Galois teorisi

In matematik ve daha doğrusu içinde cebir , Galois kuramı çalışmasıdır uzantıları arasında değişmeli alanları ile yazışma yoluyla, gruplar bu uzantılara, üzerinde dönüşümlerin Galois gruplar . Tarihsel örneği oluşturan bu verimli yöntem, örneğin diferansiyel Galois teorisi veya Galois kaplama teorisi gibi matematiğin diğer birçok dalında da yayılmıştır .

Bu teori, Évariste Galois tarafından cebirsel denklemlerin çalışmasından doğmuştur . Analizi permütasyon ait kökleri o değil sadece bir derece en az beş genel denklemi radikalleri (bilinen sonuç ile çözülebilir olmadığı daha kanıtlamak için izin Abel Teoremi ), ama her şeyden önce gerekli ve yeterli bir koşul açıklamak radikallere göre yeniden çözülebilirlik.

Uygulamalar çok çeşitlidir. Gauss-Wantzel teoremi tarafından gösterilen cetvel ve pusula ile inşa edilebilir çokgenlerin belirlenmesi gibi eski varsayımların çözümünden, örneğin Hilbert'in sıfır teoremi aracılığıyla cebirsel geometriye kadar çeşitlilik gösterirler .

Tarih

Yaratılış

Galois teorisi, kökenini cebirsel denklem çalışmalarında bulur. Polinom denklemlerinin analizine gelir. Değişkenlerin ve ikamelerin değişmesi yaklaşımı, Al-Khwârizmî ( 783 - 850 ) , Tartaglia ( 1499 - 1557 ) , Cardano ( 1501 - 1576 ) veya Ferrari ( 1522 - 1565 ) gibi matematikçilerin dördüncü dereceye kadar olan tüm vakaları çözmesine izin verdi. Bu yaklaşım daha ileri gitmemize izin vermiyor ve yeni fikirler getirmek için iki yüzyıla ihtiyaç olacak.

Gauss ve siklotomik polinomlar

Gauss kullanan cyclotomic polinomları antik çağlardan beri bir sorun açıkken bir katkıda bulunmak: o cetvel ve pusula inşaat ve düzenli çokgen . Özellikle on yedi kenarı olan düzgün bir çokgen olan yedincigeni inşa etti . Teorinin keşfinden çok önce, yaklaşımı, tipik olarak Galois, ona "matematikçilerin prensi" lakabını kazandırdı.

Çalışmaları ile tamamlanmıştır Wantzel içinde, 1837 verir imkansızlığını düzenli çokgen constructibility için gerekli ve yeterli koşul ve gösterir açının üçe bölünmesi ve küpün mükerrer .

Abel-Ruffini teoremi

Genel durumda, beşinci denklem , radikallerle bir çözümü kabul etmez. Değişkenlerin değiştirilmesini ve değiştirilmesini kullanan bir yaklaşımın kısır olmasının nedeni budur. Lagrange ( 1736 - 1813 ) ve Vandermonde ( 1735 - 1796 ) sonunda takas kavramı kullanmak XVIII inci  yüzyılın ve bağlamında bu aracın önemi tahmin polinom .

Ruffini ( 1765 - 1822 ) , genel çözümün imkansızlığını ve fenomenin anlaşılmasının köklerin permütasyonlarının incelenmesinde yattığını öngören ilk kişidir. Gösterimi yine de çok katı ve kısmi değildir. Norveçli matematikçi Abel , 1824'te sonunda bilim camiasını ikna eden bir kanıt yayınladı. O zamanlar, çözümlenebilirlik için gerekli ve yeterli bir koşul sunmuyordu.

Évariste Galois

Galois , cebirsel denklem problemini inceleyerek, teorinin şu anda adını taşıyan ilk unsurlarını vurgular. Yazıları kaybolur ya da unutulur. Sonunda Liouville ( 1809 - 1882 ) tarafından 1843'teki Bilimler Akademisi ile tanıştıran bir brifing bulunur. Galois'nın çalışması daha sonra şöhrete aşırılıkta erişir .

Galois vurgular arasında tek anlamlı yazışma alt alanlara a sonlu uzantısı ile alt gruplara belli bir permütasyon grubu bugün denilen o bu uzantılı ilişkilendiren olduğunu, Galois grubu . Sonlu uzantıların özelliklerinin incelenmesi daha sonra Galois gruplarının çalışmasına indirgenir. Bu son derece yenilikçi ve güçlü aletle donanmış olan Galois, radikaller aracılığıyla bir cebirsel denklemin çözümü için gerekli ve yeterli bir koşulu verebilir. Daha sonra teorisini belirli cebirsel denklemler üzerinde belirli teoremler kurmak için kullanır: örneğin, (Abel tarafından kanıtlanmadan ifade edilen bir gerçek), birinci dereceden bir denklemin radikaller tarafından çözülebilmesi için, tüm köklerinin gerekli ve yeterli olduğunu gösterir. ikisinin rasyonel işlevleri. Aynı şekilde, 4'ten büyük genel derece denkleminin radikaller tarafından çözülemeyeceğini gösterir. Bu ispatlar için Galois, Lagrange, Cauchy, Ruffini ve Abel tarafından denklem teorisinde sunulan grup yapısını kapsamlı bir şekilde kullanır ( seleflerinde olduğu gibi, Galois tarafından öngörülen gruplar soyut gruplar değildir, bir küme ve bir yasa ile tanımlanır) , ancak permütasyon grupları). Ayrıca, belirli bir şekilde değişen indisler elde etmek için Galois, sonlu alanlar teorisini icat etmeye ve neredeyse tüm klasik temel özelliklerini geliştirmeye yönlendirilir. Bu şekilde, değişkenlerin endekslerini sonlu alanlarda değiştirebilir ve "ilkel" dediği belirli denklemleri inceleyebilir.

Galois'in özellikle yenilikçi işlevsel yaklaşımı , modern cebirin kökenindedir . Liouville , bundan şu terimlerle söz eder: “Gerçekten geometri uzmanlarının dikkatini çekmeye değer olan bu yöntem, yurttaşımızın mucit unvanını hak eden az sayıdaki bilim insanı arasında bir sıraya yerleşmesini sağlamak için tek başına yeterli olacaktır. "

Cebirsel yapılar

Grup kavramı, Joseph-Louis Lagrange , Alexandre-Théophile Vandermonde , Carl Friedrich Gauss , Paolo Ruffini , Niels Henrik Abel ve Augustin Louis Cauchy'nin katkıda bulunduğu cebirsel denklemlerin çözümü için ikame teorisinden gelir . İkincisi, eşlemelerin bileşimi ile sağlanan sonlu bir "küme" (küme kavramları henüz bilinmemektedir, bu nedenle tırnak işaretleri gereklidir) permütasyonlarının bir "kümesini" dikkate alır ve bu iç yasanın özelliklerini serbest bırakır ( nötr öğe, geçişlilik, değiştirilebilir öğeler, vb.). Biri ünlü teoremi üzerine olmak üzere “gruplar” (güncel terminolojide) üzerine yirmi beş makale yayınladı . Ancak en büyük katkı, seçkin bir alt grup kavramını ilk belirleyen ve bir grubun doğrusal temsili kavramının ilk fikrinin ortaya çıktığı Galois'ten kaynaklanıyor. Bir cebirsel denklemin terim grubu da onun kaleminin altında görünüyor . 1846'da Joseph Liouville tarafından eserinin yayınlanmasından sonra , bunlar matematik camiası tarafından anlaşılmaya başlandı. Cayley , 1854'te ilk net tanımı Walther Dyck tarafından 1882'de verilen soyut bir grup kavramına geldi. 1869'da Mathematische Annalen'de yayınlanan bir makalede , daha sonra 1870'de yayınlanan kitabında küçük değişikliklerle Ürdün , Galois'nın fikirlerini geniş çapta yaydı ve Galois'in çözülebilir grup kavramından daha yönetilebilir bir karakterizasyon sağladı. 1893'te Weber , grup teorisinin sentetik bir sunumunu yaptı.

Diğer yapılar, özellikle Almanya'da vurgulanmaktadır. Galois'in çalışmalarından bağımsız olarak Kummer , yüzükleri inceler ve ideal kavramının atasını keşfeder . Kronecker ve Dedekind , halkalar ve cisimler teorisinin öncüllerini geliştirdiler. Kronecker, Fransız ve Alman okulları arasındaki boşluğu dolduruyor. Alanların otomorfizmlerinden bir Galois grubunun modern tanımını veriyor .

Galois teorileri

Yeni bir analiz ekseni, Galois teorisini zenginleştiriyor. 1872'de Klein ( 1849 - 1925 ) kendine zamanın farklı geometrilerini sınıflandırma hedefini koydu . Ünlü Erlangen programında , bir geometrinin bir uzay ve bu uzay üzerinde çalışan bir grup tarafından tanımlandığına dair genel prensibi yayınladı, buna izometri grubu adı verildi . Böylece grup teorisi ve geometri arasında bir köprü kurulur. Bu ilk gruplar Lie gruplarına karşılık gelir ve doğrudan Galois teorisine ait değildir.

1884'te Klein , ikosahedron değişmezini terk eden izometri grubunun, beşli denklemin Galois grubuna izomorfik olduğunu fark etti . Galois teorisi cebirsel geometriye kadar uzanır . Galois grupları daha sonra Galois kaplaması olarak da adlandırılan kaplamalar şeklini alır . Hilbert ( 1862 - 1943 ) ikinci dereceden sayıların alanlarını inceledi ve ünlü sıfır teoremini göstererek teoriye büyük bir katkıda bulundu . Bu teoremin cebirsel çeşitler üzerine geometrik bir yorumu da vardır . Teori şimdi yeni bir dalla zenginleştirildi: özellikle verimli olduğu ortaya çıkan geometrik Galois teorisi.

Hilbert'in çalışması, Galois teorisinin diğer dallarını açar. Sıfır teoremi, ilk sonsuz Galois gruplarının çalışılmasına izin verir. Onun indirgenemezlik teoremi , tam tersi sorunu ortaya çıkarır . Şu şekilde ifade edilir: Eğer G bir grupsa, o zaman bir uzantının Galois grubu mu?

Son olarak, Picard ( 1856 - 1941 ) ve Vessiot'un ( 1865 - 1952 ) çalışması, sonsuz Galois gruplarının, diferansiyel Galois teorisinin incelenmesi için başka bir yol açar .

Katkıları XX inci  yüzyılın

Hilbert'in çalışması, Galois grubunun sonsuz ve değişmeli olduğu durumların çalışmasını açtı. Bu geniş konu , sınıf vücut teorisi adını alır . O şimdi tamamlandı ve genellikle matematik büyük başarılarından biri olarak kabul edilir XX inci  yüzyıl.

Galois teorisinin nihai biçimlendirmesi Artin tarafından verilmektedir . Yaklaşımı, daha net ve daha özlü bir açıklamaya izin veren doğrusal cebir kullanıyor ; Öte yandan klasik teori, bir bedenden uzantılarına "yükselirken", Artin'in ana fikirlerinden biri, bir bedenden alt bedenlerine "inmek" dir. Cebirin ana yapıları  : gruplar, halkalar, alanlar ve vektör uzayları kullanılır. Galois teorisi 1950'lerin başında Henri Cartan , Nathan Jacobson ve Jean Dieudonné tarafından değişmeyen alanlar durumuna genişletildi . Kullanımı bialgebras ve Hopf cebir mümkün 1960'larda bu işi uzatmak için yapılan ters Galois kuramı, aktif araştırma konusudur.; Feit-Thompson teoremi , en klasik sonuçlarından biridir.

Galois teorisinin artık cebirsel geometride önemli sonuçları var. Bu büyük matematiksel başarılarının önemli miktarda temelidir XX inci  yüzyılın. Geometri ve cebir ittifakı neredeyse sistematik olarak kullanılmaktadır. Örneğin matematikçiler Jean-Pierre Serre'nin ( Fields Medal 1954 ) ve Grothendieck'in ( Fields Medal 1966 ) cebirsel geometrinin yeniden biçimlendirilmiş çalışmalarından, Faltings'in ( Fields Madalyası 1986 ) de Mordell varsayımını gösteren Galois modülleri üzerine çalışması veya Laurent Lafforgue ( Fields Medal 2002 ), Langlands programı , sınıf alanları teorisinin bir genellemesi.

Örnekler

Fermat'ın küçük teoremi

Küçük Fermat teoremi söyler eğer bir olduğunu herhangi bir tamsayı ve p bir asal sayı sonra:

Bu teoremi , tamsayılar halkasının p tarafından üretilen ideali ile bölümü olan F p'nin , p asal olduğu için bir alan olduğuna dikkat çekerek kanıtlamak mümkündür . Grubu ( F p *, ∙) olan sonlu bölgesinin sırası p - 1 . Bir Lagrange teoremi , bu grubun herhangi bir elemanının p -1 gücüne eşit olmasını sağlar, bu da teoremi kanıtlar.

Bu durum, vücudun yapısı basit olduğu için özellikle kolaydır. Yine de, bir alan yapısının cebirsel sayı teorisinde yararlı bir araç olduğu gerçeğini göstermektedir . İkinci dereceden karşılıklılık yasası gibi diğer modüler aritmetik teoremler , cisimlerin yapısının çok daha derin bir şekilde anlaşılmasını gerektirir. Euler veya Lagrange'in çabalarına rağmen ispatın bulunamamasının ve Gauss ve onun siklotomik polinomlarının sonuçlanmasını beklemek zorunda kalmamızın nedeni budur .

Küpün kopyalanması

Küp çoğaltma, cetvel ve pusula kullanarak, belirli bir küpün hacminin iki katı olan bir küp oluşturma sorunudur . Bu nedenle bu, küpün kenarını 3 √ 2 ile çarpmak anlamına gelir .

Ancak Wantzel, kuralla ve pusulayla oluşturulabilen sayıların ya rasyonellerin ikinci dereceden bir uzantısında - yani 2'nin ℚ'lik bir uzantısında - ya da böyle bir alanın ikinci dereceden bir uzantısında olduğunu gösterdi. . Daha sonra ikinci dereceden uzantılardan bahsediyoruz . Bundan çıkarım yapıyoruz - cf. "  Wantzel teoreminin sonuçları  " - herhangi bir inşa edilebilir sayının cebirsel olduğu ve minimum polinomunun derecesinin 2'nin bir kuvveti olduğu.

Yana 3 √ 2 en az bir polinom sahip X 3 - 2 bu küp çoğaltma imkansızlığını kanıtlamaktadır nedenle inşa edilebilir değildir.

Kübik denklem

Üçüncü derece bir denklem örneğini ele alalım  :

Polinom P bir bir indirgenemez polinom ile katsayıları rasyonel 1, 0, s = -3 ve q = 1 Bu verir

Galois teorisi bize (ayrıntılı makaleye bakın) bu durumda şunları söyler:

ile

Bunu anlamak u 3 ve V 3 denklemi doğrulamak x 2 + x + kökleri olduğu sonucu çıkarmamızı getirir 1 = 0, P olan 2 cos (2π / 9) , 2 cos (8π / 9) ve 2 cos (14π / 9) .

Galois grubu , bir endomorfizmin köşegenleştirilmesiyle kübik denklemin çözülmesine izin verir . Yöntem, ancak ve ancak Galois grubu iyi özelliklere sahipse, hatta çözülebilirse genellenebilir .

Sentez

Bu örneklerin ortak bir yanı var, çözümlerin bulunmasına izin veren cebirsel yapıların özellikleridir. İlk örnek için, Lagrange tarafından sonlu gruplar (ve dolayısıyla alanların çarpımsal grupları) üzerinde gösterilen özellik, sonuca varmamızı sağlar. İkinci örnekte, bir vektör uzayının boyutuyla ilişkili özellikler kullanılmıştır. Üçüncü durumda, alanların özellikleri ve uzantıları , minimum polinomun bölündüğü durumda Lagrange teoremine sahip gruplar ve endomorfizm indirgeme özelliklerine sahip vektör uzayları kullanılır .

Galois teorisi, cebirsel yapılarda bir dizi çok farklı durumu ve uzak alanlardaki çözüme izin veren bir zenginlik sunar.

Başvurular

Cebirsel sayı teorisi

Cebirsel sayılar teorisi denilen tamsayı katsayılı bir polinomun numaraları köklerinin çalışmadır cebirsel sayılar .

Galois teorisi burada önemlidir çünkü en uygun analiz yapısını, yani çalışılan sayıları içeren en küçük sonlu uzantıyı sunar . Bir alt küme belirli bir rol oynar: cebirsel tamsayılar , uzantıdaki tamsayıların genellemesine karşılık gelirler. Bu setin incelenmesi, Galois teorisine halkalar teorisinden birçok özellik katar. Cebirsel tamsayılar, modüler veya Diophantine aritmetik denklemlerin çözümünde önemli bir rol oynar .

Cetvel ve pusula ile oluşturulabilen tüm normal çokgenleri belirleyen Gauss-Wantzel teoremini , bu alana Galois teorisinin bir uygulaması olarak aktarabiliriz . Kummer teori Diophantine denklemleri için geçerlidir ve doğrular harika Fermat teoremi hemen hemen tüm alt tamsayılar yüzde. Son olarak, modüler aritmetik çerçevesinde, Artin'in karşılıklılık yasası, Gauss'un ikinci dereceden karşılıklılık yasasını genelleştirir ve Hilbert'in dokuzuncu problemini çözer .

Kriptografi

Kriptografi ile mesaj korumaya çalıştığı disiplindir. Şu anda en çok kullanılan teorik çerçeve , bir anahtarla ilişkilendirilmiş , şifreli olduğu anlamına gelen kriptogram adı verilen yeni bir mesaj oluşturmayı mümkün kılan bir algoritma tanımlamaktan ibarettir . Şifrelenmiş mesajın şifresini çözmek kolaydır, yani bir anahtarla orijinal mesaja dönüştürmek basittir ve daha sonra şifresini çözmeye çalışan kişi için onsuz zordur.

Modern kriptografi teorilerinin bir bölümünde, mesajın harfleri sonlu bir gövdeden seçilir. Bu nedenle çerçeve, Galois teorisinin çerçevesidir .

İlişkili araçların teoriye ait olması doğaldır. Modüler aritmetik (örneğin RSA algoritması ) çok yaygın olarak kullanılmaktadır. Basit teknikler, Bézout'un teoremi , Çin'in kalan teoremi veya modüler üs alma gibi temel sonuçlara dayanıyorsa , mevcut gelişmeler eliptik eğriler gibi daha ince araçlar kullanır (bkz. İhlal edilemez bir özel anahtar? ).

Cebirsel denklemler teorisi

Cebirsel denklem teorisinin problematiği, Galois teorisini doğuran şeydir. Bir polinomun köklerinin radikalleri tarafından bir ifadenin varlığı için gerekli ve yeterli bir koşul önererek Abel-Ruffini teoremini tamamlar .

Yine de daha ileri gitmemize izin verir. Kronecker'in-Weber teoremi tam polinomlar artık ile ifade edilen köklere sahip olmak ile ilişkili rasyonel uzantıları yapısını açıklar. Daha sonra bu nitelikteki tüm denklemleri açık bir şekilde çözmek mümkün hale gelir .

Uygulama alanları, modüler aritmetik için güçlü bir araç sunan tüm alanlardır . Kuadratik durumda Gauss tarafından gösterilenle aynı yapıya sahip birçok karşılıklılık yasası, Galois teorisi sayesinde bu nedenle ispatlanabilir.

Abel sonra Hermite ( 1822 - 1902 ) başka bir yaklaşım üzerinde çalıştı: eliptik fonksiyonlar . Örneğin, herhangi bir polinom denkleminin köklerini ifade etmelerine izin verirler. Galois geometrik teorisi, bu kavramı eliptik eğrilerle bütünleştirir . Fermat'ın Son Teoremi bu tür yöntemler kullanılarak kanıtlandı.

Polinom diferansiyel denklemlerle ilgilenen biraz tuhaf bir Galois teorisi var . Bu teori, diferansiyel Galois teorisinin adını alır . Diferansiyel alan uzantıları adı verilen belirli bir alan uzantıları ailesini inceliyor . Bu uzantıların Galois grupları var. Bir cebirsel denklemin çözünürlüğü, ilişkili grubun analizine de karşılık gelir ve bir diferansiyel denklemin çözülmesine izin verir.

Cebirsel geometri

Kullanılan yapılar

Değişmeli cisimler

Değişmeli alan, Galois teorisinin amacıdır. Bu nedenle, doğal olarak teorinin merkezi yapısıdır.

En önemli yapım tekniği uzatma yani orijinal gövdeyi içeren bir gövdedir. Bir temel alandan, genellikle en küçüğü, birim tarafından oluşturulan, döngüsel bir alan olan ( bir asal sayıdan oluşan döngüsel bir gruptan inşa edilen ) veya rasyonel sayılardan yeni bir yapı yaratılır.

Bu yöntem, yapının farklı özelliklerini tanımlayan bir "zooloji" nin oluşturulmasına izin verir. Dolayısıyla bir alan örneğin cebirsel , basit , mükemmel , ikinci dereceden , ayrılabilir , siklotomik veya cebirsel olarak kapalı olabilir .

Herhangi bir sonlu alanın değişmeli olmasını sağlayan ilkel eleman veya Wedderburn'ünki gibi önemli teoremler vardır .

Vektör alanı

Bir uzantı, temel gövdesinde bir vektör uzayı yapısına sahiptir. Bu yapı iki nedenden dolayı önemlidir:

Sonsuz boyut durumu çok daha karmaşıktır; kısmen sınıf alanları teorisinde ele alınmıştır .

Yüzük

Önemli bir teori aracı, biçimsel polinomdur . Ve halka yapısı, polinomlar kümesinin yapısıdır . Örneğin, uzantılar oluşturmak için kullanılır. Bu nedenle bir uzantı, genellikle indirgenemez bir polinom tarafından oluşturulan bir ideal tarafından polinomlar halkasının bölümüdür.

Bir polinom teoride belirli bir rol oynar: en küçük derecedeki birim polinom olan ve kökü olarak belirli bir öğeye sahip olan minimum polinom . Bu nedenle, tüm elemanların minimum polinomu varsa, bir uzantı cebirseldir, herhangi bir elemanın minimum polinomu ikiye eşit veya daha küçükse ikinci dereceden, minimal polinomun birden fazla kökü yoksa ayrılabilir, eğer uzantı tarafından üretilirse siklotomiktir . bir siklotomik polinomun kökü . Herhangi bir uzantı ayrılabilirse bir gövde mükemmeldir.

Cebirsel sayı teorisi ayrıca cebirsel tamsayılar gibi yalnızca halka yapısına sahip bir uzantının alt kümelerini de kullanır .

Grup

Bu yapı Galois'in en büyük katkısıdır.

Galois grubu, temel alanı değişmez bırakan bir uzantının otomorfizmler grubudur . Nispeten genel belirli koşullar altında, vücut tamamen kendi Galois grubu tarafından karakterize edilir. Bu koşulları sağlayan bir uzantı Galois olarak adlandırılır . Özellikle, vektör uzayı yapısı sonlu boyutlu ise, o zaman bir değişmeli uzantının grubu, grubun boyutunu sıralamak için vardır.

Sonlu bir grubu incelemek vücut yapısından çok daha kolay olduğundan, grup analizi bedeni anlamak için güçlü bir yöntemdir. Galois grubu birçok teoremin kaynağıdır. Teorinin temel teoremini, Abel-Ruffini teoremini veya Kronecker-Weber'in teoremini aktarabiliriz .

Topoloji

Galois teorileri

Klasik teori

Klasik terimi , kesin bir tanımı olmamasına rağmen yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu bir üyesi sunumu sayfasında, örneğin, bulunabilir Académie des bilimler  : Jean-Pierre Ramis .

Genellikle sonlu ve ayrılabilir cebirsel uzantıları kapsayan teoriyi belirtir . Teori esas olarak normal ve dolayısıyla Galois uzantılarıyla ilgilenir . Ana sonuçlar, ilkel eleman teoremi ve Galois teorisinin temel teoremidir . Bu çerçeve örneğin Abel-Ruffini , Gauss-Wantzel veya Kronecker-Weber'in teoremlerinin gösterilmesine izin verir  ; sonlu alanların sınıflandırılmasında kullanılır .

Bu teorinin kapsamı, Weber'in zamanındaki bilim durumunu, yani XIX E  yüzyılın sonunu kapsamaktadır, şimdi çok genel olarak Artin'in formalizmi ile sunulsa bile. Bu, doğrusal cebir için sonlu boyutlu duruma bir şekilde karşılık gelir.

Sonsuz Galois teorisi

Klasik Galois teorisi, sonlu cebirsel genişlemeler durumuyla ilgilenir. Bununla birlikte, sonsuz cebirsel uzantılarla da başa çıkacak kadar güçlü olduğunu kanıtlamaz. Bunun için cebirsel bir çalışma yeterli değildir, topolojik özelliklerin kullanımını eklemeliyiz .

Bir cebirsel uzantının , ayrılabilir ve normal olması durumunda Galois olduğu söylenir . Galois grubu daha sonra klasik durumda olduğu gibi tanımlanabilir, ancak ona kompakt bir topolojik grup yapan bir topoloji eklenir . Sonlu bir genişleme durumunda, bu topoloji ayrıktır , böylece Galois grubunda bulunan tek bilgi cebirsel niteliktedir.

Bu çerçevede, Galois grubunun kapalı alt grupları ile alanların ara uzantıları arasında bir karşılık veren Galois teorisinin temel teoremine bir analog vardır.

Geometrik teori

Ters teori

Belirli bir uzantının Galois grubunu belirlemek genel olarak zordur, ancak karşılıklı soru aynı derecede ilginçtir: sonlu bir grup olsun, bu grubun Galois grubu olduğu rasyonel ℚ alanının Galois uzantısı var mı? Ters teorinin cevap aradığı şey bu soruya ve onun diğer gruplara veya diğer organlara genellemelerine yöneliktir.

Sonlu gruplar durumunda, ilk sonuç, eğer n kesin olarak pozitif bir tamsayı ise, Galois grubu için n derecesinin simetrik grubuna sahip bir ℚ uzantısı olduğunu gösterir (örneğin, rasyonel polinom X n - ' nin ayrışma alanı) X - 1 uygundur). Bir marjinal fakat hemen doğal sonucu sonlu grup olmasıdır G , en az bir vardır numarası alanı (yani, bir sonlu uzantısı ℚ arasında) sahip olan ve bu alanda bir Galois'in uzantısı G bir Galois grup olarak.

Daha doğrusu, ters teori iki soruyu yanıtlamaya çalışır:

Son otuz yılda önemli gelişmelere rağmen XX inci  yüzyılın bu sorular büyük ölçüde açık kalır.

Diferansiyel teori

Temel fonksiyonların (örneğin polinomlar, üstel ve logaritma) toplama, çarpma, bölme ve bileşimi ile elde edilen fonksiyonların çoğu , aynı şekilde elde edilebilecek herhangi bir ilkeli kabul etmez ; örneğin durum fonksiyonu Gaussian ifade x ↦ exp (- x 2 /2), . Bu sonuç ve böylesi bir ilkeli kabul eden fonksiyonların tam biçimi Liouville teoremi tarafından verilmiştir .

Bu teorem, katsayıları belirli bir sınıfın fonksiyonları olan bir dizi diferansiyel denklemde, aynı sınıfın bir çözümünü kabul edenlerin belirlenmesini mümkün kılan diferansiyel Galois teorisi tarafından genelleştirilir . Bu teori, diferansiyel cisimler adı verilen belirli cisimleri inceler . Bu bedenler vardır K a donatılmış türetme bir harita ile demek ki, ö aşağıdaki özelliğini doğrulayan:

Bu şube, ek yapıya sahip bir beden ailesiyle ilgilenir; bu nedenle onu Galois teorisinin bir varyantı olarak düşünmek doğaldır. Ancak analoji daha da ileri gidiyor ve birçok yönden bu teori klasik teoriye benziyor. Temel fark, bu bağlamda Galois grubunun artık sonlu bir grup değil, genel olarak bir cebirsel grup olmasıdır .

Sınıf alanları teorisi

Notlar ve referanslar

  1. Al-Khwârizmî, Restorasyon ve karşılaştırma yoluyla hesaplamanın özeti .
  2. (La) Girolamo Cardano, Ars Magna , 1554.
  3. (La) Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones arithmeticae , 1801 .
  4. “ Wantzel teoremi  ” ve “ Gauss-Wantzel teoremi ”  makalelerine bakın   .
  5. Joseph-Louis Lagrange, Denklemlerin Cebirsel Çözümü Üzerine Düşünceler , 1770.
  6. Alexandre-Théophile Vandermonde, Denklemlerin çözümüne dair Anı , 1771.
  7. (It) P. Ruffini, Teoria Generale delle Equazioni, in cui si dimostra impossibile la soluzione cebebraica delle equazioni generali di grado superiore al quarto , 1799 .
  8. Niels Henrik Abel, Beşinci derecenin genel denklemini çözmenin imkansızlığını gösterdiğimiz cebirsel denklemler üzerine Anı , 1824 .
  9. Évariste Galois, radikal denklemlerin resolubility koşulları üzerinde Anı içinde 1846 yılında yayınlanan, 1830 el yazısı metin, Saf ve Uygulamalı Matematik Dergisi , çevrimiçi üzerine bibnum sitesinde Caroline Ehrhardt'ın tarafından bir analiz ile.
  10. Joseph Liouville, "Mathematical Works of Évariste Galois, ardından Liouville'den bir uyarı", Journal of Pure and Applied Mathematics , cilt. XI, 1846 .
  11. Augustin Louis Cauchy, "Bu değişkenler arasında herhangi bir şekilde yer değiştirildiğinde, n bağımsız değişkenin bir fonksiyonunun elde edebileceği eşit veya eşit olmayan değerlerin sayısı üzerine", CR , t. XXI, s. 593 (15 Eylül 1845 ), [ çevrimiçi okuyun ] .
  12. (in) Hans Wussing , The Genesis of the Abstract Concept Group , 1984 repr. Dover 2007, s. 105.
  13. N. Bourbaki , Algebra , Hermann, 1970, böl. Ben, s. 162.
  14. Jean Dieudonné , Matematik tarihinin özeti , Hermann, 1978, s. 77.
  15. (içinde) Arthur Cayley , "  Gruplar teorisi üzerine, n = 1 sembolik denkleme BAĞLI olarak  " , Philos. Mag. , cilt.  7, n, o  , 4,1854, s.  40-47.
  16. (de) Walther Dyck , "  Gruppentheoretische Studien  " , Math. Ann. , cilt.  20, n o  1,1882, s.  1-44 ( çevrimiçi okuyun ).
  17. Camille Jordan , "  Comments on Galois  ", Math. Ann. , cilt.  1, n o  21869, s.  141-160 ( çevrimiçi okuyun ).
  18. Camille Jordan , İkameler ve cebirsel denklemler üzerine inceleme , Gauthier-Villars ,1870( çevrimiçi okuyun ), s.  389-395 .
  19. (en) BL van der Waerden , Cebir Tarihi , Springer,1980( ISBN  0-387-13610-X ), s. 124.
  20. (De) Heinrich Weber , "  Die allgemeinen Grundlagen der Galois'schen Gleichungstheorie  " , Math. Ann. , cilt.  43,1893, s.  521-549 ( çevrimiçi okuyun ).
  21. (de) Ernst Kummer, "Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren", J. queen angew. Matematik. , uçuş. 35, 1847 , s.  327-367 [ çevrimiçi okuyun ] .
  22. Richard Dedekind, Cebirsel tamsayılar teorisi üzerine , 1871 .
  23. (De) Felix Klein, Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflôsung der Gleichungen fünften Grades , Teubner, Leipzig, 1884.
  24. (de) David Hilbert, "Über die Theorie des relativ-quadratischen Zahlkörpers", Math. Ann. , uçuş. 51, 1899, s.  1-127 .
  25. (in) Emil Artin ve Arthur Milgram , Galois Teorisi 1998, Dover, ( ISBN  9780486623429 ) ( 1 st ed. 1942 ) [ Online okundu ] .
  26. Henri Cartan , "  Değişmeli olmayan alanlar için Galois Teorisi  " Asens , 3 E serisi, t.  64, n o  7,1947, s.  59-77 ( çevrimiçi okuyun ).
  27. (en) Nathan Jacobson, Yüzüklerin Yapısı , Amer. Matematik. Soc., Providence, 1956 s.  163 .
  28. Jean Dieudonné , "  Galois Teorisinin Genelleştirilmesi  ", Dubreil Semineri . Cebir ve sayı teorisi , t.  1, 1947-1948, s.  1-6 ( çevrimiçi okuyun ).
  29. Bu çalışmanın bir birleşik sunum bulunabilir (in) Paul M. Cohn , Teori Genel Bölümü halkaların: Çarpıklık alanlar , Cambridge University Press ,1995( çevrimiçi okuyun ).
  30. (içinde) Stephen Urban Chase ve Moss E. Sweedler  (in) , Hopf Cebir ve Galois Teorisi , Springer,1969( çevrimiçi okuyun ).

Ayrıca görün

Kaynakça

Dış bağlantılar