Yol (topoloji)

Gelen matematik özellikle de, kompleks analiz ve topoloji , bir yol , bir birbiri arasında belirli bir sürekli arkaya modellemesidir başlangıç noktasından ve bitiş noktası . Ayrıca yönlendirilmiş bir yoldan da bahsediyoruz .

Tanımlar

Let X'in olmak bir topolojik uzay . Herhangi bir sürekli uygulama X üzerinde yol diyoruz . γ:[0,1]→X{\ displaystyle \ gama \ ,: \, [0,1] \ rightarrow X}

Başlangıç noktası yolunun bir f (0) ve bitiş noktası olan f (1) . Bu iki nokta oluşturan uçları yolun. Ne zaman bir başlangıç noktası belirtir ve B yolu (yukarıdaki şekle bakınız) uç noktası, o zaman “bağlantı yolunun söz A için B  ”.

Bir yolun sadece bir eğri gibi "görünen" bir X alt kümesi olmadığını , aynı zamanda parametreleştirmeyi de içerdiğini unutmayın . Örneğin, uygulamalar ve gerçek R çizgisinde 0'dan 1'e kadar iki farklı yolu temsil eder . f(x)=x{\ displaystyle f (x) = x}g(x)=x2{\ displaystyle g (x) = x ^ {2}}

Yollar kümesi ile X bir bir topolojik boşluk oluşturan Faybreyşın ile X .

X üzerindeki bir dantel , iki ucu aynı olan bir yoldur.

X üzerindeki herhangi iki noktanın her zaman bir yolla bağlı olduğu bir topolojik uzay, yaylarla bağlantılı olduğu söylenir . Herhangi bir alan, yaylarla bir dizi bağlı bileşene ayrıştırılabilir . Bir X uzayının yayları ile bağlanan bileşenler kümesi genellikle belirtilir . π0(X){\ displaystyle \ pi _ {0} (X)}

Yollar ve döngüler, homotopi teorisi olarak adlandırılan cebirsel topoloji dalı için merkezi çalışma konularıdır . Bir Homotopy yollarının sabit uçlar bırakarak bir yolun sürekli deformasyon tam kavramını yapar.

Kısacası, ikinci yol bir Homotopy X a, aile yolları tarafından taranan şekilde ft:[0,1]→X{\ displaystyle f_ {t}: [0,1] \ rightarrow X}[0,1]{\ displaystyle [0,1]}

• ft(0)=x0{\ displaystyle f_ {t} (0) = x_ {0}}ve düzeltildi;ft(1)=x1{\ displaystyle f_ {t} (1) = x_ {1}}
• tarafından tanımlanan uygulama süreklidir.F:[0,1]×[0,1]→X{\ displaystyle F: [0,1] \ times [0,1] \ rightarrow X}F(s,t)=ft(s){\ displaystyle F (s, t) = f_ {t} (s)}

Yollar ve bir Homotopi ile bağlı olduğu söylenmektedir homotopik . Taban noktasını sabit bırakan bir homotopi döngü de tanımlayabiliriz. f0{\ displaystyle f_ {0}}f1{\ displaystyle f_ {1}}

Homotopi ilişkisi, bir topolojik uzaydaki yollar arasındaki bir denklik ilişkisidir . Denkliği sınıfı yolu f bu ilişkisi için çağrılır homotopi sınıf içinde f ve sıklıkla belirtilmektedir . [f]{\ displaystyle [f]}

Yol kompozisyonu

Bir topolojik uzayda açık bir şekilde yolları oluşturabiliriz. Let olmak f bir yol x için y ve g bir yol y için z . Yol fg birinci şaryo yolu ile elde edilen gibi tanımlanmıştır f ve kateden g  : fg(s)={f(2s)0≤s≤12g(2s-1)12≤s≤1.{\ displaystyle fg (s) = {\ başlar {vakalar} f (2s) ve 0 \ leq s \ leq {\ frac {1} {2}} \\ g (2s-1) ve {\ frac {1} {2}} \ leq s \ leq 1. \ end {vakalar}}} Açıktır ki, yolların bileşimi sadece f'nin bitiş noktası g'nin başlangıç ​​noktasıyla çakıştığı zaman tanımlanır . Parametrelendirmedeki farklılıklar nedeniyle ilişkisel değildir . Bununla birlikte, bir Homotopi için birleştirici kadar, yani [( fg ) h ] = [ f ( GH )] (bu bileşikler, belirli zaman, yani bitiş noktası zaman f başlangıç noktasına eşittir g ve son noktasının g , başlangıç ​​noktası h ). İkinci yol Homotopy sınıfları X , böylece meydana grupoid adlandırılan grupoid Poincare arasında X ve ifade edilmiş tt ( X ).

Herhangi bir nokta için x 0 arasında X göre, ilmeklerin eşyerellik sınıflarının subgroupoid x 0 nedenle a, grubu olarak adlandırılan, temel grup ve X noktasında x 0 ve π gösterilen 1 ( X , x 0 ).

Normalleştirilmiş bir vektör uzayındaki yollar

Topolojik uzay durumda X, a, normalize edilmiş vektör uzayı veya bir benzeşik boşluk normalleştirilmiş vektör alanı ile ilişkili biz noktalarını birleştiren yolları doğasını belirtebilir.

• Düz yollar  : Her şey için yazılabiliyorsa yolun düz olduğu söylenir . Vektör denir direktör vektör ait . Yolun "desteği" (yani görüntüsü ) bu durumda bir çizgi parçasıdır .γ(t)=x+tsen→{\ displaystyle \ gama (t) = x + t {\ vec {u}}}t∈[0,1]{\ displaystyle t \ in [0,1]}sen→{\ displaystyle {\ vec {u}}}γ{\ displaystyle \ gamma}
• Poligonal yollar  : Sonlu sayıda doğrusal yolun bir bileşiği olarak yazılırsa, bir yolun poligonal olduğu söylenir . Örneğin, Manhattan'da bir yolculuk çokgen bir yoldur.
• Sınıf yollarıVSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}  : Bir yol olabilir sınıfına sahip . Tanım gereği, herhangi bir yol süreklidir ve dolayısıyla sınıfsaldır  ; ancak daha yüksek düzeyde düzenliliğe de sahip olabiliriz. A sınıfı yolu ile Be söylenen düzenli eğer her şey için . Normal bir sınıf yolunun düzgün bir yol olduğu söylenir .VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}k∈DEĞİL{\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}VS0{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {0}}VSk{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}k∈DEĞİL∗{\ displaystyle k \ in \ mathbb {N} ^ {*}}γ′(t)≠0{\ displaystyle \ gamma '(t) \ neq 0}t∈[0,1]{\ displaystyle t \ in [0,1]}VS∞{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}

Ayrıca görün

Kaynakça

• (en) Ronald Brown , Topology and Groupoids, Booksurge PLC,2006
• (tr) J. Peter Mayıs , Cebirsel Topoloji A Özlü Kursu , Chicago Üniversitesi ,1999
• (tr) James Munkres , Topoloji , Prentice Hall ,2000, 2 nci  baskı. ( 1 st  ed. 1975), 537  , s. ( ISBN  978-0-13-181629-9 , çevrimiçi okuyun )

Yazar kredisi

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen alınır İngilizce Vikipedi başlıklı makalesinde "  Yolu (topoloji)  " ( yazarların listesini görmek ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">