Singleton (matematik)

In matematik , bir tekil bir olan dizi içerir tam olarak bir eleman . Kimin eleman tekil olan $bir$ yazılır . ${\ displaystyle \ sol \ {a \ sağ \}}$

Biçimsel tanımlar

Bir gösterge işlevi ile

$S$ , gösterge işlevi tarafından tanımlanan bir sınıf olsun

{\ displaystyle b: X \ - \ {0,1 \}.}

o zaman $S$ bir tekildir, ancak ve ancak $y \in X$ varsa, öyle ki tüm $x \in X için$ ,

{\ displaystyle b (x) = (x = y).}

In Principia Mathematica

Aşağıdaki tanım Alfred North Whitehead ve Russell'dan alınmıştır.

{\ displaystyle \ iota 'x = {\ hat {y}} (y ​​= x) \ mathbf {Df}.}

Sembol $ι'x$ Singleton belirtmektedir ${ x }$ ve özdeş nesnelerin sınıfını $x$ kümesi demek, ${$ $y$ $/$ $y = x$ $}$ . ${\ displaystyle {\ şapka {y}} (y = x)}$

Girişte bir tanım olarak görünür ve daha sonra Önerme 51.01'de (s.357 aynı eserde) döndüğünde ana metindeki argümanı basitleştirir. Bu önerme, kardinal 1'i şu şekilde tanımlamak için yeniden kullanılır:

{\ displaystyle 1 = {\ hat {\ alpha}} ((\ x var) \ alpha = \ iota 'x) \ mathbf {Df}.}

Yani, 1 tekli sınıftır. Bu tanım 52.01'dir (s. 363 a.g.e.)

Örnekler

${π}$ , elemanı $π$ sayısı olan $tekildir$ .
${2.87}$ olan elemandır tekil olan ondalık sayı 2.87 (bu ayırt edilir çifti arasında bir tamsayı $, {2 87}$ bir içermektedir, boşluk virgülden sonra biz önlemek karışıklığa bir noktalı virgül kullanabilirsiniz).
${cos}$ , öğesi $cos$ işlevi olan $tekildir$ .
${( a , b )}$ , elemanı $($ $a$ $,$ $b$ $)$ çifti olan tekildir .
${{1}}$ , öğesi tekil olan tek kişidir ${1}$ .
${\emptyset} = {{}}$ , öğesi boş küme $\emptyset = {} olan tekildir$ .
${ A , a , a }$ kümesi tekli ${ a } 'dir$ (bkz. " Uzantıda tanımlanmış küme ").

Özellikleri

Bir $x$ elemanı, ancak ve ancak bu tekliğin elemanına eşitse, bir singleton'a aittir :

{\ displaystyle x \ in \ {a \} \ Leftrightarrow x = a}

Küme teorisinde , tüm $a$ için bir tektonun ${ a }$ varlığı , çift aksiyomu ile doğrulanır .
İki singletons olan eşit ise ve ilgili elemanlar eşit yalnızca:

{\ displaystyle \ {a \} = \ {b \} \ Leftrightarrow a = b}

İki singletons ${ a }$ ve ${ b }$ olan ayrık , ancak ve ancak, ilgili elemanların, eğer $bir$ ve $b$ ayrık singletons farklı singletons olan demek anlamına gelir farklıdır:

{\ displaystyle \ {a \} \ cap \ {b \} = \ emptyset \ Leftrightarrow a \ neq b \ Leftrightarrow \ {a \} \ neq \ {b \}.}

Ana bir tekil ait $1$ :

{\ displaystyle \ mathrm {kart} (\ {a \}) = 1.}

Kartezyen ürün arasında herhangi ailesinin tekil bir tekil olduğunu. Örneğin: . ${\ displaystyle \ {a \} \ times \ {b \} = \ {(a, b) \}}$
Herhangi bir E grubu için :
- Herhangi singleton için ${ a }$ , orada sadece bir tanesidir haritası ait $E$ yılında ${ a }$ tekrar ya: set ${ a } E$ haritaların arasında $E$ de ${ a }$ tek;
- seti $E \emptyset$ ait $haritalar$ boş kümesinin $E$ bir tekil olduğunu.

Olası kafa karışıklığı

Eğer $x$ bir gerçek sayı ise , ${ x }$ onun kesirli kısmını da gösterebilir .
Gelen katı mekaniği , torsörlerin ayraçları arasına belirtilmiştir. Bu durumda, bir atar statik torsor , olup elemanı ihtiva eden tekil . Benzer şekilde, bu bağlamda, ${0}$ sıfır tekli değil, boş torsörü belirtir. ${\ displaystyle \ {{\ mathcal {T}} \}}$ ${\ mathcal {T}}$

Referanslar

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen alınır İngilizce Vikipedi başlıklı makalesinde " Singleton (matematik) " ( yazarların listesini görmek ) .

Alfred North Whitehead ve Bertrand Russell, Principia Mathematica , cilt. Uçuş. BEN,1910, s. 37

Dış bağlantı

(tr) Eric W. Weisstein , " Singleton Set " , MathWorld'de