Karşılıklı görüntü

Gelen matematik , karşılıklı görüntü - veya öngörüntü - a kısmı B a grubu , Y bir yan harita f : X → Y, alt kümesi olup , X elemanlarından yapılmış görüntü f ait B : . Bu nedenle şu şekilde karakterize edilir: ${\ displaystyle f ^ {- 1} (B) = \ {x \ X'te \ orta f (x) \ B \}}$

{\ displaystyle x \ in f ^ {- 1} (B) \ Leftrightarrow f (x) \ B içinde}

Örnekler

Ters görüntüsü a tekil bir işlev tarafından f kümesidir öncülleri arasında , y ile f . $f ^ {{- 1}} (\ {y \})$ $\ {y \}$
F (1) = a , f (2) = c , f (3) = d ile tanımlanan f : {1, 2, 3} → { a , b , c , d } haritasını düşünün . { A , b } ' nin f tarafından ters görüntüsü f −1 ({ a , b }) = {1}' dir.

"Karşılıklı görüntü" uygulaması

Bu tanımla, f -1 "ile (karşılıklı görüntü f olan)" harita, tanım kümesi olan parça seti ve Y ucu ve resim bölümlerinin dizi X .

Dikkat : f bir eşleştirme olduğunda , bu uygulamayı , X'te Y'nin f -1 olarak da ifade edilen , f'nin ters bijeksiyonu olan parçalara karıştırmayın . Tarafından karşılıklı görüntü f ile tanımlanan doğrudan görüntü , bu karşılıklı bijection ile f -1 . Herhangi bir karışıklığı önlemek için Birkhoff ve Mac Lane , f −1 yerine f * ile gösterdikleri bir “ayarlanmış haritadan” bahseder .

Temel özellikler

Tüm taraflar için ve gelen : $B_1$ $B_2$ $Y$ $f ^ {{- 1}} \ left (B_ {1} \ cup B_ {2} \ right) = f ^ {{- 1}} (B_ {1}) \ cup f ^ {{- 1}} ( B_ {2})$ ; $f ^ {{- 1}} \ left (B_ {1} \ cap B_ {2} \ right) = f ^ {{- 1}} (B_ {1}) \ cap f ^ {{- 1}} ( B_ {2})$ ; ${\ displaystyle f ^ {- 1} \ sol (B_ {1} \ setminus B_ {2} \ sağ) = f ^ {- 1} (B_ {1}) \ setminus f ^ {- 1} (B_ {2 })}$ .
Herhangi bir parçası için bir , . B{\ displaystyle B} $B$ Y{\ displaystyle Y} $Y$ f(f-1(B))=B∩benm(f){\ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B \ cap \ mathrm {Im} (f)} ${\ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B \ cap \ mathrm {Im} (f)}$
- Özellikle de örtükse o zaman . $f$ $f (f ^ {{- 1}} (B)) = B$ Hatta , ancak ve ancak herhangi bir parçamıza sahip olduğumuzda bunun örtük olduğunu kanıtlayabiliriz . $f$ $B$ $Y$ $f (f ^ {{- 1}} (B)) = B$
Herhangi bir parçası için bir , . $AT$ $X$ $A \ altkümesi f ^ {{- 1}} (f (A))$ Diğer yönde İçerme o takdirde genellikle yanlıştır değildir birebir . $f$ Bunun sadece ve ancak herhangi bir parçasına sahip olduğumuzda enjekte edici olduğunu bile kanıtlayabiliriz . $f$ $AT$ $X$ $f ^ {{- 1}} (f (A)) = A$
Aşağıdakilerin boş olmayan herhangi bir parça ailesi için : ${\ displaystyle \ sol (B_ {i} \ sağ) _ {i \ I’de}}$ $Y$ $f ^ {{- 1}} \ left (\ bigcap _ {{i \ in I}} B_ {i} \ right) = \ bigcap _ {{i \ in I}} f ^ {{- 1}} ( Bi})$ ; $f ^ {{- 1}} \ left (\ bigcup _ {{i \ in I}} B_ {i} \ right) = \ bigcup _ {{i \ in I}} f ^ {{- 1}} ( Bi})$ .
Daha fazla olan bir uygulama göz önüne alındığında , daha sonra bir kısmının ters görüntüsü arasında kompozit bir: ${\ displaystyle g: Y \ rightarrow Z}$ $VS$ $Z$ $g \ circ f$ $(g \ circ f) ^ {{- 1}} \ left (C \ right) = f ^ {{- 1}} (g ^ {{- 1}} (C)).$

Notlar ve referanslar

Saunders Mac Lane ve Garrett Birkhoff , Algebra [ basımların ayrıntıları ], uçuş. 1, s. 8 .
Bir gösteri için, örneğin Wikiversity'deki ilgili alıştırmanın cevabına bakınız .

İlgili Makaleler

Karşılıklı ikili ilişki
Diferansiyel geometride karşılıklı görüntü işlemi , "geri çekme" veya "geri çekme" olarak da adlandırılır.