Gauss-Lucas teoremi
Gelen matematik , Gauss-Lucas teoremi veya Lucas teoremi , bir özelliğini oluşturur kompleks polinomlar . Bu bildiren kökleri arasında türetilmiş polinom bulunan dışbükey zarf orijinal polinom köklerinin kümesi.
Bu sonuç, 1836'da Carl Friedrich Gauss tarafından dolaylı olarak kullanıldı ve 1874'te Félix Lucas tarafından kanıtlandı .
Motivasyon
O takdirde söz konusu bildirimin kolay bir ikinci derece polinom ise, sıfır P sıfırlarının yarısı toplamıdır P .
P(x)=-dex2+bx+vs{\ displaystyle P (x) = balta ^ {2} + bx + c}![{\ displaystyle P (x) = balta ^ {2} + bx + c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8fb6c8d02a6e30ee4263a2f4a30799fb78f988f)
Öte yandan, gerçek katsayıları olan n dereceli bir polinom, n farklı gerçek sıfır kabul ederse , Rolle teoremini kullanarak türetilmiş polinomun sıfırlarının aralıkta olduğunu görürüz .
x1<x2<...<xdeğil{\ displaystyle x_ {1} <x_ {2} <... <x_ {n}}
[x1,xdeğil]{\ displaystyle [x_ {1}, x_ {n}]}![[x_ {1}, x_ {n}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d394fb72952d482a5005da3b6484d5858d5240af)
Aşağıdaki sonuç, polinomların bu özelliğinin bir genellemesi olarak görülebilir.
Eyaletler
Let p, kompleks katsayılı bir sabit olmayan polinom. O zaman tüm sıfır P ' , P'nin sıfırlar kümesinin dışbükey gövdesine aittir .
Kanıt
P , P'nin indirgenemez faktörlere ayrışması olsun : c kompleksi , polinomun baskın katsayısıdır, kompleksler a i onun farklı sıfırlarıdır, tamsayılar n i kendi çokluklarıdır.
P(z)=vs∏ben=1r(z--deben)değilben{\ displaystyle P (z) = c \ prod _ {i = 1} ^ {r} (z-a_ {i}) ^ {n_ {i}}}![P (z) = c \ prod _ {{i = 1}} ^ {r} (z-a_ {i}) ^ {{n_ {i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d9da34f42802fb5a90ed275bfa11019f36268cc)
Daha sonra elimizde:
P′(z)P(z)=∑ben=1rdeğilbenz--deben{\ displaystyle {\ frac {P ^ {\ prime} (z)} {P (z)}} = \ sum _ {i = 1} ^ {r} {\ frac {n_ {i}} {z-a_ {ben}}}}![{\ frac {P ^ {\ prime} (z)} {P (z)}} = \ toplam _ {{i = 1}} ^ {r} {\ frac {n_ {i}} {z-a_ { ben}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20353665fa555775d6fdb0741325d052a5eab80d)
.
Özellikle,
EğerP′(z)=0veP(z)≠0{\ displaystyle {\ hbox {si}} \ quad P ^ {\ prime} (z) = 0 \ quad {\ hbox {et}} \ quad P (z) \ neq 0}![{\ displaystyle {\ hbox {si}} \ quad P ^ {\ prime} (z) = 0 \ quad {\ hbox {et}} \ quad P (z) \ neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14d70623f34207dff91fb73617768d2cd8aad5fb)
,
∑ben=1rdeğilbenz--deben=0veya ∑ben=1rdeğilbenz¯--deben¯|z--deben|2=0,{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {r} {\ frac {n_ {i}} {z-a_ {i}}} = 0 \ quad {\ hbox {veya tekrar}} \ quad \ \ sum _ {i = 1} ^ {r} n_ {i} {\ frac {{\ overline {z}} - {\ overline {a_ {i}}}} {\ vert z-a_ {i} \ vert ^ { 2}}} = 0,}
bu da yazılmış
(∑ben=1rdeğilben|z--deben|2)z¯=∑ben=1rdeğilben|z--deben|2-deben¯{\ displaystyle \ sol (\ toplam _ {i = 1} ^ {r} {\ frac {n_ {i}} {\ vert z-a_ {i} \ vert ^ {2}}} \ sağ) {\ overline {z}} = \ toplam _ {i = 1} ^ {r} {\ frac {n_ {i}} {\ vert z-a_ {i} \ vert ^ {2}}} {\ overline {a_ {i }}}}![{\ displaystyle \ sol (\ toplam _ {i = 1} ^ {r} {\ frac {n_ {i}} {\ vert z-a_ {i} \ vert ^ {2}}} \ sağ) {\ overline {z}} = \ toplam _ {i = 1} ^ {r} {\ frac {n_ {i}} {\ vert z-a_ {i} \ vert ^ {2}}} {\ overline {a_ {i }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea36814acb180b94ab956ac78c65c445d9ba19db)
.
Konjugatları aldığımızda, z'nin a i'nin pozitif katsayılarına sahip bir barycenter olduğunu görürüz .
Durumda Z , aynı zamanda sıfır olan P açıktır.
Notlar ve referanslar
Notlar
-
Édouard Lucas ile karıştırmayın .
-
Bkz. Logaritmik türev .
Referanslar
-
Pascal Boyer, Küçük sayı arkadaşı ve uygulamaları , Paris, Calvage ve Mounet,2019, 648 s. ( ISBN 978-2-916352-75-6 ) , III. Galois Beden ve Teorisi, böl. 6.5 (“P'nin köklerinin yeri”), s. 357.
-
Félix Lucas, "On an Application of Rational Mechanics to the Theory of Equations", CR Hebd. Acad oturumları. Sci. LXXXIX, 1879, s. 224-226 , [ çevrimiçi okuyun ] .
Ayrıca görün
İlgili Makaleler
Kaynakça
(tr) Paul Erdős ve Ivan Niven , " Bir polinomun kökleri ve türevi hakkında " , Bull. Acı. Matematik. Soc. , cilt. 54,1948, s. 184-190 ( çevrimiçi okuyun )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">