Hepsi üçgenin geometrisi ile ilgili birkaç Nagel teoremi vardır .
O zaman çevrelenmiş O çemberinin merkezi ve H ortomerkezi ABC üçgeninin içindedir .
β , çevrelenmiş daire içine yazılan açı olsun (bkz. Şekil A). 2 β değerine karşılık gelen merkez açısıdır . AOC üçgeni ikizkenardır, çünkü OA ve OC çevrelenmiş dairenin yarıçaplarıdır. Açılar ve birbirlerine ve α = π / 2 - β'ya eşittir .
Ya ben A'dan yüksekliğin ayağıyım . Üçgen ABI dik açılı ve açı olan / 2 π - β = α .
Bu nedenle açının açıortayı aynı zamanda açının açıortayıdır , bu aynı zamanda açıdır , çünkü H ortocenter AI parçasının içindedir . ABC üçgeninin B ve C tepelerinin açıları aynı olduğunda açının sıfır olduğuna dikkat edin ; bu, üçgen A'da eşkenar veya ikizkenar ise oluşur .
ABC üçgeni dikdörtgendirÇevrelenmiş O çemberinin merkezi hipotenüsün orta noktasıdır, ortomerkez H dik açının tepe noktasıdır .
Açı eğer tanımlı değil bir sağ açının tepe ve Nagel teoremi bu tepe için geçerli değildir bu.
Başka bir zirve için, açılar ve AH ve AO ile aynıdır, A'yı birleştiren üçgenin iki tarafıdır . Bu nedenle aynı açıortaylara sahiptirler.
Üçgen ABC geniş bir açı vardırO zaman çevrelenmiş O çemberinin merkezi ve H ortomerkezi ABC üçgeninin dışındadır .
Eğer bir dar açının iki tepe biri, korumalı bir geniş açı olmadan üçgen halinde benzerdir (Şekil B). AI yüksekliği ve AO yarıçapı burada üçgenin dışındaki bölümlerdir. Açı ve açı aynıdır çünkü ortomerkez H , ayak yüksekliği tarafının AI yüksekliğinin dışındadır .
Açı ise A yine Aynı nedenlerle, daha sonra geniş açı (bakınız Şekil C) 'dir, açılar ve aynı açıortay sahiptir. Bununla birlikte, orthocenter olarak H üçgen burada dışında ama yüksekliği tepe kenarında, açının açıortayı hattıdır (D) ' lik bir açı oluşturur π / 2 açının açıortayı ile ve Nagel teorem uygulanmaz.
SonuçAçısı durumlar hariç kabul köşe A haklı biz orthocenter yerine eğer, H tarafından I kaynaklanan yüksekliğinin ayağını A , ardından açıları ve hep aynı açıortayını var.