ) - ağırlık tüm ağırlık bir katı daha az bir mesafede için e ait w 0 . Bu durumda, her için ağırlık olarak D , en azından bir vardır z 1 de B bu tür f ( Z 1 ) = a . Disk D nedenle içerdiği f ( B ), bir alt f ( U ); Bu nedenle w 0 , f ( U ) ' nun bir iç noktasıdır .

Bu teoremi entegrasyon teorisi olmadan, Brouwer'in sabit nokta teoreminden veya daha basit bir şekilde Banach / Picard'ın sabit nokta teoreminden kanıtlamak da mümkündür .

Uyarılar

Bu teoremi holomorfik uygulamalar arasında önemli farklılıklar bir örneğidir ve özellikler R ' bölgesinin -différentiables C için C : kompleks değerli fonksiyonu z ↦ z z olan R -différentiable ve C sınıfı $\infty$ , ancak açıkça açık değildir. Bu eşlenerek bile açık değil C için R imajını kapalı aralık [0 olduğu, $+ \infty$ [. Aynı şekilde, gerçek değişken fonksiyonların muadili yoktur.

Birkaç değişkene genelleme

Açık görüntünün teoremi, birkaç değişkenli holomorfik fonksiyonlar için geçerli kalır: U ifadesini , bağlı bir açık C n ile değiştiririz . İspat, f ile farklı değerlere sahip iki noktadan geçen (karmaşık) doğruyu çizerek bir değişken durumuna geri dönmekten ibarettir .

Başvurular

Cebir temel teoremi açık haritalama teoremi şirketinden çıkarılır: Açık haritalama teoremine göre, görüntü herhangi bir sabit olmayan polinom açık biridir ; sadece bunun kapalı olduğunu göstermeye devam ediyor ve bağlılığı bize bunu ve dolayısıyla bu sonuca varmamıza izin verecek . ${\ displaystyle P (\ mathbb {C})}$ $P$ $\ mathbb {C}$ ${\ displaystyle P (\ mathbb {C})}$ $\ mathbb {C}$ $\ mathbb {C}$ ${\ displaystyle P (\ mathbb {C}) = \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle 0 \ P (\ mathbb {C})}$

Maksimum prensibi Holomorfik fonksiyonların kolayca açık eşleme teoremi den çıkarılabilir. Gerçekten de, eğer f : U → Cı bağlı bir açık ile sabit olmayan bir holomorfik haritasıdır U arasında C , n , o zaman her bir nokta için , z 0 ve U , görüntü f herhangi açık mahalle z 0 açık mahalle W arasında C içinde f ( z 0 ) . C topolojisine göre , | f ( z 0 ) | maksimum | w | için ağırlık tarama W . Yani | f ( z 0 ) | yerel bir maksimum değil. Aynı mantık | yerine Re ( f (z)) için de geçerlidir. f (z) |.

Notlar

Bağlantı hipotezi gereklidir. Aslında, U bağlı değilse, bağlı bir bileşen üzerinde sabit olmayan ve diğer bileşenlerde sabit olmayan bir fonksiyon genel olarak sabit değildir ve açık değildir.
Analitik fonksiyonların özelliklerine göre, örneğin analitik uzantının benzersizliği ile .
e var ve bu fonksiyon süreklidir ve sınırı nedeniyle, kesinlikle olumludur B ise kompakt .
(en) Daniel Reem, " Açık haritalama teoremi ve cebirin temel teoremi " , Sabit nokta teorisi 9 (2008) ,25 Temmuz 2011( çevrimiçi okuyun )
Ludger Kaup, Burchard Kaup, çeşitli değişkenlerin Holomorfik fonksiyonları: temel teoriye giriş . Walter de Gruyter, 1983, Teorem 6.3

Referanslar

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır İngilizce başlıklı " Açık dönüşüm teoremi (karmaşık analiz) " ( yazarların listesini görmek ) .
Walter Rudin , Gerçek ve karmaşık analiz [ sürümlerin ayrıntıları ]