Cauchy'nin integral teoremi

In karmaşık analizde , Cauchy integrali teoremi , ya Cauchy - Goursat , önemli olan sonuç ilişkin eğrisel integraller arasında Holomorfik fonksiyonların içinde karmaşık düzlemde . Bu teoreme göre, eğer iki farklı yol aynı iki noktayı birbirine bağlarsa ve bir fonksiyon iki yol “arasında” holomorfik ise, bu yol boyunca bu fonksiyonun iki integrali eşittir.

Eyaletler

Teorem genellikle geri dönüşler için (yani, başlangıç noktası bitiş noktasıyla çakışan yollar) aşağıdaki şekilde formüle edilir .

Şunlardır:

U basitçe bağlı bir açık ℂ;
$f$ : U → ℂ U üzerinde sürekli bir fonksiyon ve muhtemelen sonlu sayıda nokta dışında karmaşık bir türevi olan;
$γ$ bir sapma doğrultulabilir içinde U .

Yani :

{\ displaystyle \ int _ {\ gama} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 0}

Basit bağlantı koşulu

Bu durum , U sadece bu araçlar bağlı U bir "delik" yer alır; örneğin, herhangi bir açık disk bu koşulu karşılar. $U = \ {z, \ mid z-z_ {0} \ mid <r \} \,$

Durum çok önemlidir; örneğin, $γ$ olan birim çember sonra fonksiyonu bu dantel üzerinde yekpare $f ( Z ) = 1 / z$ , sıfır değildir; Cauchy'nin integral teoremi burada geçerli değildir çünkü $f$ , 0'da süreklilik ile genişletilemez.

Gösteri

Argümanları ile düzgün süreklilik içinde $f$ görüntüsünün kompakt ε-Mahallelerle ilgili $y$ içinde U , integral $f$ ile $y$ entegrallerinin sınırı $f$ çokgen döngüler üzerinde. Sonuç olarak, Goursat'ın lemmasını çağırmak yeterlidir .

Ayrıca, durumunda olabilir $f$ herhangi bir noktasında holomorfik olan $U$ , döngüler ailesini düşünün ile . $\ gamma _ {{\ alpha}} (t) = z_ {0} + (1- \ alpha) (\ gamma (t) -z_ {0})$ $[0,1] içinde \ alpha \$

Sonuçlar

Teoremi varsayımlar altında, $ön$ sahip olduğu U bir ilkel kompleks $F$ . Aslında, U'nun bağlı bileşenlerinden biriyle değiştirilmesi anlamına gelse bile , U'nun bağlı olduğunu varsayabiliriz . Daha sonra rasgele bir nokta sabitleme $z 0$ ve U ve kompozisyon ile ${\ displaystyle F (z) = \ int _ {P (z)} f (\ xi) ~ \ mathrm {d} \ xi}$ ,burada $P ( Z )$ herhangi bir doğrultulabilir yolu U gelen $z 0$ için $z$ (teoremine göre değeri $F ( z )$ seçimine bağlı değildir $P ( Z )$ ve değişken kanıtı adapte ederek) analizin ilk temel teoremi karmaşıktır , sonra F'nin U üzerinde holomorfik olduğunu ve $F '= f$ olduğunu çıkarırız .
Böyle bir İlkel için hemen sahiptir: her için sürekli parçalı türevlenebilir yol $y$ ile ilgili $bir$ için $b$ bölgesindeki U : ${\ displaystyle \ int _ {\ gama} f (z) \ mathrm {d} z = F (b) -F (a)}$ .
$F$ için gerekli olan birkaç varsayım çok ilginçtir, çünkü daha sonra Cauchy'nin bu fonksiyonlar için integral formülünü ispatlayabilir ve gerçekte sonsuza kadar türevlenebilir oldukları sonucuna varabiliriz.
Cauchy'nin integral teoremi, kalıntı teoremi tarafından önemli ölçüde genelleştirilir .
Cauchy'nin integral teoremi, yukarıda verilenden biraz daha güçlü bir biçimde geçerlidir. Varsayalım ki U ℂ bir basit bağlantılı açık kümesidir sınır bir olan basit doğrultulabilir döngü $γ$ . Eğer $f$ bir holomorfik fonksiyon olan U ve sürekli yapışma ve U , daha sonra tamamlayıcı $f$ ile $y$ sıfırdır.

Misal

Herhangi bir kompleks için, $a$ , fonksiyon seçtiğimiz, ana belirleme ve güç fonksiyonu , yarı satır yoksun kompleks düzlemde holomorfik olup . Bu nedenle, bu alanın herhangi bir sapmasındaki integrali sıfırdır. Bu, yarı yakınsak integrallerin ${\ displaystyle f (z): = {\ frac {{\ mathrm {e}} ^ {\ mathrm {i} z}} {z ^ {\ alpha}}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {-}}$

{\ displaystyle J_ {c} (\ alpha): = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos t} {t ^ {\ alpha}}} \, \ mathrm {d} t \ dörtlü {\ text {et}} \ quad J_ {s} (\ alpha): = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin t} {t ^ {\ alpha}}} \, \ mathrm {d} t \ quad {\ text {pour}} \ quad \ mathrm {Re} (\ alpha) \ in \ left] 0,1 \ sağ [}

(burada $Re$ , gerçek kısmı gösterir ) sırasıyla eşittir

{\ displaystyle J_ {c} (\ alpha) = \ cos \ sol ((1- \ alpha) {\ frac {\ pi} {2}} \ sağ) \ Gama (1- \ alpha) \ dört {\ metni {et}} \ quad J_ {s} (\ alpha) = \ sin \ left ((1- \ alpha) {\ frac {\ pi} {2}} \ right) \ Gama (1- \ alpha)}

burada $Γ$ belirtmektedir gama fonksiyonu ve $cos, sin$ sırasıyla kosinüs ve sinüs fonksiyonu kompleks değişkenli .

Hesaplama ayrıntıları

Göstermek göre $α = bir + i b$ ile $bir \in] 0, 1 [$ ve . Bu entegre $f$ gerçek parça tarafından oluşturulan döngü (yekpare sıfırdır) $[ε,$ $R$ $]$ ve saf hayali segmenti $i [$ $R$ $, ε]$ , çeyrek daireler ile birleştirilmiş $R$ $e$ $[0, ı π / 2]$ ve $εe$ $[$ $iπ$ $/ 2, 0]$ , o zaman yapmak $R$ eğilimi doğru $+ \infty$ ve $ε$ doğru $0$ $+$ . ${\ displaystyle b \ in \ mathbb {R}}$

İki çeyrek dairedeki integraller $0'a$ doğru eğilimlidir, çünkü

{\ displaystyle \ sol | \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ frac {{\ mathrm {e}} ^ {\ mathrm {i} R \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta}}} {R ^ {\ alpha} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ alpha \ theta}}} \ mathrm {i} R \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ theta} \, \ mathrm {d} \ theta \ right | \ leq R ^ {1-a} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ mathrm {e}} ^ {- R \ sin \ theta} \, \ mathrm {d} \ theta \ leq R ^ {1-a} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ mathrm {e}} ^ {- 2R \ theta / \ pi} \, \ mathrm {d} \ theta = {\ frac {\ pi} {2}} R ^ {- a} (1- \ mathrm {e} ^ {- R})}

{\ displaystyle \ lim _ {R \ ile + \ infty} R ^ {- a} (1- \ mathrm {e} ^ {- R}) = \ lim _ {\ varepsilon \ ile 0 ^ {+}} \ varepsilon ^ {- a} (1- \ mathrm {e} ^ {- \ varepsilon}) = 0.}

Hayali segment üzerindeki integral şuna eşittir:

{\ displaystyle \ int _ {R} ^ {\ varepsilon} {\ frac {{\ mathrm {e}} ^ {- y}} {y ^ {\ alpha} \ mathrm {e} ^ {\ alpha \ mathrm { i} \ pi / 2}}} \ mathrm {i} \, \ mathrm {d} y = - \ mathrm {e} ^ {(1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ int _ {\ varepsilon} ^ {R} y ^ {- \ alpha} \ mathrm {e} ^ {- y} \, \ mathrm {d} y \ to - \ mathrm {e} ^ {(1- \ alpha) \ matematik {i} \ pi / 2} \ Gama (1- \ alpha)}

Gerçek parça üzerindeki integral eğilimi gösterir , bu nedenle eşittir . ${\ displaystyle J_ {c} (\ alpha) + \ mathrm {i} J_ {s} (\ alpha)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {(1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gama (1- \ alfa)}$

Aynı şekilde (değiştirerek $b$ ile $- b$ ), bu nedenle de (alarak konjugatları iki üye) . ${\ displaystyle J_ {c} ({\ overline {\ alpha}}) + \ mathrm {i} J_ {s} ({\ overline {\ alpha}}) = \ mathrm {e} ^ {(1 - {\ üst çizgi {\ alpha}}) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gama (1 - {\ overline {\ alpha}})}$ ${\ displaystyle J_ {c} (\ alpha) - \ mathrm {i} J_ {s} (\ alpha) = \ mathrm {e} ^ {- (1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gama (1- \ alpha)}$

Böylece sahibiz

{\ displaystyle 2J_ {c} (\ alpha) = \ mathrm {e} ^ {(1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gama (1- \ alpha) + \ mathrm {e} ^ {- (1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gama (1- \ alpha) = 2 \ cos ((1- \ alpha) \ pi / 2) \ Gama (1- \ alpha) }

{\ displaystyle 2 \ mathrm {i} J_ {s} (\ alpha) = \ mathrm {e} ^ {(1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gama (1- \ alpha) - \ mathrm {e} ^ {- (1- \ alpha) \ mathrm {i} \ pi / 2} \ Gama (1- \ alpha) = 2 \ mathrm {i} \ sin ((1- \ alpha) \ pi / 2) \ Gama (1- \ alpha)}

Örneğin, ( Fresnel integrali ). Bunu da fark edebiliriz ( Dirichlet integrali ). ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} J_ {c} (1/2) = {\ frac {1} {2}} J_ {s} (1/2) = {\ frac {1} { 2}} {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {\ mathrm {Re} (\ alpha) <1, \ alpha \ ila 1} J_ {s} (\ alpha) = {\ frac {\ pi} {2}} = \ int _ { 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin t} {t}} \, \ mathrm {d} t}$

Riemann yüzeyleri

Cauchy'nin integral teoremi, Riemann yüzeylerinin geometrisi çerçevesinde genelleştirilmiştir .

Notlar ve referanslar

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia'nın " Cauchy'nin integral teoremi " başlıklı İngilizce makalesinden alınmıştır ( yazarların listesine bakınız ) .

(inç) Liang-shin Hahn ve Bernard Epstein , Klasik Kompleks Analizi , Jones & Bartlett,1996, 411 s. ( ISBN 978-0-86720-494-0 , çevrimiçi okuyun ) , s. 111.
(inç) I-Hsiung Lin Klasik Kompleks Analizi: Geometrik Bir Yaklaşım , Cilt. 1, Dünya Bilimsel,2011( çevrimiçi okuyun ) , s. 396 ve 420.

Ayrıca görün

Kaynakça

Walter Rudin , Gerçek ve karmaşık analiz [ sürümlerin ayrıntıları ]
Henri Cartan , Bir veya daha fazla karmaşık değişkenin analitik fonksiyonlarının Temel teorisi [ baskının detayı ]
(en) Kunihiko Kodaira ( Japonca'dan çeviri ), Complex Analysis , Cambridge, CUP , coll. “Cambridge Stud. Adv. Matematik. "( N o 107),2007, 406 s. ( Mayıs ISBN 978-0-521-80937-5 )

İlgili Makaleler

Morera teoremi