Düzenlilik sınıfı

Gelen matematik ve analiz , düzenlilik sınıfları arasında Dijital fonksiyonların bir kısmi katalog varlığı ve dayanıyordu oluşturan süreklilik içinde türetilmiş Yinelemeli bağımsız olarak işlev (formunda veya şekil, tekdüze , dışbükeylik , sıfır , vs.).

Bununla birlikte, düzenlilik sınıfları hiçbir şekilde kapsamlı bir işlev türünü yansıtmaz: özellikle, kriterler tanım alanının tamamı ile ilgilidir .

Boyut n = 1

Eğer $J$ bir bir aralık ℝ ve bir tam sayıyı, dikkate aldığımız aşağıdaki fonksiyonel alanlar : $k \ geq 1$

${\ mathcal {C}} ^ {0} (J, \ mathbb {R})$ : Sürekli fonksiyonların grubu $J$ ℝ için;
${\ mathcal {D}} ^ {k} (J, \ mathbb {R})$ : İşlevlerin grubu $J$ olan ℝ için türevlenebilir defa; $k$
${\ mathcal {C}} ^ {k} (J, \ mathbb {R})$ : i'nci türevi sürekli olan fonksiyonlardan oluşan alt küme ; ${\ mathcal {D}} ^ {k} (J, \ mathbb {R})$ $k$
${\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (J, \ mathbb {R})$ Ya da katı bir eşdeğer bir şekilde : süresiz türevlenebilir fonksiyonların grubu (yani, kat tüm tamsayılar için türevlenebilir gelen) $J$ ℝ için de denilen düz ya da normal fonksiyonları . ${\ mathcal {D}} ^ {\ infty} (J, \ mathbb {R})$ $değil$ $değil$

Bunlar kümeleridir cebir yüzden de daha çok vektör uzayı ℝ üzerinde.

Süreklilik, $J$ ve ℝ üzerindeki olağan topolojilere bağlıdır. Öte yandan, bu belirtilmemişse $J$ olan açık , kapalı devre, sağ ya da bütün ℝ, yarı açık. Bu uzaylarla ilişkili topoloji (veya muhtemelen standart ) burada da açıklanmamaktadır (bkz . Fréchet Uzayı ).

Bağlam net olduğunda, gösterimde “argüman” ℝ yok sayılır ve aynı şey bazen tanım alanı için de geçerlidir (bu genellikle $J$ = ℝ olduğunda durumdur).

Türevlenebilirlik sürekliliği ifade ettiğinden, bu kümeler dahil etme sırasını karşılar:

{\ mathcal {C}} ^ {0} (J) \ supset {\ mathcal {D}} ^ {1} (J) \ supset {\ mathcal {C}} ^ {1} (J) \ supset {\ mathcal {D}} ^ {2} (J) \ supset {\ mathcal {C}} ^ {2} (J) \ supset \ cdots \ supset {\ mathcal {D}} ^ {k} (J) \ supset {\ mathcal {C}} ^ {k} (J) \ supset \ cdots \ supset {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (J).

Yaygın olarak iki kategoriden bahsedilir:

${\ mathcal {C}} _ {I} ^ {0} (J)$ parçalı sürekli fonksiyonlar kümesi ;
${\ mathcal {C}} _ {I} ^ {k} (J)$ (ile ) i'nci türevi parça parça sürekli olan fonksiyonlardan oluşan alt küme ; $k \ geq 1$ ${\ mathcal {D}} ^ {k} (J)$ $k$
${\ mathcal {C}} _ {0} ^ {k} (J)$ alt kümesi olan fonksiyonların yapılmış destek olan kompakt içerdiği açık set $J$ ; ${\ mathcal {C}} ^ {k} (J)$
${\ mathcal {C}} _ {0} ^ {\ infty} (J)$ alt kümesi olan destek bir açık içerik kompakt işlevleri oluşur $J$ . ${\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (J)$

Aşağıdaki katkıları karşılarlar:

{\ mathcal {D}} ^ {k} (J) \ supset {\ mathcal {C}} _ ​​{I} ^ {k} (J) \ supset {\ mathcal {C}} ^ {k} ( J) \ supset {\ mathcal {C}} _ ​​{0} ^ {k} (J).

Aralık ise

J

olan önemsiz olmayan , bütün bu takımları bunların yasaların vektör uzayı sahip teşkil boyut kart (ℝ) .

N > 1 boyutundaki alan adı

Yani açık bir sınır, sınır ve yapışma . $\ Omega \ altküme \ mathbb {R} ^ {n}$ $\ kısmi \ Omega$ ${\ overline {\ Omega}}$

Basit olması için , bunun "normal" bir alan adı olduğunu varsayalım ; örneğin ve fikirleri düzeltmek için , diverjans teoreminin herhangi bir yeterince düzgün fonksiyon için geçerli olduğu . $\Omega$ $\ mathbb {R} ^ {n}$

Bu bağlamda, önceki tanım değiştirerek kadar geçerliliğini koruyan $J$ ile ve “anlamında“türev”alarak diferansiyel ”. ${\ overline {\ Omega}}$

İlgili Makaleler