Iwasawa teorisi

Teorisi Iwasawa numaralarının organları (uzantıları konvansiyonel aritmetik sonuçlar uzatmak için bir girişim olarak görülebilir sonlu gövde sonsuz uzantıları rasyonel) sonsuz uzantıları sonlu uzantıların sınırında işlemleri geçirilmesiyle. Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

Genel

Iwasawa'nın teorisinin temel amaçları, uzantılardır; yani Galois grubunun, sabit bir asal sayı için profine grup olduğu Galois uzantıları . Tarafından Galois yazışmalar , bir veri -extension uzantılarının bir kulenin eşdeğerdir her şekilde Galois ile Galois olan gruptan . Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}} Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}p{\ displaystyle p}Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}K=K0⊂K1⊂⋯⊂Kdeğil⊂⋯⊂K∞{\ displaystyle K = K_ {0} \ alt küme K_ {1} \ alt küme \ noktalar \ alt küme K_ {n} \ alt küme \ noktalar \ alt küme K _ {\ infty}}Kdeğil{\ displaystyle K_ {n}}K{\ displaystyle K}Z/pdeğilZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}

• Her sayı alanı için, belirli bir uzatma, kökler -inci birim: siklotomik uzatma eklenerek oluşturulabilir .Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}p{\ displaystyle p}Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}
• Altında Leopoldt en varsayım , bir sayı alanı kabul -linearly bağımsız uzantıları çiftlerinin sayısı eşlenik kompleks tespitlerinin kabul alanının; tüm bu uzantıların bileşiminde Galois grubu olduğu söylenerek de ifade edilebilir .r2+1{\ displaystyle r_ {2} +1} Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}r2{\ displaystyle r_ {2}}Zpr2+1{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} ^ {r_ {2} +1}}

Temel teorem

Iwasawa'ya bağlı olarak teorinin kurucu teoremi, bir uzantı boyunca sınıflar grubunun davranışıyla ilgilidir . Izin vermek bir asal sayı, bir sayı alanı ve bir- uzantısı . Her biri için , aşağıdaki sınıflar grubunun kardinal du - Sylow'uyla ilgileniyoruz  ; not et . Daha sonra, tam sayılar vardır , (pozitif), için, öyle ki (herhangi bir işaretin), yeterince büyük elimizde: Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}p{\ displaystyle p \,}K{\ displaystyle K \,}⋃değilKdeğil{\ displaystyle \ bigcup _ {n} K_ {n} \,}Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} \,}K{\ displaystyle K \,}değil{\ displaystyle n \,}p{\ displaystyle p \,}Kdeğil{\ displaystyle K_ {n} \,}pedeğil{\ displaystyle p ^ {e_ {n}} \,}μ{\ displaystyle \ mu \,}λ{\ displaystyle \ lambda \,}ν{\ displaystyle \ nu \,}değil{\ displaystyle n \,}

edeğil=μpdeğil+λdeğil+ν{\ displaystyle e_ {n} = \ mu p ^ {n} + \ lambda n + \ nu \,}

Gösteri fikri

Not A (K , n ) p -Sylow gövdenin sınıfları grubu K , n . Tarafından alan teorisi sınıfları , bir uzantısı vardır L , n ve k , n , öyle ki  : L , n ise p - uzantısı değişmeli olmayan dallanmış en K , n . Vücut birliği L n, daha sonra, bir gövde içerir L pro, s - uzantısı Değişmeli olmayan maksimum dallanmış . AT(Kdeğil)≃G-del(Ldeğil/Kdeğil){\ displaystyle A (K_ {n}) \ simeq Gal (L_ {n} / K_ {n})}K∞{\ displaystyle K _ {\ infty}}

Daha sonra Galois grubunu ele alıyoruz  : X=G-del(L/K∞){\ displaystyle X = Gal (L / K _ {\ infty})}

• X gruplarının yansıtmalı sınırı torokenodesoksikolat olarak görünür, X .G-del(Ldeğil/Kdeğil){\ displaystyle Gal (L_ {n} / K_ {n})}
• X, pro olarak p -grubu değişmeli doğal yapıya sahiptir Modül.Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}
• Ayrıca, siklotomik genişlemenin Galois grubu X üzerinde etkimektedir ve bu şekilde bir -modül yapısına , yani bir Iwasawa modülüne sahip olduğu gösterilebilir .G-del(K∞/K){\ displaystyle Gal (K _ {\ infty} / K)}Zp[[T]]{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} [[T]]}

Iwasawa'nın modüllerinin yapısının araştırılması doğrusal cebir altındadır. Sınıflandırmalarını sözde izomorfizme kadar bilerek ve X'i hangi alt grup tarafından elde edeceğimizi hesapladıktan sonra, A (K n ) üzerinde açıklanan formülü sağlayan bu grupların kardinalitesinin asimptotik tahminini çıkarabiliriz . G-del(Ldeğil/Kdeğil){\ displaystyle Gal (L_ {n} / K_ {n})}

Bazı sonuçlar ve varsayımlar

• Değişmez , ( Ferrero-Washington teoremi ) ' nin bir değişmeli uzantısı üzerindeki -siklotomik genişleme için sıfırdır . Sıfır olmadığı diğer uzantıların örnekleri bilinmektedir.μ{\ displaystyle \ mu}Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}
• Değişmez için, örneğin, bilinen hayali kuadratik alanları ile, Kida formülü . Tamamen gerçek bedenler için sıfır olduğu varsayılır , bu Greenberg varsayımıdır .λ{\ displaystyle \ lambda}
• Grubu Iwasawa modül yapısı bazı durumlarda belirli bağlı fonksiyonları L p-adic (fr) için gösterildiği ana varsayım Iwasawa Teori ile, ile Mazur ve Wiles bir daha sonra, 1984 numarası alanında tamamen gerçek 1990 Wiles tarafından. Onların teknikleri tarafından kullanılanlarla ilham edildi Ken RIBET onun kanıtı içinde Herbrand-Ribet teoremi . Karl Rubin hayali kuadratik alanlar varsayımının diğer genellemelerini gösterdi. Daha yakın zamanlarda, Ribet'in yönteminden ilham alan Chris Skinner ve Eric Urban, GL (2) için ana varsayımın bir kanıtını açıkladılar.X=G-del(L/K∞){\ displaystyle X = Gal (L / K _ {\ infty})} Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}

Gelişmeler

Iwasawa'nın fikirlerinin geliştirilmesi birkaç yönden yapılabilir:

• biz aşamaları boyunca davranışları göz önünde , özellikle de sınıflarının grubuna göre diğer nesneleri -extension Mordell-Weil grubu , bir ait eliptik eğri . Iwasawa'nın eliptik eğriler teorisinden bahsediyoruz .Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}
• aritmetik nesnelerin davranışı artık bir uzatma boyunca değil, başka Galois gruplarına sahip sonsuz uzantılarda, örneğin veya daha genel olarak bir p -adik analitik grupta ele alınır . Böylece , özellikle John Coates liderliğinde, değişmeyen bir Iwasawa teorisi geliştirildi .Zp{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}Zpd{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} ^ {d}}

Notlar ve referanslar

Notlar

1. (inç) B. Mazur ve A. Wiles , "  Q'nun değişmeli uzantılarının sınıf alanları  " , Buluşlar Mathematicae , cilt.  76, n o  2 1984, s.  179–330 ( çevrimiçi okuyun )
2. (in) A. Wiles , "  The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields  " , Annals of Mathematics , cilt.  131, n o  3, 1990, s.  493–540 ( DOI  10.2307 / 1971468 )
3. (in) K. Rubin , "  Hayali kuadratik alanlar için Iwasawa teorisinin" varsayım eli  " , Buluşlar Mathematicae , cilt.  103, n o  1, 1991, s.  25-68 ( DOI  10.1007 / BF01239508 )
4. (en) C. Skinner ve É. Urban, GL 2 için Iwasawa ana varsayımları , baskı öncesi (2010).

Referanslar

• (fr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır İngilizce başlıklı "  Iwasawa teorisi  " ( yazarların listesini görmek ) .
• (en) Lawrence C. Washington  (de) , Siklotomik Alanlara Giriş [ baskıların detayı ]