Harnack teoremi

Gerçek cebirsel geometride, Harnack teoremi , eğrinin derecesine (veya cinsiyetine ) bağlı olarak gerçek bir cebirsel eğrinin sahip  olabileceği bağlantılı bileşenlerin olası sayılarını verir   .  Gerçek projektif düzlemin m derecesindeki bir cebirsel eğri   için , bileşenlerin c sayısı  aşağıdakilerle sınırlandırılmıştır:

1-(-1)m2≤vs≤(m-1)(m-2)2+1. {\ displaystyle {\ frac {1 - (- 1) ^ {m}} {2}} \ leq c \ leq {\ frac {(m-1) (m-2)} {2}} + 1. \ }

Dahası, bu eşitsizlikleri karşılayan herhangi bir sayı için, tam olarak bu sayıda bileşene sahip eğriler mevcuttur.

Bu teorem, Hilbert'in on altıncı probleminin temelidir .

Maksimum sayı ( ) m derece tekil olmayan bir eğrinin cinsinden 1 fazladır  . (m-1)(m-2)2+1{\ displaystyle {\ frac {(m-1) (m-2)} {2}} + 1}

Derecesi için mümkün olan maksimum gerçek bileşen sayısına ulaşan bir eğri,  M-eğrisi ("maksimum" için M) olarak adlandırılır - örneğin, iki bağlantılı bileşene sahip eliptik bir eğri veya Trott eğrisi , dört bileşenli bir kuartik eğri . ilgili, M-eğrilerinin örnekleridir.

• Soldaki eliptik eğri (3. derece düz) bir M eğrisidir, çünkü bağlı bileşenlerin maksimum sayısına (2) sahipken, sağdaki eliptik eğri yalnızca bir bileşene sahiptir.

• Burada 7 bitanjanıyla gösterilen Trott eğrisi, dörtlü bir M eğrisidir (yani derece 4), çünkü bu derecedeki bir eğrinin bağlı bileşenlerinin maksimumuna (4) ulaşır.

Referanslar

• CGA Harnack , Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen cebebraischen Curven , Math. Ann. 10 (1876), 189-199.
• G. Wilson, Hilbert'in on altıncı problemi , Topology 17 (1978), 53-74
• J. Bochnak, M. Coste, M.-F. Roy , Gerçek Cebirsel Geometri . Seri: Ergebnisse der Mathematik ve ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / Modern Bir Dizi. Surveys in Mathematics, Cilt. 36, Springer, 1998.
• R. Benedetti, J.-J. Risler ,  Gerçek cebirsel ve yarı cebirsel kümeler . Matematiksel Haberler, Hermann, 1990. 

• (fr) Bu makale kısmen veya tamamen alınır İngilizce Vikipedi başlıklı makalesinde "  Harnack en eğri teoremi  " ( yazarların listesini görmek ) .