Ortalama teorem

Olarak gerçek analiz , ortalama teoremi ilişkin klasik bir sonucu entegrasyonu bir sürekli fonksiyon gerçek değişken olan bir segment boyunca sürekli fonksiyonun ortalama fonksiyonun değerinin gerçekleştirilmektedir göre.

Eyaletler

Teoremi  -  herhangi biri için fonksiyon f segment tanımlanan ve sürekli gerçek değerleri, [ a , b ] ile, bir < b , gerçek vardır c arasındaki bir ve b ( a ve b hariç tutulmuştur) karşılamasıdır:

f(vs)=1b--de∫-debf(x) dx.{\ displaystyle f (c) = {\ frac {1} {ba}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) ~ \ mathrm {d} x.}

İntegral burada Riemann anlamında tanımlanmıştır (ancak f'nin sürekli olduğu varsayılırsa, Cauchy tarafından kullanılana benzer daha basit bir entegrasyon biçimi kullanılabilir); Analizin ilk temel teoremini kabul edersek , ortalamanın teoremi sonlu artışlar teoremi ile birleşir .

Genellikle , ortalamanın eşitsizliği olarak bilinen aşağıdaki daha zayıf sonuç kullanılır  :

Teoremi  -  Eğer f sürekli üzerinde [ a , b ] ile, bir ≤ b tüm ve eğer x , bu aralığın, elimizdeki:m≤f(x)≤M,{\ displaystyle m \ leq f (x) \ leq M,}yanim(b--de)≤∫-debf(x)dx≤M(b--de).{\ displaystyle m \, (ba) \ leq \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x \ leq M \, (ba).}

(bu son sonuç, tümleştirilebilir işlevler için hala geçerlidir)

Uyarılar

• Grafiksel olarak, bu teoremin bir yorumu, f'nin temsili eğrisinin altındaki cebirsel alanın , [ a , b ] tabanı ve yüksekliği eğrinin ortalama noktası olan bir dikdörtgeninkine eşit olmasıdır .
• Bu teorem çeşitli değişkenlerin gerçek işlevlerini genişleten alan kompakt ve bağlantılı tarafından katlı integrallerin .
• C noktası sürekli olarak f'ye bağlı değildir . Ortalama teorem, gerçek bir c'nin varlığını belirtir, ancak f fonksiyonuna bağımlılığı hakkında hiçbir bilgi vermez .
• Süreklilik varsayımı esastır. Örneğin [ a , b ] = [0; 1] x <1/2 ve f ( x ) = 0 ise f ( x ) = 1 olarak ayarlayarak, f'nin ortalama değeri 1 / 2'ye eşittir, bu nedenle f'nin değeri olarak gerçekleştirilmez .

Gösteri

Analizin ilk temel teoremini kullanarak veya Riemann integrali teorisini kısa devre yaparak ve bir aralık boyunca sürekli bir fonksiyonun integralinin tanımı olarak, ilkellerinden herhangi birinin bu aralığındaki değişimi alarak (böylece varsayarsak) (herhangi biri vardır), ortalamanın teoremi, sonlu artışlar teoreminin basit bir yeniden formülasyonu haline gelir .

Aslında, F , f'nin bir ters türevi ise , o zaman F için sonlu artışlar teoremi, kesinlikle a ve b arasında gerçek bir c'nin varlığını sağlar, öyle ki

F′(vs)=F(b)-F(-de)b--de ,{\ displaystyle F '(c) = {\ frac {F (b) -F (a)} {ba}} \,}

F ' = f olduğundan istenen sonuç budur veF(b)-F(-de)=∫-debf(x)dx.{\ displaystyle F (b) -F (a) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x.}

Daha "doğrudan" bir gösteri için bkz. g ( x ) = 1 ayarlayarak aşağıdaki genelleme .

Genelleme

Ortalama teoremin sonlu artış teoreminin integral bir versiyonu olması gibi, aşağıdaki genellemesi de genelleştirilmiş sonlu artış teoreminin integral bir versiyonudur  :

Gerçek bir değişkenin tüm fonksiyonlar için ön ve g kesimi üzerinde sürekli [ a , b ] ile, bir < b , g üzerinde sabit bir işaret tutmak [ a , b ] gerçek vardır c ait ] bir , b [ göre bu tür

∫-debf(x)g(x) dx=f(vs)∫-debg(x) dx.{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) ~ \ mathrm {d} x = f (c) \ int _ {a} ^ {b} g (x) ~ \ mathrm {d} x.} Gösteri

G fonksiyonunun pozitif veya sıfır değerlerine sahip olduğunu varsayabiliriz ( gerekirse –g ile değiştirmek anlamına gelse bile ).

Bir sabit K için fg'nin Kg formu olduğu önemsiz durum da dışarıda bırakılabilir . Bu, özellikle g'nin sürekli sıfır olmasını veya f'nin sabit olmasını dışlar .

Göre uç değer teoremi ve ara değer teoremi altında görüntü f segmentinin [ a , b ] bir bölüm olduğu [ m , M ] ile m < M , ve açık aralığın görüntü ] olan , b [ olduğu bu segmentte yer alan ve ondan en fazla iki noktada farklı olan bir aralık, bu nedenle ]m,M[⊂f(]-de,b[).{\ displaystyle] m, M [\ alt küme f (] a, b [).}

Yana gr sürekli pozitif olup sürekli sıfır, onun ayrılmaz üzerinde [ a , b ] kesinlikle pozitiftir.

Bunu kanıtlamak için ∫-debf(x)g(x) dx∫-debg(x) dx∈f(]-de,b[),{\ displaystyle {\ frac {\ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) ~ \ mathrm {d} x} {\ int _ {a} ^ {b} g (x) ~ \ mathrm {d} x}} \ in f (] a, b [),} bu yüzden sadece kontrol et m∫-debg(x) dx<∫-debf(x)g(x) dx<M∫-debg(x) dx.{\ displaystyle m \ int _ {a} ^ {b} g (x) ~ \ mathrm {d} x <\ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) ~ \ mathrm {d} x <M \ int _ {a} ^ {b} g (x) ~ \ mathrm {d} x.}

Örneğin birinci katı eşitsizliği gösterelim (ikincisinin mantığı benzerdir).

( F - m ) g fonksiyonu sürekli pozitiftir ve sürekli sıfır değildir, uygulama y↦∫-dey(f(x)-m)g(x) dx{\ displaystyle y \ mapsto \ int _ {a} ^ {y} (f (x) -m) g (x) ~ \ mathrm {d} x} içinde değeri böylece, artan ve sürekli değildir , b de daha sıkı bir şekilde daha büyük olan bir . Yani, m∫-debg(x) dx<∫-debf(x)g(x) dx,{\ displaystyle m \ int _ {a} ^ {b} g (x) ~ \ mathrm {d} x <\ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) ~ \ mathrm {d} x,} bu gösteriyi sona erdirir.

Not

Varsayımı gr sabit bir işaret eder şarttır: örneğin [ a , b ] = [-1, 1] ve f ( x ) = g ( x =) X , orada hiçbir C şekilde 2/3 = C × 0 .

İlgili Makaleler

• Bölünmüş farklılıklar için teorem ortalaması  (inç)
• Stieltjes integrali  : ortalamanın birinci ve ikinci formülleri

Dış bağlantı

• Paul Mansion , “Ortalamanın ikinci teoremi üzerine” (1885), çevrimiçi ve BibNum'da yorum yaptı .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">