Kutta-Jukowski teoremi

Kutta-Jukowski ait teoremi , temel teoremi aerodinamik erken araştırmanın sonucudur XX inci  yüzyıl iki aerodinamik, Martin Wilhelm Kutta , Almanca ve Nikolai Zhukovski'nin (veya Zhukovski'nin veya Jukowski), Rusça. Dolaşım kavramını ortaya koyarak , D'Alembert'in mükemmel bir sıvının sıkıştırılamaz akışında doğrusal bir yolda sabit hızda hareket halindeki herhangi bir cisme uygulanan kuvvetin sıfır olduğu paradoksundan kaçmamızı sağlar .

Silindirik bir gövdenin kaldırılmasıyla ilgilidir ve esas olarak dolaşımın Kutta koşulu tarafından belirlendiği kanat profillerine uygulanır . Aynı zamanda , dairesel kesitli bir silindirin (Flettner rotorları) dönüşüyle ​​sirkülasyonun yaratıldığı Magnus etkisinde de rol oynar.

Teoremin ifadesi

Teorem genellikle sonsuz açıklığa sahip olduğu varsayılan bir silindirin birim açıklık başına kaldırma kuvvetini hesaplamak için kullanılır . Formül, sıvının bağıl hızını, sıvının yoğunluğunu ve dolaşımı içerir  : L{\ displaystyle L}V{\ displaystyle V}ρ{\ displaystyle \ rho}Γ{\ displaystyle \ Gama}

L=ρVΓ. {\ displaystyle L = \ rho V \ Gama. ~}

Dolaşım, kesiti çevreleyen kapalı bir eğri boyunca sıvının hızının eğrisel integrali olarak hesaplanır :

Γ=∮VSV⋅dl.{\ displaystyle \ Gamma = \ anint _ {C} \ mathbf {V} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l}.}

Kesitte yer alan bir eksen girdabının etkisi olarak yorumlanabilir.

Sezgisel argüman

Bu sonuç titizlikle gösterilmektedir, ancak aşağıdaki basitleştirilmiş akıl yürütme ile buna yaklaşılabilir. Akor kanat profiline göre akış insidansı hız alt yüzeyde ve üst yüzeyde olacak şekilde ise sirkülasyon şu şekilde hesaplanabilir: vs{\ displaystyle c}V{\ displaystyle V}V+ΔV{\ displaystyle V + \ Delta V}

Γ=(V+ΔV)vs-Vvs=ΔVvs. {\ displaystyle \ Gama = (V + \ Delta V) c-Vc = \ Delta Vc. ~}

İki taraf arasındaki basınç farkı Bernoulli teoreminden çıkarılır  : Δp{\ displaystyle \ Delta p}

12ρV2+p+Δp=12ρ(V+ΔV)2+p.{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ rho V ^ {2} + p + \ Delta p = {\ frac {1} {2}} \ rho (V + \ Delta V) ^ {2} + s.}

İkinci mertebeyi ihmal ederek,

Δp=ρVΔV, {\ displaystyle \ Delta p = \ rho V \ Delta V, ~}

bu reklamı yapılan formüle götürür.

Resmi gösteri

Teoremin resmi kanıtı

Önce doğrusal kuvveti hesaplıyoruz (birim uzunluk başına). Dilin kötüye kullanılmasıyla, bundan sonra, sadece güçten söz edeceğiz. F→{\ displaystyle {\ vec {F}}}

Direksiyon silindirinin C kenarı boyunca toplam kuvvet : k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}

F→=-∮VSpdeğil→ds,{\ displaystyle {\ vec {F}} = - \ anint _ {C} p {\ vec {n}} \, ds,}

burada p basıncı e, s silindirin kenarı boyunca kavisli apsis olup, bir birim vektör silindire göre normal. Izin vermek normal ve dikey arasındaki açı . Bu nedenle şunları tanımlıyoruz: değil→{\ displaystyle {\ vec {n}} \,}ϕ{\ displaystyle \ phi}değil→{\ displaystyle {\ vec {n}}}k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}

değil→=-günah⁡ϕben→+çünkü⁡ϕj→{\ displaystyle {\ vec {n}} = - \ sin \ phi {\ vec {i}} + \ cos \ phi {\ vec {j}}}

Kontur teğet vektör C olan

t→=çünkü⁡ϕben→+günah⁡ϕj→{\ displaystyle {\ vec {t}} = \ cos \ phi {\ vec {i}} + \ sin \ phi {\ vec {j}}}

Kuvvetin x ve y'yi izleyen bileşenleri şu hale gelir:

Fx=-∮VSpgünah⁡ϕds,Fy=∮VSpçünkü⁡ϕds.{\ displaystyle F_ {x} = - \ anint _ {C} p \ sin \ phi \, ds \ quad, \ qquad F_ {y} = \ anint _ {C} p \ cos \ phi \, ds.}

Şimdi ana numara geliyor. Düzlem , karmaşık düzleme izomorfiktir . Bu nedenle vektör yerine geçebilir tarafından karmaşık sayının . Aynı şekilde, herhangi bir vektörün yerini karmaşık bir sayı alır. Bu nedenle karmaşık kuvvet şu hale gelir: R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}} VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}F→{\ displaystyle {\ vec {F}}} F=Fx+benFy{\ displaystyle F = F_ {x} + iF_ {y}}

F=Fx+benFy=-∮VS(-)p(-günah⁡ϕ+bençünkü⁡ϕ)ds.{\ displaystyle F = F_ {x} + iF_ {y} = - \ anint _ {C} (-) p (- \ sin \ phi + i \ cos \ phi) \, ds.}

Bir sonraki adım, eşlenik kompleksi ele almak ve bazı manipülasyonlar yapmaktır.

F¯=-∮VSp(günah⁡ϕ+bençünkü⁡ϕ)ds=-ben∮VSp(çünkü⁡ϕ-bengünah⁡ϕ)ds=-ben∮VSpe-benϕds.{\ displaystyle {\ bar {F}} = - \ anint _ {C} p (\ sin \ phi + i \ cos \ phi) \, ds = -i \ anint _ {C} p (\ cos \ phi - i \ sin \ phi) \, ds = -i \ anoint _ {C} pe ^ {- i \ phi} \, ds.}

Şimdi ifade ediyoruz . dst→=dz→=dxben→+dyj→{\ displaystyle ds {\ vec {t}} = d {\ vec {z}} = dx {\ vec {i}} + dy {\ vec {j}}}

Karmaşık düzlemde, bu nedenle elimizde:

ds t=dz{\ displaystyle ds \ t = dz}

Sahibiz t=ebenϕ{\ displaystyle t = e ^ {i \ phi}}

Bu nedenle,

ds=e-benϕ dz{\ displaystyle ds = e ^ {- i \ phi} \ dz}.

Bu nedenle,

dz=ebenϕ ds{\ displaystyle dz = e ^ {i \ phi} \ ds}

Bu nedenle,

dz¯=e-benϕds{\ displaystyle d {\ bar {z}} = e ^ {- i \ phi} ds}

Bu nedenle,

ds=ebenϕdz¯{\ displaystyle ds = e ^ {i \ phi} d {\ bar {z}}}.

Biz ikame ediyoruz ve bu nedenle:

F¯=-ben∮VSpe-benϕebenϕdz¯=-ben∮VSpdz¯.{\ displaystyle {\ bar {F}} = - i \ anint _ {C} pe ^ {- i \ phi} e ^ {i \ phi} \, d {\ bar {z}} = - i \ anint _ {C} p \, d {\ bar {z}}.}

En sonunda,

F=ben∮VSpdz{\ displaystyle F = i \ anint _ {C} p \, dz}

Biz kullanmak Bernoulli teoremi sonsuzda basınçtır ve hızıdır: p∞{\ displaystyle p _ {\ infty}}v∈VS{\ displaystyle v \ in \ mathbb {C}}

p=p∞-ρ|v|22.{\ displaystyle p = p _ {\ infty} - {\ frac {\ rho | v | ^ {2}} {2}}.}

Biz bunu fark ederiz ∮VSdz=0{\ displaystyle \ anoint _ {C} dz = 0}

Bu nedenle,

F=ben∮VS(p∞-12ρ|v|2)dz=0-ben2ρ∮VS|v|2dz{\ displaystyle F = i \ anint _ {C} \ sol (p _ {\ infty} - {1 \ 2'den fazla} \ rho | v | ^ {2} \ sağ) \, dz = 0- {i \ fazla 2} \ rho \ anoint _ {C} | v | ^ {2} dz}

Bu nedenle,

F¯=ben2ρ∮VS|v|2dz¯{\ displaystyle {\ bar {F}} = {i \ over 2} \ rho \ anint _ {C} | v | ^ {2} d {\ bar {z}}}

Sahibiz : dz=t ds{\ displaystyle dz = t \ ds}

Bu nedenle, dz¯=t¯ ds=1tds=1tdzt=1t2dz{\ displaystyle d {\ bar {z}} = {\ bar {t}} \ ds = {1 \ over t} ds = {1 \ over t} {dz \ over t} = {1 \ over t ^ { 2}} dz}

Yerine koyuyoruz ve bu nedenle: F¯{\ displaystyle {\ bar {F}}}

F¯=ben2ρ∮VS|v|21t2dz{\ displaystyle {\ bar {F}} = {i \ over 2} \ rho \ anoint _ {C} | v | ^ {2} {1 \ over t ^ {2}} dz}

Biz tanımlıyoruz: w=v¯=|v|t=|w|t{\ displaystyle w = {\ bar {v}} = {| v | \ t'den fazla} = {| w | \ açık}}

Yani . Biz yerine koyarız. |w|=wt{\ displaystyle | w | = wt}

F¯=ben2ρ∮VSw2t21t2dz{\ displaystyle {\ bar {F}} = {i \ over 2} \ rho \ anint _ {C} w ^ {2} t ^ {2} {1 \ over t ^ {2}} dz}

Ve bu yüzden,

F¯=ben2ρ∮VSw2dz{\ displaystyle {\ bar {F}} = {i \ 2'den fazla} \ rho \ anint _ {C} w ^ {2} dz}

Sıvı sıkıştırılamaz (ses altı) ve bu nedenle:

∇→v→=0{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}} {\ vec {v}} = 0}

Bu nedenle,

∂vx∂x+∂vy∂y=0{\ displaystyle {\ kısmi v_ {x} \ üzeri \ kısmi x} + {\ kısmi v_ {y} \ üzeri \ kısmi y} = 0}

Ve böylece v'yi w ile değiştirirsek,

∂wx∂x-∂wy∂y=0{\ displaystyle {\ kısmi w_ {x} \ üzerinden \ kısmi x} - {\ kısmi w_ {y} \ kısmi \ kısmi y} = 0}

Ve böylece, işlev holomorfiktir. z→w(z){\ displaystyle z \ - w (z)}

Bu nedenle, bu işlevi Laurent serisi ile şu şekilde temsil edebiliriz :

w(z)=∑değil∈Z-dedeğil1zdeğil{\ displaystyle w (z) = \ toplam _ {n \ in \ mathbb {Z}} a_ {n} {1 \ z ^ {n}}}

Biz alan olduğuna dikkat w nedenle sonlu ve olduğu∀değil<0-dedeğil=0{\ displaystyle \ forall n <0 \ quad a_ {n} = 0}

Böylece sahibiz :

w(z)=∑değil∈DEĞİL-dedeğil1zdeğil{\ displaystyle w (z) = \ toplam _ {n \ in \ mathbb {N}} a_ {n} {1 \ z ^ {n}}}

Bu hesaplar bir 1 kullanılarak artık madde teoremi .

-de1=12πben∮VSwdz.{\ displaystyle a_ {1} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ anint _ {C} w \, dz.}

Sahibiz :

∮VSw(z)dz=∮VS(vx-benvy)(dx+bendy)=∮VS(vxdx+vydy)+ben∮VS(vxdy-vydx)=∮VSv→⋅t→ds+ben∮VS(vxdy-vydx).{\ displaystyle \ oint _ {C} w (z) \, dz = \ anint _ {C} (v_ {x} -iv_ {y}) (dx + idy) = \ anint _ {C} (v_ {x } \, dx + v_ {y} \, dy) + i \ anint _ {C} (v_ {x} \, dy-v_ {y} \, dx) = \ anint _ {C} {\ vec {v }} \ cdot {\ vec {t}} ds + i \ anint _ {C} (v_ {x} \, dy-v_ {y} \, dx).}

İlk integral dolaşımdır . Geriye kalan sadece ikinci integralin sıfır olduğunu gösteriyor. V fonksiyonu , karmaşık bir potansiyelin türevidir . Γ{\ displaystyle \ Gama}ψ{\ displaystyle \ psi}

Gerçekte, hız vektörü paralel olan normal vektöre diktir ve bu nedenle ikinci integral sıfırdır. Bu nedenle, v→{\ displaystyle {\ vec {fi.}}}değil→{\ displaystyle {\ vec {n}}}(dy,-dx){\ displaystyle (dy, -dx)}

-de1=Γ2benπ{\ displaystyle a_ {1} = {\ Gama \ 2i \ pi üzerinde}}

Sahibiz

w2=-de02+2-de0-de11z+...{\ displaystyle w ^ {2} = a_ {0} ^ {2} + 2a_ {0} a_ {1} {1 \ z üzerinden} + \ ldots}

Yine kalıntı teoremini kullanıyoruz.

2-de0-de1=12benπ∮VSw2dz{\ displaystyle 2a_ {0} a_ {1} = {1 \ 2i'den fazla \ pi} \ anint _ {C} w ^ {2} dz}

Bu nedenle,

∮VSw2dz=4benπ-de0-de1{\ displaystyle \ anint _ {C} w ^ {2} dz = 4i \ pi a_ {0} a_ {1}}

Bu nedenle, F¯=ben2ρ4benπ-de0-de1{\ displaystyle {\ bar {F}} = {i \ 2'den fazla} \ rho 4i \ pi a_ {0} a_ {1}}

Sahibiz : -de0=w∞{\ displaystyle a_ {0} = w _ {\ infty}}

Bu nedenle, F¯=ρ2ben2πw∞Γ2benπ{\ displaystyle {\ bar {F}} = \ rho 2i ^ {2} \ pi w _ {\ infty} {\ Gama \ 2i \ pi üzerinde}}

Bu nedenle, F¯=benρw∞Γ{\ displaystyle {\ bar {F}} = i \ rho w _ {\ infty} \ Gama}

Ve sonunda : F=-benρv∞Γ{\ displaystyle F = -i \ rho v _ {\ infty} \ Gama}

Kutta - Jukowski formülü aşağıdaki gibidir:

Fx=ρΓvy∞,Fy=-ρΓvx∞.{\ displaystyle F_ {x} = \ rho \ Gama v_ {y \ infty} \ quad, \ qquad F_ {y} = - \ rho \ Gama v_ {x \ infty}.}  

Kutta Durumu

Bazen Joukowski koşulu olarak adlandırılan bu durum, bir kanat profili etrafındaki dolaşımı belirler ve bu nedenle kaldırma kuvvetinin çıkarılmasını mümkün kılar.

Oval kesitli bir silindir gibi pürüzsüz bir şekle sahip simetrik bir cisim, pozitif bir insidansa sahip bir sıvıda hareket ettiğinde, gövdenin bir bölümünde, alt yüzeyde ön kenara ve arka kenara yakın iki durma noktası vardır. üst yüzeyde. Trafik sıfır ve asansör yok.

Keskin bir arka kenarı olan bir profil pozitif bir geliş ile başlarsa, iki kırılma noktası öncekiyle aynı konumlarda başlar. İç kısımların altından geçen hava arka kenara ulaştığında, üst durma noktasına gitmek için bunu atlaması gerekir. Sıfır eğrilik yarıçapı nedeniyle, hız yerel olarak sonsuz olmalıdır. Sonsuz hızın yokluğunda, üst yüzeyde, arka kenarın yakınında, başlatan vorteks adı verilen bir girdap yaratan önemli bir hız vardır.

Bu tourbillonun sirkülasyonu, profile eklenmiş tourbillon'unki ile dengelenir. Birincisi büyüdüğünde, ikincisi aynı oranlarda büyür, bu da başlangıç ​​girdabını viskozite tarafından dağılmadan önce profilden ayrıldığı arka kenara doğru hareket ettirir. Bu noktada durma noktasının Kutta koşulu olan arka kenarda konumlandırılması akışı stabilize etmiştir.

Profilin etrafında kalan sirkülasyon daha sonra üst yüzeyde alt yüzeye göre daha yüksek hızlara (bu nedenle Bernoulli teoremine göre daha düşük basınçlara ), dolayısıyla Kutta-Jukowski teoremi ile hesaplanabilen bir yükselmeye neden olur.

Bu kaldırma, üretim ve direnç açısından da dezavantajlara sahip olan arka kenarın açısal doğasıyla yakından bağlantılıdır.

Aşağıdaki diyagram, bir Joukowski profili durumunda , sirkülasyonun ve dolayısıyla asansörün oluşumunu göstermektedir.

Ayrıca görün

• in: Kutta koşulu
• Magnus etkisi

Notlar ve referanslar

1. (inç) Batchelor, GK, Akışkanlar Dinamiğine Giriş , s.  406