Denklem xʸ = yˣ

Genel olarak, üs alma değişmeli değildir . Ancak, denklem aşağıdaki gibi özel durumlarda geçerlidir: ${\ görüntü stili x ^ {y} = y ^ {x}}$ ${\ görüntü stili x = 2, y = 4.}$

Tarih

Denklemi gelen bir mektupta belirtilen Bernoulli için Goldbach ( ${\ görüntü stili x ^ {y} = y ^ {x}}$ 29 Haziran 1728). Mektup ile olduğu iddiasını içeren tek çözümlerin doğal sayılar vardır ve içinde çözümler bir sonsuzluk var olmasına rağmen rasyonel sayılar . Goldbach'ın yanıtı ( ${\ görüntü stili x \ neq y,}$ $(2.4)$ ${\ görüntü stili (4,2),}$ 31 Ocak 1729) yerine konulması ile elde edilen denklemin genel bir çözümünü içerir . Benzer bir çözüm Euler tarafından bulundu . ${\ görüntü stili y = vx}$

J. van Hengel , pozitif tamsayılar ise o zaman olasılıkları göz önünde bulundurmanın ve tamsayı çözümleri bulmak için yeterli olduğunun altını çizdi . ${\ görüntü stili r, n}$ ${\ displaystyle r \ geq 3}$ ${\ displaystyle r ^ {r + n}> (r + n) ^ {r};}$ $x = 1$ $x = 2$

Sorun bir dizi yayında ele alındı. 1960 yılında, denklem, A. Hausner'ı sonuçları cebirsel sayıların alanlarına genişletmeye teşvik eden William Lowell Putnam Yarışması'nın soruları arasındaydı .

Olumlu gerçek çözümler

Pozitif reel sayılarda sonsuz önemsiz çözümler kümesi ile verilir . $x = y$

Önemsiz çözümler, varsayarak ve poz vererek bulunabilir . Yani, $x \ ne y$ ${\ görüntü stili y = vx}$

{\ görüntü stili (vx) ^ {x} = x ^ {vx} = (x ^ {v}) ^ {x}.}

Her iki tarafı da güce yükselterek ve bölerek , ${\ görüntü stili {\ tfrac {1} {x}}}$ $x$

{\ displaystyle v = x ^ {v-1}.}

Pozitif reel sayılarda önemsiz olmayan çözümler

{\ displaystyle x = v ^ {\ frac {1} {v-1}},}

{\ displaystyle y = v ^ {\ frac {v} {v-1}}.}

İle veya önemsiz olmayan tüm çözümleri üretir . ${\ görüntü stili v = 2}$ ${\ displaystyle v = {\ tfrac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle 4 ^ {2} = 2 ^ {4}}$

Önemsiz ve önemsiz olmayan çözümler kesiştiğinde . Yukarıdaki denklemler doğrudan değerlendirilemez, ancak limitini alabiliriz . Bu, ile değiştirilerek yapılır , böylece $v = 1$ ${\ displaystyle v \ ila 1}$ ${\ görüntü stili v = 1 + 1 / n}$ $n \ ila \ elli$

{\ displaystyle x = \ lim _ {v \ to 1} v ^ {\ frac {1} {v-1}} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ sol (1 + {\ frac {1} {n}} \ sağ) ^ {n} = e.}

Yani $x = y = e$ olduğunda doğru ve eğri kesişir .

Referanslar

(tr) Bu makale kısmen veya tamamen Wikipedia makalesinden alınmıştır İngilizce başlıklı " Denklem x = y " ( yazarların listesini görmek ) .

" 21. Putnam 1960. Problem B1 " [ arşivi30 Mart 2008] ,20 Ekim 1999.
(in) Alvin Hausner, " Cebirsel sayı alanları ve Diophant denklemi m n = n m " , American Mathematical Monthly , cilt. 68, n o 9,Kasım 1961, s. 856-861 ( JSTOR 2311682 ).

Leonard Eugene Dickson , Sayılar Teorisinin Tarihi , cilt. II, Washington,1920, 687 s. ( çevrimiçi okuyun ) , "x y = y x'in rasyonel çözümleri "

David Singmaster , “Rekreasyonel Matematikte Kaynaklar: Açıklamalı Bir Bibliyografya. 8. ön baskı" (16 Nisan 2004 tarihli İnternet Arşivindeki versiyon )

Marta Sved , “ x y = y x'in Rasyonel Çözümleri Üzerine ”, Mathematics Magazine ,1990( çevrimiçi oku [ arşivi4 Mart 2016] )

(tr) AM Gleason , RE Greenwood, LM Kelly (yirmi birinci William Lowell Putnam matematik yarışması (3 Aralık 1960), öğleden sonra oturumu, problem 1), William Lowell Putnam matematiksel rekabet problemleri ve çözümleri: 1938-1964 , Yeni York, MAA ,1980, 59 s. ( ISBN 0-88385-428-7 , çevrimiçi okuyun )

(de) Johann van Hengel , “ Beweis des Satzes, dass unter allen reellen pozitif ganzen Zahlen nur das Zahlenpaar 4 und 2 für a und b der Gleichung a b = b bir genügt ” , Bericht : über d. Schuljahr ... / Königliches Gymnasium zu Emmerich (1876) ,1888, s. 9-12 ( çevrimiçi okuyun )

(tr) Lajos Lóczi, “ Değişmeli ve birleştirici güçler hakkında ” [ arşiv du15 Ekim 2002] , KöMaL (in) ,ocak 2000çevirisi: (hu) Lajos Lóczi , “ Mikor kommutatív, illetve asszociatív a hatványozás? " [ Arşiv6 Mayıs 2016] , komal.hu'da (tr) ,ocak 2000

Dış bağlantılar

" x ^ y = y ^ x için Rasyonel Çözümler " , CTK Wiki Math , on CTK Wiki Math
" X ^ y = y ^ x - gidip gelme güçleri " [ arşivi28 Aralık 2015] , Aritmetik ve Analitik Bulmacalar , Aritmetik ve Analitik Bulmacalar üzerine , Torsten Sillke