Dinamik torsor
Dinamik torsor a, matematiksel bir araç olarak kullanılan katı mekaniği uygularken dinamiklerinin temel prensibi .
Tanım
Izin vermek bir referans çerçevesi R ve yoğunluk alanını ρ için tanımladığımız katı bir S olsun. İvme vektörü, katının herhangi bir M noktasında tanımlanabilir . Bu vektör alanı, biz tanımlayabilir dinamik momentin gösterilen belirli bir noktada, A, ile ilgili olarak için:
Γ→(M){\ displaystyle {\ vec {\ Gama}} (\ mathrm {M})}δ→AT(S/R){\ displaystyle {\ vec {\ delta}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R})}
δ→AT(S/R)=∫SATM→∧Γ→(M,S/R)ρ(M)dV{\ displaystyle {\ vec {\ delta}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) = \ int _ {\ mathrm {S}} {{\ overrightarrow {\ mathrm {AM}} } \ kama {\ vec {\ Gama}} (\ mathrm {M}, \ mathrm {S / R}) \ rho (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV}}}Kg m 2 s −2 veya N m olarak ifade edilir .
Genellikle d m = ρ (M) dV ile M noktası etrafındaki sonsuz küçük hacimli dV elemanının kütlesini belirtiriz :
δ→AT(S/R)=∫SATM→∧Γ→(M,S/R)dm{\ displaystyle {\ vec {\ delta}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) = \ int _ {\ mathrm {S}} {{\ overrightarrow {\ mathrm {AM}} } \ kama {\ vec {\ Gama}} (\ mathrm {M}, \ mathrm {S / R}) \ mathrm {d} m}}Katı cismin her bir A noktasına kıyasla dinamik bir moment tanımlanabilir. Dinamik moment böylece bir vektör alanı oluşturur. Bu alandır equiprojective : böylece bir olduğunu torsor dinamik torsor denir.
Gösteri
Gösterimleri hafifletmek için katı S'ye ve referans çerçevesi R'ye referanslar atlanır.
Sahibiz
δ→B-δ→AT=∫(BM→-ATM→)∧Γ→(M)dm=∫BAT→∧Γ→(M)dm=BAT→∧∫Γ→(M)dm=BAT→∧AT→{\ displaystyle {\ vec {\ delta}} _ {\ mathrm {B}} - {\ vec {\ delta}} _ {\ mathrm {A}} = \ int ({\ overrightarrow {\ mathrm {BM}} } - {\ overrightarrow {\ mathrm {AM}}}) \ wedge {\ vec {\ Gamma}} (\ mathrm {M}) \ mathrm {d} m = \ int {\ overrightarrow {\ mathrm {BA}} } \ kama {\ vec {\ Gama}} (\ mathrm {M}) \ mathrm {d} m = {\ overrightarrow {\ mathrm {BA}}} \ wedge \ int {\ vec {\ Gama}} (\ mathrm {M}) \ mathrm {d} m = {\ overrightarrow {\ mathrm {BA}}} \ wedge {\ vec {\ mathcal {A}}}}veya
AT→=∫Γ→(M)dm{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {A}}} = \ int {\ vec {\ Gama}} (\ mathrm {M}) \ mathrm {d} m}noktadan bağımsızdır.
Bir sonuç vardır, bu nedenle alan eşittir.
Kinetik torsöre gelince ve kinematik torsörün aksine, katının deforme edilemez olduğunu varsaymanın gerekli olmadığı farkedilir.
Sonuç
Torsorun sonucuna ivme miktarı denir ve not edilir . Şu şekilde tanımlanır (yukarıdaki gösterime bakın):
AT→(S/R){\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {A}}} (\ mathrm {S / R})}
AT→(S/R)=∫SΓ→(M,S/R)ρ(M)dV=∫SΓ→(M,S/R)dm{\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {A}}} (\ mathrm {S / R}) = \ int _ {\ mathrm {S}} {{\ vec {\ Gama}} (\ mathrm {M}, \ mathrm {S / R}) \ rho (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV}} = \ int _ {\ mathrm {S}} {{\ vec {\ Gama}} (\ mathrm {M}, \ mathrm {S / R}) \ mathrm {d} m}}Kg m s -2 veya N olarak ifade edilir . Dikkat
AT→(S/R)=mΓ→(G/R){\ displaystyle {\ vec {\ mathcal {A}}} (\ mathrm {S / R}) = m {\ vec {\ Gama}} (\ mathrm {G / R})}G, atalet merkezini ve m katı S'nin toplam kütlesini gösterir.
İndirgeme elemanları
Tüm gibi torsörlerin , dinamik torsor elde edilen vektör verileri ve belirli bir nokta A dinamik momentin bir değerle söylemek bir noktada indirgeme elemanları ile temsil edilebilir: Sonra not ederiz
D(S/R)AT={AT→(S/R)δ→AT(S/R)}AT/R{\ displaystyle {{\ mathcal {D}} (\ mathrm {S / R})} _ {\ mathrm {A}} = {\ begin {Bmatrix} {\ vec {\ mathcal {A}}} (\ mathrm {S / R}) \\ {\ vec {\ delta}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) \ end {Bmatrix}} _ {\ mathrm {A / R}}}
Kinetik torsor ile ilişki
Dinamik moment, açısal momentumdan şu şekilde çıkarılabilir :
δ→AT(S/R)=ddt[σ→AT(S/R)]+m⋅V→AT/R∧V→G(S/R){\ displaystyle {\ vec {\ delta}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ sol [{\ vec {\ sigma}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) \ right] + m \ cdot {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {\ mathrm {A / R}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {\ mathrm {G}} (\ mathrm {S / R})}Özel durumlar
Yalnızca çeviride bir katı olması durumunda, elimizde
D(S/R)G={m-de→G/R0→}G/R{\ displaystyle {{\ mathcal {D}} (\ mathrm {S / R})} _ {\ mathrm {G}} = {\ begin {Bmatrix} m {\ vec {a}} _ {\ mathrm {G / R}} \\ {\ vec {0}} \ end {Bmatrix}} _ {\ mathrm {G / R}}}Bir cismin sadece simetri ekseni etrafında dönmesi durumunda: ağırlık merkezi dönme eksenindedir ve bizde
z→{\ displaystyle {\ vec {z}}}
D(S/R)G={0→benθ¨z→}G/R{\ displaystyle {{\ mathcal {D}} (\ mathrm {S / R})} _ {\ mathrm {G}} = {\ begin {Bmatrix} {\ vec {0}} \\\ mathrm {I} {\ ddot {\ theta}} {\ vec {z}} \ end {Bmatrix}} _ {\ mathrm {G / R}}}burada I, kg⋅m 2 cinsinden ifade edilen S eylemsizlik momentidir ve rad⋅s −2 cinsinden açısal ivmesidir .
θ¨{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}}}
A'nın hızı sıfırsa veya katının eylemsizlik merkezinin hızıyla eşdoğrusal ise, dinamik torsör doğrudan kinetik torsörden türetilir , yani:
D(S/R)AT=ddt[VS(S/R)AT]{\ displaystyle {{\ mathcal {D}} (\ mathrm {S / R})} _ {\ mathrm {A}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ sol [{{\ mathcal {C}} (\ mathrm {S / R})} _ {\ mathrm {A}} \ sağ]}Kaynakça
- Michel Combarnous , Didier Desjardins ve Christophe Bacon , Katıların mekaniği ve katı sistemleri , Dunod , coll. "Yüksek bilimler",2004, 3 e ed. ( ISBN 978-2-10-048501-7 ) , s. 99-103
Ayrıca görün
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">