mantıksal denklik
Gelen Klasik Mantık , iki önermeler P ve Q denir mantıksal olarak eşdeğer veya basitçe eşdeğer bunu anlamak mümkün olduğunda Q dan P ve anlamak P den Q . Olarak hesaplanması önermeler , söyleyerek bu miktarlar P ve Q aynı olması gerçeği değeri : P ve Q, her ikisinin de doğru ya da her ikisi yanlış. Mantıksal eşdeğerlik genellikle eğer ve ancak şeklinde ifade edilir, eğer iki önermeyi birbirine bağlayan mantıksal bağlayıcıdan değil, mantığın özelliklerinden bahsetmek için öğretim veya metamatematik gibi çerçevelerde .
Önermeler arasındaki mantıksal eşdeğerlik ilişkisi, (çok genel olarak, hem klasik mantıkta hem de örneğin sezgici mantıkta ) l' imasının P ⇒ Q birleşimi olarak tanımlanabilen (çok genel olarak, ⇔ veya ↔ olarak belirtilen) eşdeğerlik bağlayıcısıyla yakından bağlantılıdır. (“ Q ise P ”) ve karşılıklı Q ⇒ P ( Q sadece P ise ), yani (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P).
Bu onaylama işlemi P ⇔ S demek anlamına gelir P ve Q, eşdeğerdir. Aksi belirtilmedikçe (klasik mantıkta), P ⇔ Q önermesi , P ve Q mantıksal olarak eşdeğer olduğunda ve sadece bu durumda "doğru" değerini alır . Mantıkta, eşdeğerlik bağıntısı bazen ≡ olarak belirtilir (⇔ veya ↔ notasyonu bağlayıcı için ayrılmıştır).
Elektronikte, buna benzer bir işleve AND kapsayıcı adı verilir ; ikincisi "⊙" işareti ile sembolize edilir.
Matematik dilinde denklik
Matematik metinlerinde, iki önermenin P ve Q'nun eşdeğer olduğunu şu şekilde ifade ederiz :
- P ancak ve ancak Q ise (bazen P iff Q olarak kısaltılır );
- İçin P , gerekli ve yeterli olduğu S ;
- Bir gerekli ve yeterli koşul için (CNS) P olan S ;
- P , Q için gerekli ve yeterli bir koşuldur ;
- P , Q'ya eşittir .
önermeler hesabı
Yalnızca iki doğruluk değerine sahip olan klasik mantıkta eşdeğerlik bağlacının doğruluk tablosu şöyledir:
| P | S | P ⇔ Q |
|---|---|---|
| Doğru | Doğru | Doğru |
| Doğru | Yanlış | Yanlış |
| Yanlış | Doğru | Yanlış |
| Yanlış | Yanlış | Doğru |
P ⇔ Q önermesi şuna eşdeğerdir:
- ( P ⇒ Q ) ∧ ( Q ⇒ P ) (( P , Q anlamına gelir ) ve ( Q , P anlamına gelir ));
- ( P ⇒ Q ) ∧ (¬ P ⇒ ¬ Q ) (( P , Q anlamına gelir ) ve tersi ( Q , P anlamına gelir ));
- ¬ P ⇔ ¬ Q (karşıt eşdeğerlik);
- ( P ∧ Q ) ∨ (¬ Q ∧ ¬ P ) (( P ve Q ) veya ( P değil ve Q değil )).
Özellikleri
Aşağıda ≡ olarak belirtilen mantıksal denklik bağıntısı, bir denklik bağıntısıdır , yani:
- P ≡ P (eşdeğerlik bağıntısı dönüşlüdür );
- Eğer p ≡ Q , daha sonra S ≡ P (denklik ilişkidir simetrik );
- Eğer p ≡ Q ve Q ≡ R , o zaman P ≡ R (denklik ilişkidir geçişli ).
Bu denklik ilişkisi mantıksal bağlaçlarla uyumludur. Klasik mantığa ek olarak:
- ¬¬P ≡ P.
- Sıfır olmayan tüm gerçek x ve y için , elimizde
- Denklik ( x = y ⇔ x 2 = y 2 ) ( kareyi artırarak) tüm gerçek x ve y için doğru değildir : örneğin 2 2 = (–2) 2 2 = –2 anlamına gelmez.
- Tüm gerçek x pozitif ve y için aşağıdaki denklik doğrudur (kareyi yükselterek)Kare alarak, karekökten büyük ve pozitif olması gereken bilgiyi kaybederiz ve denklik olması için özelliği eklememiz gerekir .
P ⇔ Q denkliğini göstermek için , P ⇒ Q sonucunu ve bunun tersini Q ⇒ P kanıtlayabiliriz .
Birkaç önerme arasındaki denklik
Üç önerme P , Q ve R'dir .
P ⇔ Q , Q ⇔ R ve P ⇔ R 3 denkliğini kanıtlamak için bunlardan 2 tanesini kanıtlamak yeterlidir, yoksa 3 çıkarımı kanıtlamak yeterlidir:
P ⇒ Q , Q ⇒ R ve R ⇒ P .Gösteri:
Let etkileri P ⇒ Q , Q ⇒ R ve R ' ⇒ p, ofisler.
Kaynaktan S ⇒ R ve R, ⇒ P biz anlamak S ⇒ P .
Kaynaktan R ⇒ P ve P ⇒ Q biz anlamak R ⇒ Q .
Kaynaktan P ⇒ Q ve Q ⇒ R biz anlamak P ⇒ R.
P 1 , P 2 ,…, P n n önermesine genelleyebiliriz : bu önermelerin eşdeğer olduğunu kanıtlamak için çıkarımları kanıtlamak yeterlidir
P 1 ⇒ P 2 , P 2 ⇒ P 3 … P n-1 ⇒ P n ve P n ⇒ P 1 .Yaygın formülasyon örnekleri
İki önermeyi düşünün ve .
- Bunun gerekli bir koşul olduğunu söylüyoruz ve eğer elimizde "öyle ki , öyle olmalı" şeklinde tercüme edilebilirsek .
- Biz söylemek için yeterli bir durumdur biz varsa ve "böylece olarak tercüme edilebilir , bu yeterli ".
- Bunun gerekli ve yeterli bir koşul olduğunu söylüyoruz ve eğer sahipsek ve "öyle ki , bu gerekli ve yeterli " olarak tercüme edilebilir . Bu , şuna eşdeğerdir ve not edilir demekle aynı anlama gelir . Böylece eşdeğerliğin değişebilirliği ile bunun için gerekli ve yeterli bir koşul olduğunu da söyleyebiliriz .
