Öklid aksiyomu , ayrıca adı geçen Öklid'in beşinci postulat , kaynaklanmaktadır zeki Yunan Euclid ( IV inci yüzyıl M.Ö.. ). Bu, düzlemin geometrisi ile ilgili bir aksiyomdur .
Bu aksiyoma duyulan ihtiyaç , geometri tarihindeki en rahatsız edici soru olmuştur ve bilim camiasının, onu salt bir teorem statüsüne indirgemenin imkansızlığını kabul etmesi iki bin yıldan fazla sürekli tartışmayı gerektirmiştir .
Orijinal ifade, Öklid Öğelerinin I. Kitabında aşağıdaki biçimde ifade edilir:
Bir “Eğer çizgi iki satır üzerine düşen yapar iç açıları aynı tarafta daha küçük ikiden haklarını , bu çizgiler, genişletilmiş sonsuza , yan buluşacak açıları daha küçük iki haklardır. »(Bkz. şekil).
Modern dilde, bu şunları verebilir:
"Toplamı olan bir hat kesiştiği miktarı toplamı, iki dik açılı farklıdır iki dahili açı belirleyerek diğer iki hat, sonra iki satır yarı düzlemde kesişen az iki dik açılar".
Öklid bu özelliği bir aksiyom olarak sundu: beşinci varsayımı .
Oldukça büyük olasılıkla olmasıdır kendisi, iddiasının kanıtlanabilir olup olmadığından şüphe etti. Düşünme için nedenler mülkiyet olduğu kadar seçimdir, beyanı ziyade olduğunu Öklid, ünlü aksiyoma başvurmadan Öğeler'inin ilk 28 önermeleri yerleştirmesi olgusu olarak bir "kanıtlanamayan teoremi" nin gibi Okurlarını onsuz yapmaya davet etmek ve böylece onları bunu göstermeye teşvik etmek istedi .
Aslında, iki bin yıldan fazla bir süredir, birçok araştırmacı bu özelliğin mantıksal olarak diğer varsayımlardan gelmesi gerektiğini düşündü. Böylece Öklid'in aksiyomunu kanıtlamaya çalıştılar. Bu bilim adamlarının en ünlüleri arasında şunları sayabiliriz:
|
|
Aksiyomun ispatı onu bariz olana geri getirmeyi gerektireceğinden, Öklid'in varsayımına az çok eşdeğer olan diğer ifadeler, bu ispat girişimlerinin en iyilerinden kaynaklanmıştır. Bilinen varyantlar oldukça fazladır. En ünlüleri muhtemelen:
Bu önermeler, paralellikler aksiyomuna "kabaca eşdeğer" olarak kabul edilir. Eşdeğerler olarak, uyarlanmış kelime kuralları aracılığıyla, Öklid geometrisinde doğru olan bu aksiyomların ne hiperbolik geometride ne de eliptik geometride doğru olmadığı anlaşılmalıdır .
Örneğin, aşağıdaki iki aksiyom, Öklid'in aksiyomuna eşdeğer değildir:
Gerçekten de Öklid geometrisinde doğru olan bu aksiyomlar hiperbolik geometride de geçerlidir. Bu nedenle, Öklid'in aksiyomunu kanıtlamamıza izin vermezler. Bununla birlikte, küresel geometride yanlış oldukları için Öklid aksiyomu ile ilişkilidirler.
Gelen XIX inci araştırma ile yüzyılda Lobachevsky , Bolyai , Gauss , Riemann , Beltrami , Klein ve Poincaré'e , bir başka olası geometrileri olup aksiyomlarını muhafaza çelişkili bulmak olabilir Öklid geometrisi beşinci önerme hariç; bu yeni geometrilere Öklid dışı denir . Bu keşfin öyküsü, geometri tarihinde büyüleyici bir bölümdür ; “ Öklidyen olmayan geometri ” makalesinde geniş ana hatlarıyla izlenir .
Paralellik aksiyomu olmadan geometriyi uygulamanın iki farklı yolu vardır.
İlk olarak, bir üçgen açılarının toplamı 180 ° den daha büyük olmasıdır denir eliptik geometri (ki küresel geometri a, bir model ); diğerinde 180 ° 'den azdır: Lobachevsky'nin hiperbolik geometrisi veya geometrisidir. Örneğin, beşinci aksiyomu şu şekilde değiştirerek: "Bir doğrunun dışındaki bir noktadan, bu doğruya paralel ve hepsi farklı sonsuz sayıda doğru geçirebiliriz", hiperbolik geometri elde ederiz.
Öklid dışı geometrilerde Pisagor teoremi artık geçerli değildir.
Öklid'in varsayımı, belirli bir dolaysız uzay algısı ile bağlantılıdır. ... muhtemelen çok açık değildir yılında feragat etmek Les Fous littéraires , André BLAVIER kime olanlar tarafından yazılmış 1862 ve 1932 arasında yayınlanmış 13 eser değinir onlar Öklid önerme göstermek düşünüyorum “quadrateurs” daha genel terimi ile yazar çağırır.
[ppt] Jacques Verdier, Öklid aksiyomunun gösterimleri, paralellikler teorisi , Besançon, 2007