Schröder denklemi

Schröder denklemi tek değişkenli fonksiyonel denklemi, O matematikçi adını taşımaktadır olan Ernst Schröder .

Bir fonksiyon olsun h ve sabit s , öyle ki s ≠ 0 ve s ≠ 1, işlevi bulmak f şekildedir:

f(h(x))=sf(x){\ displaystyle f (h (x)) = sf (x)}

{\ displaystyle f (h (x)) = sf (x)}

Schröder denklemi, bir f fonksiyonunu f • h kompozit fonksiyonu ile ilişkilendiren bileşim operatörü C h'nin özdeğerinin denklemidir . Fonksiyonel denklemler alanında temel bir rol oynar: basit bir doğrusal denklemdir ve çözümleri genellikle daha karmaşık denklemlere çözümlerin yapımında kullanılır. Fonksiyonel karekökleri hesaplamak için kullanılabilir .

Çözümler

Başvurular

Fonksiyonel denklemlerin doğrusallaştırılması

Formun doğrusal bir fonksiyonel denklemi olsun:

f(g(x))=h(x)f(x)+F(x){\ displaystyle f (g (x)) = h (x) f (x) + F (x)}

{\ displaystyle f (g (x)) = h (x) f (x) + F (x)}

burada f : I → I bilinmiyor, g , h , F biliniyor ve g ( I ) I'de yer alıyor .

Fonksiyonu ise σ fonksiyonu Schröder denkleminin çözüm g ve sabit s , değişkenin o değişikliği:

{y=σ(x)f¯(y)=f(x){\ displaystyle {\ begin {case} y = \ sigma (x) \\ {\ bar {f}} (y) = f (x) \ end {case}}}

{\ displaystyle {\ begin {case} y = \ sigma (x) \\ {\ bar {f}} (y) = f (x) \ end {case}}}

çözülmesi daha kolay olan aşağıdaki denkleme yol açar:

f¯(sy)=h¯(y)f¯(y)+F¯(y){\ displaystyle {\ bar {f}} (sy) = {\ bar {h}} (y) {\ bar {f}} (y) + {\ bar {F}} (y)} ${\ displaystyle {\ bar {f}} (sy) = {\ bar {h}} (y) {\ bar {f}} (y) + {\ bar {F}} (y)}$ İle . ${\ displaystyle {\ çubuğu {h}} (y) = h (\ sigma ^ {- 1} (y)), \; {\ çubuğu {F}} (y) = F (\ sigma ^ {- 1} (y))}$

Diğer fonksiyonel denklemlerle ilişki

Schröder denklemi , aşağıdaki formdaki eşlenik denklemler ailesine ( "eşlenik denklemler" ) aittir :

f(h(x))=H(f(x)){\ displaystyle f (h (x)) = H (f (x))}

{\ displaystyle f (h (x)) = H (f (x))}

Abel ve Böttcher'in denklemleriyle aynı şekilde .

Ayrıca görün

Referanslar

(de) Schröder, Ernst, " Ueber iterirte Functionen " , Math. Ann , n o 3 (2)1870, s. 296–322 (doi: 10.1007 / BF01443992)
(en) Efthimiou, Costas, Fonksiyonel Denklemlere Giriş. ,2010( çevrimiçi okuyun ) , sayfa 247