Gelen matematik , bir bir kök polinom P ( X ) olan bir değer α şekilde P (α) Bu nedenle, bir çözüm 0'a = polinom P ( x ) = bilinmeyen 0 x , yine, veya sıfır arasında ilişkili polinom fonksiyonu . Örneğin, X 2 - X'in kökleri 0 ve 1'dir.
Belirli bir alanda katsayıları olan sıfır olmayan bir polinomun kökleri yalnızca "daha büyük" bir alanda olabilir ve hiçbir zaman derecesinden fazlasına sahip olamaz. Örneğin , 2. derece ve rasyonel katsayıları olan X 2 - 2'nin rasyonel kökü yoktur, ancak ℝ'da iki kökü vardır (dolayısıyla ℂ'da da ) DAlembert-Gauss teoremi karmaşık derece katsayılı bir polinom gösterir , n kabul ediyor n kompleks kökleri (mutlaka farklı).
"Kök" kavramı, "sıfır" adı altında, belirsiz birkaç polinom için genelleştirilmiştir .
Burada katsayıları bir alanda veya daha genel olarak bir değişmeli halka A (bu nedenle katsayılar bir alt halkaya ait olabilir ) ile burada X not edilen belirsiz bir P ( X ) polinomunu ele alıyoruz .
Kök Tanımı - bir kök A polinom P unsuru α olan bir eğer bir yerine geçer belirsiz şekilde X değeri α, tek bir sıfır ifade elde A .
Bu nedenle, katsayıları in (dolayısıyla ℝ veya ℂ) olan X 2 - 2 polinomunun ℚ 'da kökü yoktur , ancak ℝ' de ikiye sahiptir ( √ 2 ve - √ 2 ), dolayısıyla in 'de de. Biz yerine Gerçekten de, √ 2 ya da - √ 2 için X polinom olarak, 0 bulabilirsiniz.
Etimoloji : Kök terimi , Robert de Chester ve Gérard de Cremona'nın gizr teriminin Latince çevirilerinden gelir . Gizr kelimesi "kök" anlamına gelir ve Latince'ye radix olarak çevrilir . Vadeli gizr ait matematikçi Pers kökenli tarafından kullanılan VIII inci yüzyıl Harizmi onun risâlede Kitab el-Cebr ve'l-muqabala kapsamlı bir şekilde, kuadratik denklemin reel kökleri hesaplanmasında ilk defa uğraşan.
Eşdeğer tanımı - bir kök A polinom P unsuru α olan bir şekilde p ( X ) olan bölünebilir göre X (in a - A [ X ]).
Nitekim, eğer P ( X ) = ( X - α) Q ( X ) ise P (α) = 0 ve tam tersi, eğer P (α) = 0 ise P ( X ) eşittir P ( X ) - P ( α), hepsi X - α ile bölünebilen X k - α k formundaki polinomların doğrusal kombinasyonu .
Seçilen örnekte eşitlik:
√ 2 ve - √ 2'nin aslında polinomun iki kökü olduğunu fark etmenin başka bir yoludur .
Polinom X - α'nın üniter olması, A'nın bütünleştiğini varsaymadan , aşağıdaki kavramları tanımlamaya izin verir :
Çokluk sırası, tek kök, çoklu kök - P sıfır değilse , A'nın herhangi bir α öğesi için :
Polinom X 2 - 2 ayrılabilir , yani birden fazla kökü yoktur. Dahası, aşağıdaki anlamda ℝ'ye bölünmüştür:
Bölünmüş polinom - Eğer P , değişmeli bir L'de katsayıları olan birinci derece polinomlarda üretilirse , polinom P'nin L'ye bölündüğünü söyleriz .
Bu durumda P sıfır değildir ve baskın katsayısı, bu birinci derece polinomların baskın katsayılarının ürünüdür. Daha genel olarak, sıfır olmayan bir L [ X ] polinomunun, birinci dereceden üniter polinomların bir sabit ve bir çarpımı (muhtemelen boş ) olması durumunda L'ye bölündüğünü söylüyoruz . Böyle bir ayrışma, eşsizdir: birinci derecede, bu yekpare polinom birinin her bir sabit terimi bir kök tersine eşittir P içinde L ve bu kök düzeninin ise m , bu faktör tekrarlanır m kez. Bu faktörlerin sayısı P derecesine eşittir .
Tek dereceli herhangi bir gerçek polinom denklemi en az bir gerçek çözümü kabul eder.
Ara değerler teoreminin bir uygulamasıdır .
Let K saha ve olmayacak P süresiz ile ve de katsayılı bir polinom K .
Bir uzantı arasında K içeren bir alanı K ; dolayısıyla, ℝ ve ℂ, ℚ'nin uzantılarıdır.
Doğal bir soru durumunda, ortaya çıkan L 1 ve L 2 , iki uzantısı olan K üzerinde P bölünmüş olan, köklerdir, unsurları olarak görülen L 1 unsurları olarak görülen köklerine, "eşdeğer" L 2 ? Bu eşdeğerlik vardır: L 1'de , P'nin tüm köklerini içeren ve aynı şekilde L 2'de de P'nin ayrışma alanı adı verilen "daha küçük" bir alt uzantı vardır ve K'nin bu iki alt uzantısı aynıdır. Örnekte K = ℚ, p = X 2 - 2 bu ayrıştırma alanı formu sayı dizisidir a + b √ 2 , bir ve b rasyonel sayılardır. Bu küme ( benzersiz olmayan bir izomorfizm ile ) benzersiz bir alt alan ℝ ve cebirsel sayıların ℚ alanı ile tanımlanır . Bu nedenle, çift köklerinin { √ 2 - √ 2 ℝ dahil} dahil edilen ile aynı olarak kabul edilebilir ℚ .
Varlığı kökleri - daha küçük bir uzantı vardır L arasında K , bir isomorphism için olduğu gibi, P üzerinde bölünmüş olan L . Uzantısı L adlandırılır bölme alanı arasında P ile K .
L alanı , polinom P'nin bölüneceği şekildedir; Bununla birlikte, katsayıları K'de olan başka bir polinom L'ye bölünmek zorunda değildir . Daha ziyade, katsayılı bir polinom L mutlaka bölünmüş değildir L ya da . L'deki her polinom katsayıları L' ye bölünmüşse, bir L cismi cebirsel olarak kapatılır derler .
Bir cebirsel kapanması Varlığı - küçük söz konusudur cebirsel kapalı uzantısı ait K , isomorphism için benzersiz kadar. Uzatma L denir cebirsel kapanış ait K .
ℂ alanı cebirsel olarak kapalıdır, bu , d'Alembert-Gauss teoremi adı altında bilinen bir sonuçtur . ℝ'nin cebirsel kapanışı ℂ'dir. Bu, ℚ alt alanıdır .
Teoremi - Let bir değişmeli halkası, P katsayılı bir polinom A ve bir kök dizi α m arasında P . Yani :
Hipoteze göre, P ( X ), m > 0 ve Q (α) ≠ 0 ile ( X - α) m Q ( X ) formundadır. Türev ederek , P ' ( X ) = ( X - α) m elde ederiz. –1 R ( X ), R ( X ) = mQ ( X ) + ( X - α) Q ' ( X ) ile R (α) = mQ (α), bu da ilk noktayı kanıtlıyor. Diğer ikisi tekrarlama ile çıkarılır .
Diğer bir yöntem de resmi türevler için de geçerli olan Leibniz kuralını kullanmaktır .
Özellikle :
Karakteristik p > 0 olan bir alanda , bu son kriter geçerli değildir çünkü X p'den türetilen polinom sıfırdır.
Bir polinomun köklerini hesaplamak için Muller'in yöntemini kullanabiliriz . Biz polinom arasına sokmak P derece iki bir polinom ile: göre Lagrange interpolasyon . Katsayıları P'yi üç noktada ( ) değerlendirerek buluruz :
ile:
Ancak bu yaklaşım polinomunu kullanarak, bu polinomun kökünün seçimi sorunludur. Müller daha sonra aynı polinomu kullanmak fikri yoktu, ama formda: ile hangi köke doğru eğiliminde olacaktır. Bu algoritmanın özelliği: karmaşık bir sayı olabilir. Katsayılar:
Bu yöntem otomatik yakınsamadır: kökün hesaplanması yavaş yavaş geliştirilecektir. Bu nedenle başlayabilir , ve ve . Polinom kaybolmadığı sürece , bir sonraki yinelemeye şu şekilde gideriz :
Son olarak, sıfır
Tamsayı katsayılı bir polinomun tüm kökleri gecif.net'te
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">