Bateman denklemi
Olarak nükleer fizik , Bateman denklemi a bolluklarını ve etkinliklerini tarif eden bir matematiksel modeldir bozunma zincirinden bozunma hızı ve ilk miktarlara göre, zamanın bir fonksiyonu olarak.
Eğer, t anında , izotopun hızda bozunan atomları varsa, bu izotopların bozunma zincirinin k-inci adımındaki miktarları şu şekilde gelişir:
DEĞİLben(t){\ displaystyle N_ {i} (t)}
ben{\ displaystyle i}
ben+1{\ displaystyle i + 1}
λben{\ displaystyle \ lambda _ {i}}![\ lambda _ {i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72fde940918edf84caf3d406cc7d31949166820f)
dDEĞİL1(t)dt=-λ1DEĞİL1(t){\ displaystyle {\ frac {dN_ {1} (t)} {dt}} = - \ lambda _ {1} N_ {1} (t)}
dDEĞİLben(t)dt=-λbenDEĞİLben(t)+λben-1DEĞİLben-1(t){\ displaystyle {\ frac {dN_ {i} (t)} {dt}} = - \ lambda _ {i} N_ {i} (t) + \ lambda _ {i-1} N_ {i-1} ( t)}
dDEĞİLk(t)dt=λk-1DEĞİLk-1(t){\ displaystyle {\ frac {dN_ {k} (t)} {dt}} = \ lambda _ {k-1} N_ {k-1} (t)}
(bu, dal hatlarını barındıracak şekilde uyarlanabilir). Bu açıkça çözülebilmesine rağmen , formüller daha uzun dizeler için hızla hantal hale gelir.
ben=2{\ displaystyle i = 2}![i = 2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd4e89f84cbdca577f73238abfb2fa18119c6eca)
Harry Bateman , bu değişkenlerin Laplace dönüşümünü alarak nicelikler için genel bir açık formül buldu .
DEĞİLdeğil(t)=∑ben=1değil[DEĞİLben(0)×(∏j=bendeğil-1λj)×(∑j=bendeğil(e-λjt∏p=ben,p≠jdeğil(λp-λj)))]{\ displaystyle N_ {n} (t) = \ toplam _ {i = 1} ^ {n} \ sol [N_ {i} (0) \ times \ left (\ prod _ {j = i} ^ {n- 1} \ lambda _ {j} \ sağ) \ times \ left (\ sum _ {j = i} ^ {n} \ left ({\ frac {e ^ {- \ lambda _ {j} t}} {\ prod _ {p = i, p \ neq j} ^ {n} (\ lambda _ {p} - \ lambda _ {j})}} \ sağ) \ sağ) \ sağ]}![{\ displaystyle N_ {n} (t) = \ toplam _ {i = 1} ^ {n} \ sol [N_ {i} (0) \ times \ left (\ prod _ {j = i} ^ {n- 1} \ lambda _ {j} \ sağ) \ times \ left (\ sum _ {j = i} ^ {n} \ left ({\ frac {e ^ {- \ lambda _ {j} t}} {\ prod _ {p = i, p \ neq j} ^ {n} (\ lambda _ {p} - \ lambda _ {j})}} \ sağ) \ sağ) \ sağ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90ffcaa35afc24978f9039c036b4e77933c8ff72)
(İzotopun daha fazla atomu dışarıdan sabit bir oranda sağlanırsa , onu kaynak terimlerle genişletmek mümkündür ).
ben{\ displaystyle i}![ben](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20)
Bateman'ın formülü bilgisayar kodunda kolayca uygulanabilirken, bazı izotop çiftleri için iptal, hesaplama hatalarına yol açabilir. Bu nedenle, sayısal entegrasyon veya üstel matris yöntemi gibi diğer yöntemler de kullanılır.
λp≈λj{\ displaystyle \ lambda _ {p} \ yaklaşık \ lambda _ {j}}![{\ displaystyle \ lambda _ {p} \ yaklaşık \ lambda _ {j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eb17a88a0c00ac0989526d188d31d5484d44321)
Ayrıca görün
Referanslar
-
(in) Harry Bateman , " Radyo-Aktif Dönüşümler Teorisinde Meydana Gelen Diferansiyel Denklemler Sisteminin Çözümü " , Proc. Camb. Phil. Soc. , cilt. 16,1910, s. 423 ( çevrimiçi okuyun )
-
(inç) " Radyoaktif bozunma ve Bateman denklemi " ,19 Ocak 2011(erişim tarihi 11 Mayıs 2016 ) , s. 24
-
(in) " Radyoaktif Bozunma Zincirleri " üzerine nucleonica.com
-
(in) Logan J. Harr , " Karmaşık Radyoaktif Bozunma Zincirlerinin Hassas Hesaplanması " , Yüksek Lisans tezi Hava Kuvvetleri Teknoloji Enstitüsü ,2007( çevrimiçi okuyun , 11 Mayıs 2016'da danışıldı )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">