Whitham denklemi

Olarak matematiksel fizik Whitham denklemi bir açıklayan genel denklemi olan doğrusal olmayan dağıtıcı yüzey yerçekimi dalga . Gerald Whitham tarafından 1967'de kuruldu .

Formülasyon

Aşağıdaki gibi yazılmıştır:

{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi s} {\ kısmi t}} + \ alpha s {\ frac {\ kısmi s} {\ kısmi x}} + \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} K (x- \ xi) \, {\ frac {\ kısmi s (\ xi, t)} {\ kısmi \ xi}} \, {\ text {d}} \ xi = 0}

Herhangi bir referans çerçevesinde yüzeyin yüksekliğini veren s (x, t) değişkeninin bir integro-diferansiyel denklemidir . Çekirdek K ( X - ξ ) ile muamele edilmiş bir sorun özgüdür.

Bir yüzeydeki yerçekimi dalgaları

Yüzey dalgaları için bu Stokes dalga arasında dalga sayısı k olmuştur

{\ displaystyle c \, (k) = {\ sqrt {{\ frac {g} {k}} \, \ tanh (kh)}} \ ,, \ qquad \ alpha = {\ frac {3} {2} } {\ sqrt {\ frac {g} {h}}}}

burada C olan faz hızı , g yer çekimi ve h istirahat ortam derinliği. K ( s ) Fourier dönüşümüdür

{\ displaystyle K (s) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} c \, (k) \, {\ text {e}} ^ {iks} \, {\ text {d}} k}

Kh ≪ 1 genliğine atıfta bulunulan büyük uzunluktaki dalgalar için c ( k ) 'nin genişlemesinden Korteweg ve Vries denklemini elde ederiz.

{\ displaystyle c \, (k) = {\ sqrt {gh}} \ sol (1 - {\ frac {1} {6}} k ^ {2} h ^ {2} \ sağ) \ ,, \ qquad K (s) = {\ sqrt {gh}} \ left (\ delta (s) + {\ frac {1} {6}} h ^ {2} \, \ delta ^ {\ prime \ prime} (s) \ right) \ ,, \ qquad \ alpha = {\ frac {3} {2}} {\ sqrt {\ frac {g} {h}}}}

burada δ ( ler ) olan Dirac fonksiyonu .

Bengt Fornberg ve Gerald Whitham , g ve h tarafından geliştirilen çekirdek K ( s ) ' yi inceledi.

{\ displaystyle c = {\ frac {\ nu ^ {2}} {\ nu ^ {2} + k ^ {2}}} \ ,, \ qquad K (s) = {\ frac {1} {2} } \ nu {\ text {e}} ^ {- \ nu s} \ ,, \ qquad \ alpha = {\ frac {3} {2}}}

Ortaya çıkan integro-diferansiyel ilişkisi , Fornberg-Whitham denklemi adı verilen kısmi diferansiyel denkleme indirgenebilir .

{\ displaystyle \ sol ({\ frac {\ kısmi ^ {2}} {\ kısmi x ^ {2}}} - \ nu ^ {2} \ sağ) \ sol ({\ frac {\ kısmi s} {\ kısmi t}} + {\ frac {3} {2}} \, s \, {\ frac {\ kısmi s} {\ kısmi x}} \ sağ) + {\ frac {\ kısmi s} {\ kısmi x }} = 0}

Bazı çözümler, birinci türevin ( pikon ) ve şok dalgalarının ( dalgalanma ) süreksizliklerini sergiler ; ikincisi, Korteweg ve Vries denkleminin çözümlerinde yoktur .

Referanslar

(in) L. Debnath, Bilim Adamları ve Mühendisler için Doğrusal Olmayan Kısmi Diferansiyel Denklemler , Springer ,2005, 737 p. ( ISBN 978-0-8176-4323-2 , çevrimiçi okuyun )
(tr) PI Naumkin ve I .A. Shishmarev, Dalgalar Teorisinde Doğrusal Olmayan Yerel Olmayan Denklemler , Amerikan Matematik Derneği ,1994, 289 s. ( Mayıs ISBN 978-0-8218-4573-8 )
(en) Gerald B. Whitham , " Su Dalgalarına Varyasyonel Yöntemler ve Uygulamalar " , Kraliyet Cemiyeti Bildirileri A , cilt. 299, n o 14561967, s. 6–25
(en) B. Fornberg ve GB Whitham , " Belirli Doğrusal Olmayan Dalga Olaylarının Sayısal ve Teorik Çalışması " , Kraliyet Cemiyetinin Felsefi İşlemleri A , cilt. 289, n o 13611978, s. 373-404
(inç) Gerald B. Whitham , Doğrusal ve Doğrusal Olmayan Dalgalar , Wiley ,1974( ISBN 978-0-471-35942-5 , çevrimiçi okuyun )

(fr) Bu makale kısmen veya tamamen alınır İngilizce Vikipedi başlıklı makalesinde " Whitham denklemi " ( yazarların listesini görmek ) .

Ayrıca görün