Parseval eşitliği

Eşitlik Parseval bazen denilen Parseval'ın teoremi veya ilişki Parseval teorisinin temel formülüdür Fourier serilerinin . Bunu Fransız matematikçi Marc-Antoine Parseval des Chênes'e ( 1755 - 1836 ) borçluyuz .

Ayrıca anılır gelen Rayleigh Kimlik olarak fizikçi adı John William Strutt Rayleigh , kazanılan 1904 Nobel Fizik Ödülü .

Bu formül, Hilbert uzaylarındaki seriler için Pisagor teoreminin bir genellemesi olarak yorumlanabilir .

Birçok fiziksel uygulamada (örneğin elektrik akımı), bu formül şu şekilde yorumlanabilir: Toplam enerji, farklı harmoniklerin katkıları eklenerek elde edilir .

Bir sinyalin toplam enerjisi seçilen gösterime bağlı değildir: frekans veya zaman.

E = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | x (t) | ^ 2 ~ \ mathrm dt = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | X (f) | ^ 2 ~ \ mathrm df.

Bessel eşitsizliği

Aşağıdaki teorem ayrıntılı makalede gösterilmektedir.

Olalım bir an ortonormal aile prehilbertian alanı . ${\ displaystyle \ sol (e_ {i} \ sağ) _ {i \ I’de}}$ $H$

Herhangi bir vektör için , Bessel eşitsizliği aşağıdaki ailenin ve üst sınırın toplanabilirliğini ileri sürer : ${\ displaystyle x \ H'de}$ ${\ displaystyle \ toplamı _ {i \ in I} \ sol | \ langle e_ {i} | x \ rangle \ sağ | ^ {2} \ leq \ | x \ | ^ {2}}$ ,Bu, sıfır olmayan terimler kümesinin en fazla sayılabilir olduğu ve mutlak yakınsak bir dizi oluşturduğu ve toplamı arttığı anlamına gelir . ${\ displaystyle \ | x \ | ^ {2}}$
Eğer ve eğer sadece içindedir yapışma ailesi tarafından üretilen vektör alanı , daha sonra üst bağlanmış "Parseval eşitliği" adlı bir eşitlik vardır. Bu nedenle, aile, ancak ve ancak herhangi bir vektör için eşitliğin geçerli olup olmadığının bir Hilbert temelidir . $x$ ${\ displaystyle \ sol (e_ {i} \ sağ) _ {i \ I’de}}$ $H$ ${\ displaystyle x \ H'de}$

Fourier serileri için formül

Izin vermek bir süre T -periyodik ve kare integrallenebilir bir fonksiyon olsun (bu nedenle, özellikle T- periyodik ve parçalar halinde sürekli ) için geçerlidir. Fourier katsayılarını tanımlıyoruz : $f$ $f$

{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ operatöradı {e} ^ {- \ mathrm {i} n {\ frac {2 \ pi} {T}} t} ~ \ mathrm {d} t}

Parseval'in eşitliği, aşağıdaki dizilerin yakınsamasını onaylar ve kimliği belirtir:

{\ displaystyle \ toplamı _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} | c_ {n} | ^ {2} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} | f (t) | ^ {2} ~ \ mathrm {d} t = \ | f \ | ^ {2}}

Fonksiyonun gerçek değerleri varsa, aşağıdaki kurallar benimsenebilir: $f$

${\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) ~ \ mathrm {d} t = c_ {0}}$ ;
${\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ cos {\ frac {2 \ pi nt} {T }} ~ \ mathrm {d} t}$ ;
${\ displaystyle b_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ sin {\ frac {2 \ pi nt} {T }} ~ \ mathrm {d} t}$ .

Parseval'in eşitliği şöyle olur:

{\ displaystyle \ | f \ | ^ {2} = a_ {0} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ toplamı _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ sol (a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2} \ sağ)}

Uyarı : Bazı yazarlar tercih sentezlenmesi için de bir kongre $bir 0$ 2 / de de T :

{\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) ~ \ mathrm {d} t}

Parseval'in formülü şöyle olur:

{\ displaystyle \ | f \ | ^ {2} = {\ frac {1} {4}} a_ {0} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ toplamı _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ sol (a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2} \ sağ)}

Başvurular

Bu sonuçlar, özellikle sonlu boyutlu bir prehilbertian uzay durumu için geçerlidir , örneğin sonlu bir değişmeli grup üzerindeki harmonik analizde .
İki integrallenebilir kare fonksiyonu f ve g aynı frekans spektrumuna (aynı Fourier katsayılarına) sahipse, f - g'nin Fourier katsayılarının tümü sıfırdır (doğrusallıkla) ve ║ f - g ║ 2 = 0. Gerçekte, f ve g neredeyse her yerde eşittir . Ayrıca Eğer f ve g parçalı süreklidir, f ve g bir süreksizlik noktaları seviyesinde dışında eşit f ve g .
İntegralin hesaplanması seriden daha kolay olduğunda, Parseval eşitliği belirli sayıda sayısal seriyi hesaplamanın bir yoludur (eşitlik fonksiyon ile onun Fourier serileri arasındaki bir noktada da kullanılabilir, örneğin Dirichlet teoremi ile verilir ) .
Parseval eşitliği , bir periyodik fonksiyonun normları ile türevi arasındaki Wirtinger eşitsizliğini , ardından klasik izoperimetrik eşitsizliği elde etmeyi sağlar .

Karşılıklı: Riesz-Fischer teoremi

Biz tarafından ifade ℓ 2 dizilerinin vektör uzayı bu tür dizilerin bu yakınsak. $(c_n) _ {n \ in \ Z}$ $\ toplam _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ | c_n \ | ^ 2 \$

Riesz-Fischer teoremi böyle bir dizi durum için bu mümkün kılar bir integrali kare fonksiyonunun Fourier katsayısının dizisidir T periyodik. $(c_n) _ {n \ in \ Z}$

Dolayısıyla , periyodik integral alabilir kare fonksiyonlarının $L$ $2$ T uzayları ile T ve ℓ 2 arasında izomorfizm vardır . Parseval'in formülü, bunun bir izometri olduğunu bile gösteriyor .

Notlar ve referanslar

" Chapter 7: Fourier transform " , ressources.unisciel.fr'de (erişim tarihi: 11 Ağustos 2019 )