Aritmetik-geometrik ortalama
Aritmetik-geometrik ortalama iki pozitif reals olarak elde edilen bir ara değer sınırı iki komşu dizilerin bir tatmin nüks ilişki formüllerini kullanan aritmetik ve geometrik ortalamalarından .
İkinci dereceden yakınsama , bu dizilerin bir sağlar hızlı bir yaklaşım , özellikle ilişkilidir aritmetik geometrik ortalama uzunluğu , bir bir elips eksenlerinden boylarda bulunan bir fonksiyonu olarak göstermektedir.
Tanım
İki pozitif reals Verilen ve biz iki pozitif dizileri tanımlamak ve ilk terimlerin , ve tekrarlama ilişkileri tatmin:
de{\ görüntü stili a}b{\ görüntü stili b}(sendeğil){\ görüntü stili (u_ {n})}(vdeğil){\ görüntü stili (v_ {n})}sen0=de{\ görüntü stili u_ {0} = a}v0=b{\ görüntü stili v_ {0} = b}
sendeğil+1=sendeğilvdeğil{\ displaystyle u_ {n + 1} = {\ sqrt {u_ {n} v_ {n}}}}
vdeğil+1=sendeğil+vdeğil2{\ displaystyle v_ {n + 1} = {\ frac {u_ {n} + v_ {n}} {2}}}.
İki takımları ve vardır bitişik :
(sendeğil)değil≥1{\ görüntü stili (u_ {n}) _ {n \ geq 1}}(vdeğil)değil≥1{\ görüntü stili (v_ {n}) _ {n \ geq 1}}vdeğil≥sendeğil{\ displaystyle v_ {n} \ geq u_ {n}}hepsi için (çünkü ), yani bu artıyor ( ), azalıyor ( ) vb .değil≥1{\ displaystyle n \ geq 1}vdeğil+1-sendeğil+1=(vdeğil-sendeğil)22{\ displaystyle v_ {n + 1} -u_ {n + 1} = {\ frac {({\ sqrt {v_ {n}}} - {\ sqrt {u_ {n}}}) ^ {2}} { 2}}}(sendeğil)değil≥1{\ görüntü stili (u_ {n}) _ {n \ geq 1}}sendeğil+1≥sendeğil{\ displaystyle u_ {n + 1} \ geq u_ {n}}(vdeğil)değil≥1{\ görüntü stili (v_ {n}) _ {n \ geq 1}}vdeğil+1≤vdeğil{\ displaystyle v_ {n + 1} \ leq v_ {n}}
0≤vdeğil+1-sendeğil+1≤vdeğil+1-sendeğil=vdeğil-sendeğil2{\ displaystyle 0 \ leq v_ {n + 1} -u_ {n + 1} \ leq v_ {n + 1} -u_ {n} = {\ frac {v_ {n} -u_ {n}} {2} }}vdeğil-sendeğil→0{\ displaystyle v_ {n} -u_ {n} \ 0'a}
Bitişik dizilerin teoremine göre ve bu nedenle ortak bir limite sahip , aritmetik-geometrik ortalama olarak adlandırılan ve .
(sendeğil){\ görüntü stili (u_ {n})}(vdeğil){\ görüntü stili (v_ {n})}M(de,b){\ görüntü stili M (a, b)}de{\ görüntü stili a}b{\ görüntü stili b}
Aritmetik-geometrik ortalama aslında bir ortalamadır.
İki pozitif gerçek ve verildiğinde şunu gösteriyoruz:
de{\ görüntü stili a}b{\ görüntü stili b}
-
M(de,b)=M(de+b2,deb){\ displaystyle M (a, b) = M \ sol ({\ frac {a + b} {2}}, {\ sqrt {ab}} \ sağ)} ;
- bu nedenle ,;M(de,b)=M(b,de){\ görüntü stili M (a, b) = M (b, a)}
- doğrudan bunun tanımından , . Yukarıdaki birine birleştirilen bu özelliği, aritmetik-geometrik ortalama (tüm gibi başka yollarla) için 1 simetrik ve homojen fonksiyonu olduğu anlamına gelir ve ;t≥0{\ displaystyle t \ geq 0}M(tde,tb)=tM(de,b){\ görüntü stili M (ta, tb) = tM (a, b)}de{\ görüntü stili a}b{\ görüntü stili b}
-
dk(de,b)≤deb≤M(de,b)≤de+b2≤maksimum(de,b){\ displaystyle \ min (a, b) \ leq {\ sqrt {ab}} \ leq M (a, b) \ leq {\ frac {a + b} {2}} \ leq \ max (a, b) }, eşitlik sadece gerçekleştiğinde .de=b{\ görüntü stili a = b}
yakınsama hızı
Varsayalım ve varsayın .
0<b≤de{\ displaystyle 0 <b \ leq a}vsdeğil: =vdeğil-sendeğil{\ displaystyle c_ {n}: = v_ {n} -u_ {n}}
Artıştan şu
sonuç çıkar : bu süreç ikinci dereceden yakınsamaya sahiptir .
vsdeğil+1=(vdeğil-sendeğil)22(vdeğil+sendeğil)2≤vsdeğil28b{\ displaystyle c_ {n + 1} = {\ frac {(v_ {n} -u_ {n}) ^ {2}} {2 ({\ sqrt {v_ {n}}} + {\ sqrt {u_ { n}}}) ^ {2}}} \ leq {\ frac {c_ {n} ^ {2}} {8b}}}
Bir eliptik integralle ilişkisi
Gauss , birinci türden bir eliptik integral ile aralarında bir bağıntı kurdu :
M(de,b){\ görüntü stili M (a, b)}
M(de,b)=π2/∫0π2dθde2çünkü2θ+b2günah2θ=π4⋅de+bK(de-bde+b){\ displaystyle {\ başlangıç {hizalanmış} M (a, b) & = {\ frac {\ pi} {2}} {\ bigg /} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2} } {\ frac {d \ teta} {\ sqrt {a ^ {2} \ cos ^ {2} \ teta + b ^ {2} \ günah ^ {2} \ teta}}} \\ & = {\ frac {\ pi} {4}} \ cdot {\ frac {a + b} {K \ sol ({\ frac {ab} {a + b}} \ sağ)}} \ bitiş {hizalı}}}burada K ( k ) birinci türden eliptik integraldir:
K(k)=∫0π2dθ1-k2günah2(θ){\ displaystyle K (k) = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {d \ teta} {\ sqrt {1-k ^ {2} \ günah ^ {2 } (\ teta)}}}}Aslında integralin de ilişkiyi doğruladığını gösterdi . Bu nedenle, n üzerinde tümevarım yoluyla , u n ve v n'nin a ve b ile ilgili aritmetik-geometrik diziler olduğu elimizde . Daha sonra limite geçerek .
ben(de,b)=∫0π2dθde2çünkü2θ+b2günah2θ{\ displaystyle I (a, b) = \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {d \ teta} {\ sqrt {a ^ {2} \ cos ^ {2 } \ teta + b ^ {2} \ günah ^ {2} \ teta}}}}ben(de,b)=ben(de+b2,deb){\ displaystyle I (a, b) = I \ sol ({\ frac {a + b} {2}}, {\ sqrt {ab}} \ sağ)}ben(de,b)=ben(sendeğil,vdeğil){\ displaystyle I (a, b) = I (u_ {n}, v_ {n})}ben(de,b)=ben(M(de,b),M(de,b))=π2M(de,b){\ displaystyle I (a, b) = Ben (M (a, b), M (a, b)) = {\ frac {\ pi} {2M (a, b)}}}
Gauss ilişkisi ve iki aritmetik-geometrik dizinin ortalamaya yakınsama hızı , eliptik integralin değerinin kesin yaklaşık sayısal hesaplanması için hızlı bir araç sağlar .
M(de,b){\ görüntü stili M (a, b)}ben(de,b){\ görüntü stili I (a, b)}
Tarih
Aritmetik-geometrik ortalama, matematikçiler Adrien-Marie Legendre tarafından, daha sonra Carl Friedrich Gauss tarafından bağımsız olarak keşfedildi ve bunu, herhangi bir elipsin, eliptik bir integral olarak ifade edilen yayının uzunluğunu yaklaşık bir şekilde hesaplamak için kullandı . Bu analiz alanına olan ilginin kökeni. Ortalama-aritmetik geometrik ve eliptik integral arasındaki ilişkiyi analiz etmek 1 st onun içinde, tür, Gauss matematiksel Cahiers (bir yay uzunluğunu veren bir ilişki dikkat çekti Lemniscate Bernoulli )
.
π2M(1,2)=∫01dt1-t4{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2M (1, {\ sqrt {2}})}} = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ matematik {d} t} {\ sqrt {1-t ^ {4}}}}}
Notlar ve referanslar
Notlar
-
See, örneğin, konuşma John Boxall , " : aritmetik-geometrik ortalama uygulamalar ve genellemeler " üzerine, Eğitim kütüphanesinden .
-
Genelleştirilmiş ortalama makalesine bakın .
-
Bkz. Carl Friedrich Gauss , Mathematisches Tagebuch 1796–1814: Kurt-R'nin tarihsel bir tanıtımıyla. Biermann , Frankfurt am Main, Harri Deutsch, col. ( "Ostwalds exakten Wissenschaften der Klassiker" n O 256) ( Repr. 2005 5 inci baskı., Düzeltme tarafından açıklamalı Hans Wussing Olaf Neumann), "98 (Brunswick, May 30, 1798)" : “ Terminum orta aritmetik-geometrik inter 1 et esse usque ad figuram undecimam comprobavimus, qua re demonstrata prorsus novus camp in analysi certo aperietur. 2{\ görüntü stili {\ sqrt {2}}}=πϖ{\ displaystyle = {\ frac {\ pi} {\ varpi}}} " Oradan , lemniscate sürekli Gauss tarafından incelenmiştir.ϖ: =2∫01dt1-t4{\ displaystyle \ varpi: = 2 \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {dt} {\ sqrt {1-t ^ {4}}}}}
bibliyografya
(tr) ET Whittaker ve GN Watson , Modern Analiz Kursu (tr) , Cambridge, col. "Cambridge Matematik Kütüphanesi",2000, 4 th Ed. ( 1 st ed. 1927), s. 515
Dış bağlantı
Antoine Chambert-Loir , " Aritmetik-geometrik ortalamanın muhteşem kaderi " , Orsay Matematik Bölümü üzerine
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">