Galois kafes

Bir Galois kafesi , inşası bir Galois yazışmasına dayanan, ancak aynı zamanda bir ilişkinin maksimum dikdörtgenleri cinsinden de tanımlanabilen bir kafestir .

Bir Galois yazışmasının tanımı

• Let ve olmayacak iki işlev üzerinde tanımlı örgüleri ve böyle bir olmak Galois yazışmalar .m1:P→Q{\ displaystyle m_ {1}: P \ rightarrow Q}m2:Q→P{\ displaystyle m_ {2}: Q \ rightarrow P} (P,≤P){\ displaystyle (P, \ leq _ {P})}(Q,≤Q){\ displaystyle (Q, \ leq _ {Q})}(m1,m2){\ displaystyle (m_ {1}, m_ {2})}
• Izin vermek çiftler kümesi öyle ki veG{\ displaystyle G}(p,q)∈P×Q{\ displaystyle (p, q) \ in P \ times Q}p=m2(q){\ displaystyle p = m_ {2} (q)}q=m1(p){\ displaystyle q = m_ {1} (p)}
• Izin vermek , sadece ve sadece eğer ile tanımlanan ilişki olsun .≤{\ displaystyle \ leq \,}(p1,q1)≤(p2,q2){\ displaystyle (p_ {1}, q_ {1}) \ leq (p_ {2}, q_ {2})}q1≤Qq2{\ displaystyle q_ {1} \ leq _ {Q} q_ {2}}

Yapı daha sonra Galois kafesi adı verilen bir kafestir .(G,≤){\ displaystyle (G, \ leq)}

İkili bir ilişkiden tanım

• İkili bir ilişki olalım .R⊂X×Y{\ displaystyle R \ alt küme X \ times Y}
• Bir tanımlayan maksimal dikdörtgen bir bir çift olarak bir yan ürünü olarak bir Kartezyen tekabül dahil edilmesi için maksimal, diğer bir deyişle bu şekilde:R{\ displaystyle R}(AT,B){\ displaystyle (A, B)}R{\ displaystyle R}

AT×B⊂R{\ displaystyle A \ times B \ altkümesi R}ve . ∀AT′⊃AT,∀B′⊃B,(AT′×B′⊂R⇒AT′=AT,B′=B){\ displaystyle \ forall A '\ supset A, \ forall B' \ supset B, (A '\ times B' \ subset R \ Rightarrow A '= A, B' = B)}

• İlk üyelerine veya ikinci üyelerine eklenerek sıralanan bu maksimum dikdörtgenler , Galois kafesi adı verilen bir kafes oluşturur .(AT,B){\ displaystyle (A, B)}AT{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}

Bu kapsayıcılık ikiliği, Galois kafeslerini karakterize eder.

Temel Galois Kafes Teoremi

Herhangi bir kafes, ikili bir ilişkinin Galois kafesi olabilir. Tersine, iki ikili ilişki aynı Galois kafesine (veya daha kesin olarak iki izomorfik Galois kafesine) sahip olabilir.

Konsept kafes

In XVII inci  yüzyılın Jansenists Port Royal işlerini gerektiği ve bir kavramın uzantısı kavramlarını açıkladı içinde, zaten antik Yunan filozoflarının ele var. Bu felsefi kavramları matematiksel bir kümenin tanım biçimlerinde buluyoruz: Bir kümenin uzantısı, öğelerinin envanteridir, oysa niyet, bu kümenin karakteristik özelliklerini bir araya getirir.

1982'de Alman matematikçi Rudolf Wille  (in) bu felsefi kavramları cebirsel ve algoritmik çerçevede yeniden değerlendirdi:

• X bir biçimsel nesneler kümesi olsun ve Y, bu nesnelerin sahip olabileceği biçimsel özellikler kümesi olsun;
• Izin vermek bu nesnelerin sahip olduğu özellikleri belirten bir ikili ilişki olsun ;R⊆(X×Y){\ displaystyle R \ subseteq (X \ times Y)}
• Daha sonra , karşılık gelen Galois kafesinin her bir öğesi biçimsel bir kavram, yani aynı özellikleri paylaşan bir dizi nesne olarak görülebilir. Galois kafesi daha sonra konsept kafes adını alır.(AT,B){\ displaystyle (A, B)}

Notlar ve referanslar

1. Bu maksimumluk koşulu şu şekilde çevrilebilir: ve .∀y∉B ∃-de∈AT t.q. (-de,y)∉R,{\ displaystyle \ forall y \ notin B \ \ A \ tq \ (a, y) \ notin R içinde bir \ var}∀x∉AT ∃b∈B t.q. (x,b)∉R{\ displaystyle \ forall x \ notin A \ \ vardır b \ B \ tq \ (x, b) \ notin R}
2. Sıra ve sınıflandırma, cebir ve kombinatorik. Marc Barbut ve Bernard Monjardet, Hachette, 1970.
3. Biçimsel kavramların analizi

Ayrıca görün

İlgili Makaleler

• Çardak

Dış bağlantı

Kaynakça

• Marghoubi, R., Zeitouni, K. ve Boulmakoul, A. (2006). Uzamsal ilişki kurallarının çıkarılması ve görselleştirilmesi için Galois kafeslerinin kullanımı . INFORSID'de (s. 703-718).

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">