Gelen Öklid geometrisi , bir çokgen (dan Yunan Polus , çok sayıda ve Goniá , açı ) a nın düz bir geometrik şekil bir meydana kırık hattı (ayrıca poligonal bir siklik dizinin anlamına gelmektedir) kapalı, arka arkaya segmentleri .
Parçalara kenarlar veya kenarlar denir ve kenarların uçlarına çokgenin köşeleri veya köşeleri denir.
Bir çokgen olduğu söylenen çapraz en az iki ardışık olmayan taraf kesiştiği ve eğer basit eğer kavşak iki tarafın boş ya da birbirini takip eden iki taraf için bir tepe azaltılır. Basit bir çokgenin açılarının toplamı ( dışbükey veya değil) yalnızca köşe sayısına bağlıdır.
Basit çokgenler söz konusu olduğunda , kapalı çokgen çizgisiyle sınırlanmış çokgen yüzeyini çağırarak çokgen ve içini sık sık karıştırırız .
Çokgen kavramı genelleştirilmiştir:
Bir çokgen oluşur:
Bir çokgen genellikle, köşeleri belirten harflerin aşağıdaki sırayla yan yana gelmesiyle gösterilir.
Bu nedenle, bir çokgenin tüm genelliğindeki tanımı A 1 A 2 A 3 ··· A n şeklinde yazılır , n köşelerinden ve n parçalarından oluşur [A 1 , A 2 ], [A 2 , A 3 ],… , [ A n –1 , A n ] ve [A n , A 1 ].
İki komşusundan farklı olan her bir köşe bir iç açı ile ilişkilidir : tepe noktasında biten iki kenar arasındaki açıdır .
Çevre , bir çokgenin yanlarının uzunluklarının toplamından oluşur.
Sipariş bir çokgenin yanlarının sayısıdır. Açıktır ki, aynı zamanda köşelerinin veya açılarının sayısıdır.
Bir çokgenin kenarlarını taşıyan çizgilere o çokgenin genişletilmiş kenarları denir .
Bir çokgenin köşegeni , ardışık olmayan iki köşeyi birleştiren, yani iki köşeyi birleştiren ve çokgenin bir kenarı olmayan bir segmenttir.
n kenarlı bir çokgenin köşegenleri vardır.
Çokgenleri sınıflandırmanın birçok yolu vardır: dışbükeyliklerine , simetrilerine , açılarına göre ... Ama önce onları kenar sayılarına göre sınıflandırıyoruz.
Çokgenler sıralarına göre kendi aralarında sınıflandırılabilir .
1. ve 2. dereceden çokgenlerin dejenere olduğu söylenir: bunlar sırasıyla bir noktaya ve bir doğru parçasına karşılık gelirler ve bu nedenle özellikle bir sıfır alana sahiptirler .
Dejenere olmayan en temel çokgen üçgendir .
Daha sonra 4. dereceden dörtgen gelir .
5. dereceden, her çokgen adı, çokgenin sırasına karşılık gelen bir Yunan kökü ve ardından -gone son ekiyle oluşturulur .
Çokgen adlandırma yolunuzu bulmak için, unutulmamalıdır -kai- araçlar "ve" içinde Yunan ve bu -conta- araçlar "on". Örneğin, kelime triacontakaiheptagon aracı üç ( triasülfüron ) on ( -conta- ) ve ( -kai- ) yedi ( -hepta- ) birimleri ve otuz yedi kenarlarının bir poligon nedenle karşılık, "ve" burada yorumlanır " daha fazla " gibi .
12 kenarın ötesinde, adet n kenarlı bir çokgenden bahsetmektir .
Bununla birlikte, "yuvarlak" sayılar için yirmi kenarlı (icosa-), yüz kenarlı (hekto-), bin kenarlı (chilio-) ve on bin kenarlı (myria-) gibi birkaç eski isim vardır.
çokgen mezheplerid'Alembert, Le Blond, L'Encyclopédie, 1. baskı. , t. Cilt 12,1751( Wikisource'da okuyun ) , s. 941-943
Ansiklopedi, eski Yunancanın numaralandırılmasının eklenmesi gereken ilkeyi verir.
Aynı ilkeler , -gone son ekini -èdre son ekiyle değiştirmenin yeterli olduğu çokyüzlüler için de geçerlidir .
Bir çokgenin en az iki kenarı kesişiyorsa , yani ardışık olmayan en az iki kenarı kesişiyorsa çaprazlanmış olduğu söylenir . Bu, böyledir ABCDE beşgen karşısında.
basit çokgenArdışık olmayan iki kenar buluşmuyorsa ve ardışık iki kenarın yalnızca bir köşesi ortaksa, bir çokgenin basit olduğu söylenir . Basit bir çokgen her zaman çaprazlanmaz.
Daha sonra , uçağın iç denilen sınırlı bir bölümünü sınırlayan bir Jordan eğrisi oluşturur . Bir alan basit çokgen olduğu adlandırılan bölge kendi iç.
Dışbükey olmayan çokgenBasit bir çokgenin içi dışbükey değilse, diğer bir deyişle köşegenlerinden biri tamamen içte değilse dışbükey değildir denir .
Örneğin, karşıt ACDBE tek beşgeni dışbükey değildir çünkü köşegenler [B, C] ve [C, E] çokgenin içinde değildir. Açık segment ] B, C [hatta tamamen dışarıda. Böyle bir "ağız"ın varlığı, dışbükey olmayan basit çokgenlerin genel bir özelliğidir.
Dışbükey PoligonBir çokgen olduğu söylenir dışbükey kendi iç ise basittir ve dışbükey . Bu nedenle, MNOPQR altıgeninin karşısındaki dışbükeydir.
Bir çokgen simetrileri düzenin N olan izometri arasında Öklid düzleminde permute onun hem n, köşe ve n, kenarları. Böyle bir afin harita , köşelerin G izobar merkezini mutlaka sabitler , bu nedenle sadece iki tip olabilir:
Herhangi bir düzlemde, Şekil simetri grubu a, alt grup arasında gruptan düzlemi izometrileri. Gerçekten de, bu simetrilerden ikisini oluşturduğumuzda veya bunlardan birinin karşılıklı teklifini aldığımızda , sonuç yine de şeklin bir simetrisidir.
Düzenin bir çokgen simetrileri N bile meydana sonlu grup bir bölen için, eşit, d ve n :
Bir çokgen düzenine n olduğu söylenir normal bu ise, eşkenar (eşit taraf) ve equiangle (eşit açı) ya da eğer simetri D grubu olup olmadığını söylemek olduğu, “mümkün olduğu kadar simetrik olarak” n . Bunun için çokgenin n simetri eksenine sahip olması yeterlidir , yoksa n mertebesinde bir dönüş . Biz derken “ emri düzenli çokgen n ”, bu “dir benzersiz ” dışbükey çokgen Bu ailenin (biz kolayca hesaplayabilir onun çevresini ve alanını ).Diğerlerinin yıldız olduğu söyleniyor .
Bazı örnekler ve karşı örneklerSimetri grubu, ancak ve ancak çokgenin bir simetri eksenine sahip olması durumunda dihedraldir. Çokgen çaprazlanmamışsa , böyle bir eksen mutlaka bir köşeden veya bir kenarın orta noktasından geçer .
Daha kesin :
n dereceli bir çokgende , izobarik merkezin bir simetri merkezi olması için - yani C d veya D d simetri grubunun π açısının dönüşünü içermesi için - d'nin çift olması gerekli ve yeterlidir , yani n eşit olmalı . Karşılıklı kenarlar daha sonra paralel ve aynı uzunluktadır.
Merkezi simetriye sahip çaprazlanmamış dörtgenler paralelkenarlardır.
Bir çokgenin tüm iç açıları eşit olduğunda eşkenar olduğu söylenir . n kenarlı bir eş bükey dışbükey çokgende , her bir iç açı (1 - 2 / n ) × 180 ° (bkz . aşağıdaki “Açıların toplamı” ).
Bazı örneklerBir dik üçgenin bir dik açısı ve iki dar açısı vardır .
En az iki dik açılı dışbükey dörtgenler, dik açılı yamuklar ve iki dik açılı uçurtmalardır (in) (hipotenüsleriyle birleştirilen iki dik açılı üçgenden oluşur).
En az üç açısı dik olan dörtgenlere dikdörtgen denir.
Bir dışbükey çokgen dörtten fazla dik açıya sahip olamaz.
Tüm köşeleri aynı daire üzerinde olduğunda bir çokgenin yazılabilir olduğu söylenir , buna çokgenin çevrelediği daire denir . Kenarları daha sonra bu dairenin dizileridir .
Yazılabilir dörtlüler arasında, ikizkenar yamukları , antiparalelogramları ve iki dik açıyla uçurtmayı buluyoruz .
Çevreleyen çokgen (daire ile)Bir çokgenin tüm kenarları aynı daireye teğet olduğunda , çokgenin içinde yazılı bir daire olarak adlandırılan bir çokgenin çevrelendiği söylenir . Anglofonlar ve Almanca konuşanlar bu tür çokgen "teğet çokgen"i vaftiz ettiler.
Dörtgenleri çevreleyen örneklerHem yazılabilir hem de sınırlandırılabilir bir çokgenin çift merkezli (in) olduğu söylenir . Üçgenler ve düzgün çokgenler çift merkezlidir.
Ayrıca bakınız: " Poncelet'in Büyük Teoremi " ve " İki Merkezli Dörtgen (in) ".
n dereceli basit bir çokgenin iç açılarının toplamı şekline bağlı değildir. Değeri ( radyan ve derece cinsinden ):
Aslında, n = 3 için iyi bilinen bu formül, çokgenin , bu çokgenin bir köşegeni olan ortak bir kenar tarafından ikiye iki bitişik n - 2 üçgenlere bölünmesiyle genelleştirilir (özel bir dışbükey çokgen durumunda, belirli bir köşeyi diğerlerine bağlayan tüm bölümleri dikkate almak yeterlidir).
Bu formülü göstermenin bir başka yolu da ( uygun şekilde yönlendirilmiş açılar için ) n dış açının toplamının 360°'ye eşit olduğunu ve aynı köşeyle ilişkili dış ve iç açıların toplamının 180° olduğunu fark etmektir .
Döndürme veya birbirinden yansıma yoluyla elde edilebiliyorlarsa, iki çokgenin eşdeğer olduğu söylenir.
Böylece için orada eşit olmayan poligonlar (devam A000940 bir OEIS ).
Bunlardan bazıları kiral ( yanlar için kiral çokgenler ). Dönüş başına eşit olmayan çokgen sayısı sadece, bu nedenle değer (devam A000939 bir OEIS ).