In matematik , bir gerçek sayı bir olan sayı bir ile temsil edilebilir tamsayı kısmının ve sonlu veya sonsuz listede ondalık basamağa . Dolayısıyla bu tanım , ondalıkları belirli bir sıradan periyodik olarak tekrarlanan rasyonel sayılar için değil, aynı zamanda 2 , π ve e'nin karekökü gibi diğer irrasyonel sayılar için de geçerlidir .
Kavram gerçek sayının giderek taşıma ortaya raporlar büyüklüğünü geometrik raporlarına dışındaki doğal bütün tarafından dikkate alınacak Cnidus'lu Eudoxus içinde IV inci yüzyıl M.Ö.. AD Ayrıca sığar yaklaşım çözümler sorunları Cebirsel ve ortasında, yer verir XIX inci yüzyılda vurgulanan sayılar üstün . Ancak gerçek sayıların tanımı sonradan ile bir kaç on yıl kadar resmiyet değildi inşaatlar arasında Dedekind'in bir yandan ve Cantor ve MERAY diğer tarafta.
ℝ ile gösterilen gerçel sayılar kümesi, daha sonra tamamen sıralı bir cisim , yani kesirlerde aynı kuralları karşılayan dört aritmetik işlemle sağlanır ve bu işlemler ilişki düzeniyle tutarlıdır. Ama aynı zamanda , gerçek analizin dayandığı üst sınırın özelliğini de karşılar . Son olarak, bu küme Hilbert tarafından en büyük Arşimet gövdesi olarak karakterize edilir . In tamamlanan gerçek hat sonsuz değerler artık alanların operasyonel kurallarını tatmin yayımdaki karmaşık sayılar ise, toplam düzenin imkansız ilişki uyumlu hale getirir bitişik standart dışı analiz sonsuz küçük sayıların Arşimet karakterini geçersiz hangi .
"Gerçek" kelimesi numaraları tanımlamak için kullanılır XVII inci yüzyılın ancak sayı olarak değil de açıkça tanımlanır hayal sonunda bu XIX inci aynı zamanda belirli ilmi "resmi numarası" karşı olduğunu yüzyılda ilahiyat ya da aynı döneme ait felsefe .
Gerçek sayılar, bir ürünün fiyatı, iki olay arasındaki süre, bir coğrafi bölgenin rakımı (pozitif veya negatif), bir atomun kütlesi veya en yakın galaksiye olan uzaklık gibi herhangi bir fiziksel ölçümü temsil etmek için kullanılır. Bu ölçümler, bir ölçü biriminin seçimine bağlıdır ve sonuç, gerçek bir sayının bir birim ile çarpımı olarak ifade edilir. Gerçek sayılar her gün, örneğin ekonomi, bilgisayar bilimi, matematik, fizik veya mühendislikte kullanılır.
Çoğu zaman, gerçek sayıların yalnızca belirli alt kümeleri kullanılır:
Gerçeklerin tüm bu alt kümeleri sonsuz kardinaliteye sahip olsalar da, hepsi sayılabilir ve bu nedenle gerçekler kümesinin yalnızca küçük bir bölümünü temsil eder. Her birinin kendi özellikleri vardır. İkisi özellikle matematikçiler tarafından incelenir: rasyonel sayılar ve cebirsel sayılar ; Rasyonel olmayan gerçeklere “ irrasyonel ”, cebirsel olmayanlara ise “ aşkın ” deriz .
Fiziksel kullanımı iki ana nedenden dolayı ifade ölçümler gerçek sayılar:
Öte yandan fizikçi sonsuz kesinlikte ölçümler yapamaz. Bir hesaplama sonucunun dijital temsili, ondalık bir sayı ile istendiği kadar kesin olarak yaklaşık olarak tahmin edilebilir. Fiziğin mevcut durumunda, teorik olarak bile imkansız sonsuz hassasiyette ölçümler yapmak için. Bu nedenle hem deneysel hem de teorik ihtiyaçlar için fizikçi ölçümleri ℝ cinsinden hesaplarsa, sayısal sonuçları ondalık sayılar şeklinde ifade eder.
Böylece fizikçi, gerçek sayıların yaptığı ölçümlere anlam kazandırmayı mümkün kılan özelliklerini kullanır ve teorilerini ispatlamak için güçlü teoremler sunar. Sayısal değerler için ondalık sayılarla karşılanır. Tam bir daire üzerinde bir maddesel noktanın kat ettiği mesafeyi ölçerken, değeri varlığını sorgulamadan kullanır , ancak hesaplamalar için genellikle az sayıda ondalık basamak yeterlidir.
Son olarak, gerçek sayılar herhangi bir fiziksel niceliği temsil edebilmesine rağmen, gerçek sayılar pek çok fiziksel problemin incelenmesi için en uygun olanı değildir. Of Supersetler etrafında gerçek inşa bazı fiziksel mekanın idare edebilmek için oluşturulmuştur. Örneğin :
Herhangi bir gerçek sayı " sonsuz ondalık açılım sayısı" olarak gösterilebilir. Bu tanım, örneğin yakınsak bir dizinin limiti gibi matematikçiler tarafından yaygın olarak kullanılan diğerlerinden daha basit görünebilir . Ancak, kısa sürede uygun olmadığı ortaya çıkıyor ve çok daha karmaşık tanımları ve gösterimleri içeriyor. Gerçek sayılar, oluşturdukları kümenin yapısı ve özellikleri açısından ilginçtir: toplama, çarpma, sıra ilişkisi ve bu kavramları birbirine bağlayan özellikler. Bu özellikler "sonsuz ondalık açılım" tanımı tarafından yetersiz şekilde yansıtılır ve teorik sorunlar ortaya çıkar:
Bununla birlikte, gerçek sayılar kümesinin yapısı bir kez oluşturulduktan sonra, ondalık genişleme gösterimi, sayılanın sayının tam ondalık sayıları değil, sayının karşısındaki konumu olduğu akılda tutularak etkili hesaplamalara izin verir. diğer gerçeklere göre.
Antik çağlardan beri ölçülebilir bir miktarın - örneğin bir uzunluk veya sürenin - temsili bir ihtiyacı karşılamıştır. İlk cevap, kesirlerin oluşturulmasıydı (iki pozitif tam sayının bölümü). Sümerler ve Mısırlılar arasında çok erken uygulanan bu çözüm, nihayetinde etkilidir. İstenilen tüm hassasiyetle herhangi bir uzunluğa yaklaşmanıza izin verir.
uzunluklarla yazışmalarBildiğimiz bu sistemin inşa edilen ilk kayıt altına çalışmalarının sonucudur Euclid içinde III inci yüzyıl M.Ö.. AD . İçinde yazılı Onun inşaat, onun Elements , matematik tarihine önemli bir katkı iki büyük fikirler getiriyor.
Birim olarak belirli bir uzunluğun seçildiğini varsayalım. Geometrik akıl yürütme, kesinlikle önceden bilinen Babilliler'in , eğer göstermektedir bir a, kare yan birliği ile B olan kare için eşit diyagonal d arasında A , daha sonra alan arasında B çift olduğunda, bu , A , aksi söyler: d 2 = 2.
Muhtemelen V inci yüzyıl M.Ö.. AD , Yunan matematikçiler karenin köşegeninin ve kenarının uzunluklarının ölçülemez olduğunu gösteriyor : Ne kadar küçük olursa olsun, tam olarak bu iki boyutu "ölçmeye" izin veren hiçbir segment yok. Biz bugün uzunluğunun bu oran, demek 2'nin kare kökü olduğu irrasyonel , yani bir kesir eşit değildir: bu bir fraksiyon isemdeğilkarenin köşegenini m eşit parçaya ve kenarını n eşit parçaya bölerek hepsi aynı uzunlukta parçalar elde ederiz.
Bu, kesirlerin ölçülebilir miktarları temsil etmek için yeterli olamayacağını gösterir.
Bu sonucun parite argümanına dayanan basit bir aritmetik kanıtı vardır . Gelen IV inci yüzyıl M.Ö.. AD , Aristoteles yazılarından birinde buna atıfta bulunur. Bu daha ayrıntılı olarak bulunursa Kitap X arasında Elements Öklid .
Sınırsız periyodik olmayan ondalık genişlemeKesirler gerçekten herhangi bir uzunluğu istenen hassasiyetle ifade etmeyi mümkün kılıyorsa, yine de, numaralandırma sistemi uyarlanmadığında işlemlerin ve özellikle bölmenin karmaşık hale geldiği anlaşılmalıdır . Sorun, bazı somut örnekler sunan Mısır kesir makalesinde açıklanmıştır .
Değil kadar V inci yüzyıl görmek için Hint Okulu kavramını keşfetti sıfır ve geliştirmek sayma sistemi ondalık ve pozisyonel .
Ardından ikinci bir sorun belirir. Bu genişleme sonsuz ve periyodik olduğu sürece, tüm kesirlerin bir ondalık açılımı vardır , yani ondalık sayıların dizisi durmaz, ancak sonlu sayıda değer üzerinde döner. O zaman soru, periyodik olmayan ondalık sayılar dizisi ile karakterize edilen bir nesneye ne anlam verileceğini bilmekten doğar. Örneğin, olarak ifade edilen sonsuz ondalık açılımlı sayı
0,1010010001 ... 1 rakamı arasındaki 0 sayısının sonsuz büyüdüğü yerde bir uzunluğa tekabül ediyor mu? Süitler ve serilerİkinci yarısında XVII inci yüzyılın , bilgi işlem alanında matematik olağanüstü gelişimi bulunmuyor dizi ve süitler .
Nicolaus Mercator , Bernoulli , James Gregory , Gottfried Wilhelm Leibniz ve diğerleri, yakınsayan ama sınırları rasyonel olmayan seriler üzerinde çalışıyorlar . Örneğin durum şudur:
Daha da kötüsü, Liouville içinde 1844 , varlığını kanıtlayan üstün numaraları, tamsayı katsayılı bir polinomun değil kökünü söylemektir. Bu nedenle , tüm sayıların kümesini elde etmek için cebirsel sayıları ekleyerek rasyonelleri tamamlamak yeterli değildir .
İkinci bölümünde sırasında XVII inci yüzyılın , Isaac Newton ve Gottfried Leibniz matematik yepyeni dalı icat etti. Şimdi buna analiz deniyor , o zamanlar sonsuz küçüklük hesabı olarak biliniyordu . Bu dal hemen hemen büyük bir ün kazanır, çünkü tamamen yeni bir evrensel fizik teorisinin temelidir: Newton'un yerçekimi teorisi . Bu şöhretin nedenlerinden biri, Dünya'nın Güneş'in etrafında mı dönüyor yoksa tam tersi mi, eski bir sorunun çözülmesidir .
Bununla birlikte, sonsuz küçükler hesabı, rasyonel sayılar kümesinde kesin olarak gösterilemez. Hesaplamalar doğruysa, çok karmaşık bir dilde ifade edilirler ve ispatlar , zamanımızın anlamında katı bir açıklamadan çok geometrik sezgiden kaynaklanır.
Kesirler kümesinde analiz yapmanın imkansızlığı, matematiğin bu dalının sonsuz küçüklerin analizine dayanması gerçeğinde yatmaktadır. Bununla birlikte, rasyonel sayıları, gerçek çizgide maddeden sonsuz sayıda delik bırakan sonsuz sayıda küçük (sonsuz küçük boyutlu) kum taneleri ile karşılaştırabiliriz . Analiz böyle bir destekle tatmin edilemez. Destek için tam bir alan gerektirir . Kelimesi iki anlamda, yani sezgisel anlamında burada kullanılan küçük delikler sonsuz sayıda olmalıdır takılı ve matematikçiler bugün daha soyut ama sıkı resmiyete vermek anlamı.
Bu fikir başında olmak o kadar önemli XX inci yüzyıl denilen matematik büyük bir dalı topoloji .
Analiz için ℝ neden önemlidir?Analiz, gerçek değişkenin gerçek bir fonksiyonunun esasen sonsuz küçük davranışıyla bilindiğini varsayar. Örneğin, bir gezegenin ivmesi her zaman biliniyorsa ve ilk konumu ve hızı biliniyorsa, o zaman kesin yörüngeyi çıkarmak mümkündür. Bir teoremler zinciri , limit teoremi ile ispatlanan Rolle teoremi ile ispatlanan sonlu artımlar teoreminin teoremi rasyonel kesirler üzerinde yanlış olur. Biz resimsel açısından bu teoremi temsil aşağıdaki şekilde, bu teoremi tanımlayabiliriz: için sonlu artışı teoremi, bir araç 120 hareket halinde km 2 saat sonra, bu araç en az bir hareket bir kez 60 km / saat ; Rolle teoremi için (sırasıyla limit teoremi), bir araba şerit değiştirmeden aynı yerden çıkıp geliyorsa, o zaman en az bir kez U dönüşü yapmıştır (sırasıyla, arabanın bulunduğu yerden en uzak olduğu bir an vardır). başlangıç noktası).
Sezgisel olarak o kadar açık olan bu teoremlerdir ki, insan onları kanıtlamanın nasıl mümkün olduğunu bile merak ediyor. Newton bu kanıtın sonuçlarını o kadar ileri taşıdı ki, kendi zamanında sadece birkaç ender insan onun büyük eseri Philosophiae Naturalis Principia Mathematica'yı gerçekten anlayabildi . Kanıtlar her zaman eninde sonunda bir önseziye dayanıyordu .
O halde limit teoreminin ispatının neden gerçek sayıların topolojik doğasına dair derin bir anlayış getirdiğini açıklayalım. Bunun için, ℚ'deki aralığın rasyonel sayıları üzerinde f fonksiyonunu ele alalım, burada ℚ, aşağıdaki ile tanımlanan rasyonel sayılar kümesini gösterir:
Karesi 2'ye eşit olan bir noktada fonksiyon süreksiz görünür, ancak bu nokta rasyonel sayılarda yoktur, bu nedenle fonksiyon tanımlandığı her yerde süreklidir. Küçük deliklerin sezgisel süreklilik kavramımızı kırdığını fark ederiz . Sonsuz küçük bir tanım , bu nedenle, bir işlevi yeterince tanımlayamaz çünkü küçük delikler , sonsuz küçük davranış tarafından tanımlanmayan sıçramalara izin verir . Sezgisel süreklilik kavramımız bu nedenle ℚ ile ℚ ile aynı anlama sahip değildir. Apsis ℚ'de olmayan bu noktanın doğrusuna yaklaştıkça artar. Bu nedenle maksimuma ulaşan bir nokta yoktur. gerçek hakNegatif sayıların varlığı tarihte çok erken bir tarihte ortaya çıktıysa ( Hint matematiği ), Euler sayesinde sayıların gerçek bir statüsünü elde etmeleri ve hesaplama hünerlerini kaybetmeleri 1770 yılına kadar olmamıştır . Ancak gerçek çizgi adı verilen doğru yönelimli tüm noktalara gerçek ortak kümesini görmek için bir asır beklemek zorundasınız .
Geleneksel olarak orijin olarak adlandıracağımız bir O noktası içeren bir D doğrusunu ele alıyoruz. 1 sayısıyla özdeşleştirdiğimiz D'ye ait O'dan farklı bir I noktası olsun. Uzlaşımla, O'dan I'e olan mesafenin 1'e eşit olduğunu ve doğrunun O'nun I'e olan yönelimi olduğunu söyleyeceğiz. Doğru üzerindeki herhangi bir M noktasında, O ve M arasındaki mesafeyi ilişkilendiririz. M ve I, O'ya göre aynı taraftaysa, mesafe pozitif sayılır, aksi takdirde negatiftir.
Geçerli kayıt altına çağırır Bu ilişki bijection mümkün bir satırın bir noktada gerçek sayı tanımlamak mümkün kılar.
Analiz gelişimi XVIII inci ve XIX inci yüzyıllarda gerçek sayılar doğasını sorgulamaya Fransızca ve Almanca matematikçiler açtı. Bu sorular onları, Cantor, Méray ve Dedekind tarafından 1870 civarında resmileştirilen, ℝ'nin olası yapılarının dayandırılabileceği temel özellikleri (tamlık, bitişik diziler, vb.) belirlemeye yöneltti.
İnşaatOnun analizi sırasında Ecole Polytechnique'de , Augustin Louis Cauchy bir birinci katı tanımı önermektedir sınırı . Gerçek sayılar dizisi doğal (denir sayılarla endeksli sekansı bir sınır (zorunlu olarak benzersiz) için) yakınsak x zaman mesafesi | x - x n | yeterince büyük n için istendiği kadar küçük olur . Bugün kendi adını taşıyan Cauchy kriterini ortaya koyuyor: Mesafelerin | x n - x m | n için istenildiği kadar küçüktür ve m yeterince büyüktür. Cauchy, bu kriteri belirterek, tanımının dayandırılabileceği bir özellik olan gerçek sayılar alanının tamlığını onaylar. Bu yaklaşım 1869'da Méray tarafından , ardından 1872'de Cantor tarafından resmileştirildi . Özellikle analize uygun olan bu fikir, tamamlama yöntemlerinde uzantılar buluyor .
1872'de Richard Dedekind tarafından ikinci bir yapı yayınlanmıştır . Kesirler üzerindeki sıra ilişkisinin incelenmesinden kaynaklanmaktadır . Bir Dedekind kesim kümesidir A rasyonel olarak rasyonel bir A daha az tamamlayıcı herhangi akılcı daha A'da . Bir gerçek daha sonra bir Dedekind kesimi ile temsil edilir. Örneğin, 2'nin karekökü, 2'den küçük karelerin negatif rasyonelleri ve pozitif rasyonelleri kümesi ile temsil edilir. Yazarlara göre kesme tanımının varyantları vardır.
Üçüncü bir yapı, iç içe geçmiş bölümler yöntemine dayanmaktadır. Yuvalama, uzunluğu 0'a doğru olan rasyonel sayıların kapalı aralıklarının azalan bir dizisidir. Daha sonra bir gerçek sayı, bir denklik ilişkisi modülolu yuvalama sınıfı olarak tanımlanır. Göre Mainzer (de) , "sipariş alan özelliklerini kontrol nispeten acı verici" bu yaklaşım önceki iki daha az avantajlı görünen açıklar neden. Ondalık açılımlardan başka bir yöntem daha vardır, ancak toplama ve çarpma işlemi tanımlaması kolay işlemler değildir.
1899'da David Hilbert , gerçek sayılar alanının ilk aksiyomatik tanımını yaptı. Önceki yöntemlerin tümü, gerçek sayılar kümesi olan "aynı" kümeyi oluşturur.
Çözüm beklenenden daha zenginXIX inci yüzyıl gösterileri bu yeni yapının olduğunu, gerçek sayılar, operasyon ve sıralama bağıntısı seti sözünü yerine getiren sadece ama ötesine geçer.
Gerçek sayı ve kavramları evrimi süreklilik gibi olan felsefi o matematiksel olarak. Gerçek sayıların sürekli bir varlık oluşturması, “sıçrama” veya “ bant aralığı ” olmadığı anlamına gelir . Sezgisel olarak, tıpkı insanın uzay algısı veya zamanın akışı gibi. Bazı filozoflar, bunun ayrıca tüm doğal fenomenler için tamamen aynı olduğunu düşünürler. Bu kavram, matematikçi ve filozof Leibniz'in mottosuyla özetlenir : natura non facit saltus , "doğa sıçrama yapmaz".
Sürekliliğin hikayesi antik Yunanistan'da başlar . Gelen V inci yüzyıl M.Ö.. AD , atomistler sadece doğanın "sıçramalardan" oluştuğuna değil, aynı zamanda bölünemez temel parçacıklar, atomlar olduğuna da inanırlar . Synechists her şeyin, sürekli bağlanır iddia ediyor. Democritus , boşlukla iç içe geçmiş atomlardan oluşan bir doğanın takipçisidir, Eudoxus ise onunla çelişir ve onun çalışmasını analizin en eski öncülerinden biri yapar. Bunlar daha sonra Öklid geometrisi olarak bilinen şeye dönüşür .
Oysa XVII inci yüzyılın , matematikçiler sürekli fonksiyon aslında son derece küçük demek ki sonsuz küçük düz çizgiler, oluşur énonçaient. Atomcu bir perspektiften bakıldığında sonsuz küçük kavramı, bu şekilde doğayı kavramayı teşvik edebilir. Bu nedenle sonsuzluk sorusu, süreklilik ve gerçek sayıların anlaşılmasında merkezi bir öneme sahiptir.
Zeno paradokslarının sonsuz kavramının karşı-doğallığına göstermektedir. En iyi bilinenlerden biri, içinde uçuşan bir ok hayal ettiğimiz oktur. Herhangi bir zamanda ok kesin bir konumdadır ve an çok kısaysa, okun hareket edecek zamanı yoktur ve bu süre boyunca hareketsiz kalır. Sonraki anlarda, aynı nedenden dolayı hareketsiz kalır. Ok hala hareketsizdir ve hareket edemez: hareket etmek imkansızdır. Bu paradoksu çözmek için, analizin evrimi sırasında keşfedilen limit yöntemiyle bu sonsuz küçükleri sonsuz sayıda eklemeliyiz .
Reel sayıların sürekliliği kavramı , tarihinin başlangıcından itibaren analizin merkezinde yer alır . Temel bir soru, verilen bir fonksiyonun aslında sürekli bir fonksiyon olup olmadığıdır . Gelen XVIII inci yüzyılın biz "bir varyasyonu mı gibi bu soruyu formüle sonsuzküçük kendi alanında imajına bir sonsuzküçük değişikliğini üretir? ". Gelen XIX inci yüzyılda , bu formülasyon terk edilir ve ile ikame sınırlar .
Gönderen XVIII inci yüzyılın , zarafet gelen sonsuz küçük düşme: onlar pratik kullanımı söylenir, fakat hatalı gereksiz ve çelişkili. Sınırlar tamamen değiştirmek ve başından XX inci yüzyılın , son derece küçük artık analizin temel vardır. Matematikte , onlara tensör alanının matematiksel statüsünü vererek , diferansiyel geometride büyük masraflarla yeniden sunulana kadar, bir şekilde kavram-olmayan olarak kalırlar .
Uygulamalı bilimlerde, özellikle fizik ve mühendislikte her zaman sonsuz küçükleri kullanırız. Bu açıkça bu bilimler ve matematik arasında iletişim sorunlarına neden olur.
Genellikle David Hilbert'in cümlesiyle ifade ettiğimiz reel sayılar kümesini kısaca karakterize edebiliriz : ℝ son Arşimet değişmeli alanıdır ve tamdır . "Son", herhangi bir Arşimet değişmeli alanının ℝ'nin bir alt kümesine eşbiçimli olduğu anlamına gelir . Burada "izomorfik" sezgisel olarak aynı şekle sahip olduğu veya tamamen aynı şekilde davrandığı anlamına gelir, bu yüzden büyük zorluk çekmeden bunların aynı olduklarını söyleyebiliriz.
Aksiyomatik bir yaklaşım, bir kavramı bir dizi tanımla karakterize etmekten oluşur. Modern formalism içinde öncü Hilbert olan bu görüş, son derece verimli oldu XX inci yüzyıl. Topoloji, ölçüm teorisi veya olasılıklar gibi kavramlar artık bir aksiyomatik tarafından tanımlanmaktadır. Aksiyomatik bir yaklaşım, söz konusu yapının mükemmel bir şekilde anlaşıldığını varsayar ve yalnızca bu tanımlardan teoremlerin kanıtlanmasına izin verir. Matematikteki iyi tanımların bu kadar güçlü olmasının nedeni budur. Ancak, ℝ'nin aksiyomatik tanımı böyle bir kümenin var olduğunu göstermez. Daha sonra bu yapıyı inşa etmek gerekli görünüyor (gerçek sayıların inşası makalesine bakın ).
Birkaç eşdeğer aksiyomatik tanımımız var:
Tanım 1 bölümün başında sunulmuştur. Tanım 2 ve 3 arasındaki denklik , Reel sayıların inşası makalesinde gösterilmiştir . Tanım 3 ve 4 arasındaki eşdeğerlik, esasen sıralı kümelerin bir sonucudur (düzenin topolojisi makalesine bakın ).
Benzersizlik (benzersiz) izomorfizme bağlıdır, yani K, aynı varsayımları karşılayan tamamen düzenli bir alan ise, o zaman ℝ'deki K'den (benzersiz) kesinlikle artan bir izomorfizm vardır.
Tanım 2'yi detaylandıralım:
Bu bölüm aslında tekniktir. ℝ üzerinde analitik bir çalışma için gerekli ve temel özelliklerle ilgilenir.
Aşağıdaki özellik, ℝ'nin Arşimet olduğu gerçeğinden çıkarılabilir.
Diğer özellikler, üst sınırın özelliğinin sonuçlarıdır.
Özellikle ilginç bir dizi fonksiyon vardır, polinomlar . Bazen bir polinom çarpanlara ayrılabilir . Yani, daha küçük dereceli sabit olmayan polinomların ürünü olarak ifade edilir. İdeal olan, herhangi bir polinomu derece 1'in çarpanlarına ayırabilmektir (yani, ax + b biçiminde ). Bu özellik, bu polinomları oluşturduğumuz alana bağlıdır. Ne olursa olsun rationals alanında, örneğin , n için eşit bir tamsayı ya da daha büyük , 2 , orada mevcut indirgenemez derecesi polinomları n daha küçük derece polinom bir ürün şeklinde ifade edilemez demek ki,. Gerçek sayılar için, indirgenemez bir polinomun en büyük derecesinin ikiye eşit olduğunu kanıtlıyoruz. Başka bir deyişle, polinom ayrışmıyorsa, bunun nedeni ax 2 + bx + c biçiminde olmasıdır . İndirgenemez polinomlar olarak sadece 1. dereceden polinomlara sahip alanlara cebirsel olarak kapalı denir .
ℝ cebirsel olarak kapalı değilse, bu cismi daha büyük bir cisme daldırabiliriz. Bu yeni bir gövde, karmaşık sayıların gövdesi . Ancak, bu vücut genel olarak "daha iyi" değildir. Cebirsel kapanışı çok ilginç bir özelliktir, ancak bir maliyeti vardır: kompleksler alanı , iki işlemiyle uyumlu bir sıra ilişkisine sahip olamaz . Bir bakıma, bir tarafta kazanılan, diğer tarafta kaybedilir.
Gerçek sayıların amacı , analizi oluşturmak için doğru özelliklere sahip bir dizi sayı sağlamaktır . İki farklı kavramı kullanan iki yaklaşım mümkündür.
Zarafet, daha zayıf aksiyomatik temeli tercih eder. Gelen XX inci matematik genel olarak yeniden örgütleme yüzyıl çalışmaları ile yürütülmektedir Bourbaki kombinasyonu adlı bir kitap yazma ve sonuçların matematiksel unsurlar . Bu çalışma, güncel matematiğin büyük bir bölümünü titizlikle ele almaktadır. Bu nedenle, Elementler topolojiden gerçekler kümesinin özelliklerini geliştirir ve gösterir. Burada izleyeceğimiz seçim bu.
ÖzellikleriKaç tane gerçek sayı var? Bir sonsuzluk ama hangisi? İki küme , eş potansiyel ise , aynı kardinaliteye sahiptir (sezgisel olarak: aynı "eleman sayısı") . Setleri, örneğin için ℕ , ℤ , ℚ veya ℚ , iç içe geçmiş ve önceki her biri bir çift ihtiva eden birkaç “kopya” de, aynı “boyutu” sahiptir: bunun kardinal sayılabilir kümeler , belirtildiği ℵ₀ . Georg Cantor , çapraz argümanıyla, ℝ'nin sayılabilir olmadığının bir kanıtını sağlayarak kesinlikle daha büyük sonsuz kardinallerin olduğunu gösterdi: Cantor'un Köşegen Argümanı makalesine bakın . Işte başka biri.
ℝ'nin sayılamazlığının bir başka kanıtı[0, 1]'deki bir dizinin asla surjective olmadığını göstererek [0, 1] aralığının sayılabilir olmadığını gösterelim . Dizinin görüntü kümesinde olmayan [0, 1]'de bir nokta bulmak yeterlidir . Bunun için, tümevarımla iki dizi tanımlayalım , örneğin:
İki süitimizi sorarak başlatalım:
n 0'a eşitse (1) özelliğinin doğru olduğu açıktır. O halde n + 1 sıralaması için dizilerimizi tanımlayalım .
Aralık aralığı dahil olmak , bu dizinin herhangi bir öğeyi içeremez kesinlikle daha az düzen n , indüksiyon hipotezi tarafından . Yapı olarak, aynı zamanda içeremez ve özellik (1) kontrol edilir.
İki dizi olmak bitişik ( ), bunların ortak sınır ait tüm için n , aralığına , bu nedenle farklı ilk N dizisinin değerleri . Yana n keyfi, önerme kanıtlanmıştır.
Gerçek sayılar kümesinin kardinalitesine sürekliliğin gücü denir ve bazen c olarak belirtilir . Ayrıca 2 ℵ₀ olarak da not edilir, çünkü ℝ aslında of'nin parçalarının kümesine eşdeğerdir - bu, Cantor'un başka bir teoremi ile onun sayılamazlığının daha kesin bir kanıtını sağlar:
ℵ₀ = kart (ℕ) <kart ( P (ℕ)) = kart (ℝ) = c .Cantor, kendisine kesinlikle ℵ₀ ve c arasında bir kardinalin varlığı sorusunu sordu . Süreklilik hipotezi olarak adlandırılan hipotezi , böyle bir kardinal olmadığıdır. Kardinaller konusu Cantor tarafından daha geniş bir teori olan küme teorisi ile kapsanmıştır ve bu teori artık matematiğin çoğu için temel teşkil etmektedir. İkinci yarısı kadar değildi XX inci öyle: Yüzyılın süreklilik hipotezinin sorunun cevabını bulmak için undecidable zamanki küme kuramı (içinde ZFC ). Bu, kullanılan aksiyomatik temeli değiştirmezsek, böyle bir kardinalin hem varlığını hem de yokluğunu göstermenin imkansız olduğu anlamına gelir.
Rasyonel sayılarla olağan toplama ve çarpma ile sağlanan gerçek sayılar kümesi, ℚ (rasyonel sayılar kümesi) üzerinde bir vektör uzayıdır . 1905 yılında, sigara için arama sırasında - sürekli çözeltiler için işlevsel Cauchy denklemi , Georg Hamel bir sergilenen temel vektör alanı olarak kabul ℝ arasında . Seçim aksiyomunu kabul edersek, böyle bir temelin varlığı garanti edilir . ℝ'nin Hamel tabanı sayılamaz.