Kısmi diferansiyel denklem

Gelen matematik , daha kesin olarak diferansiyel hesap , bir kısmi diferansiyel denklem (bazen adı verilen kısmi diferansiyel denklem ve olarak kısaltılır PDE a,) diferansiyel denklem olan çözeltilerdir bilinmeyen işlevleri çeşitli bağlı olarak değişken bunların ilişkin bazı koşulları karşılayan kısmi türevleri .

Bir PDE'nin çoğu kez çok sayıda çözümü vardır, koşullar tek değişkenli sıradan bir diferansiyel denklem durumunda olduğundan daha az katıdır ; sorunlar genellikle çözüm kümesini kısıtlayan sınır koşullarını içerir. Sıradan bir diferansiyel denklemin çözüm setleri, ek koşullara karşılık gelen bir veya daha fazla parametre ile parametrelendirilirken, PDE'ler durumunda, sınır koşulları daha çok bir fonksiyon formundadır  ; sezgisel olarak bu, çözüm kümesinin çok daha büyük olduğu anlamına gelir ve bu neredeyse tüm problemler için geçerlidir.

PDE'ler, yerçekimi , elektromanyetizma ( Maxwell denklemleri ) veya finansal matematik ( Black-Scholes denklemi ) teorilerinde olduğu gibi yapısal dinamiklerde veya akışkanlar mekaniğinde de göründükleri için bilimlerde her yerde mevcuttur . Havacılık simülasyonu , görüntü sentezi veya hava tahmini gibi alanlarda çok önemlidirler . Son olarak, genel görelilik ve kuantum mekaniğinin en önemli denklemleri de PDE'lerdir.

Yedi Milenyum Ödülü probleminden biri , Navier-Stokes denklemleri adı verilen bir PDE sisteminin orijinal verileri üzerindeki varlığını ve sürekliliğini göstermektir .

Giriş

Çok basit bir kısmi diferansiyel denklem:

∂sen∂x=0{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi u} {\ kısmi x}} = 0}

burada u bilinmeyen bir fonksiyonu olan x ve y . Bu denklem değerleri ifade eder , U ( x , y ) bağımsız x . Bu denklemin çözümleri:

sen(x,y)=f(y),{\ displaystyle u (x, y) = f (y),}

burada f bir fonksiyonudur , y .

Sıradan diferansiyel denklem

dsendx=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} x}} = 0}

çözümü var:

sen(x)=vs,{\ displaystyle u (x) = c,}

ile C sabit bir değere (bağımsız x ). Bu iki örnek, genel olarak, sıradan bir diferansiyel denklemin çözümünün keyfi bir sabit içerdiğini, kısmi diferansiyel denklemlerin ise keyfi fonksiyonları içerdiğini göstermektedir. Kısmi diferansiyel denklemlerin çözümü genellikle benzersiz değildir.

PDE'nin üç önemli kategorisi, eliptik , hiperbolik ve parabolik olarak adlandırılan doğrusal ve homojen ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklemlerdir .

Notasyonlar

Matematikte

PDE'ler için, basitleştirme uğruna, u bilinmeyen fonksiyonu ve D x u (Fransız gösterimi) veya u x (Anglo-Sakson gösterimi, daha yaygın) x'e göre kısmi türevini yazmak gelenekseldir, yani olağan diferansiyel hesabın notasyonları:

senx=∂sen∂x{\ displaystyle u_ {x} = {\ kısmi u \ fazla \ kısmi x}}

ve ikinci kısmi türevler için:

senxy=∂2sen∂y∂x=∂∂y(∂sen∂x){\ displaystyle u_ {xy} = {\ kısmi ^ {2} u \ fazla \ kısmi y \, \ kısmi x} = {\ kısmi \ kısmi y} \ sol ({\ kısmi u \ üzeri \ kısmi x} \ sağ)}

Fizikte

Vektör analizi operatörleri kullanılmıştır.

Vektör analizi özeti Nabla operatörü , 1. dereceden kısmi türev kümesini temsil eder.[∇→=(∂∂x∂∂y∂∂z)] {\ displaystyle \ sol [{\ vec {\ nabla}} = \ sol ({\ başla {dizi} {c} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi x}} \\ {\ frac {\ kısmi} { \ kısmi y}} \\ {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi z}} \ end {dizi}} \ sağ) \ sağ] \} Bir vektör fonksiyonu için , ona nokta çarpımı uygulayarak , diverjansı tanımlarız  :sen→(x,y,z,t)=(senx(x,y,z,t)seny(x,y,z,t)senz(x,y,z,t)){\ displaystyle {\ vec {u}} \ left (x, y, z, t \ right) = \ left ({\ begin {array} {c} u_ {x} \ left (x, y, z, t \ sağ) \\ u_ {y} \ left (x, y, z, t \ right) \\ u_ {z} \ left (x, y, z, t \ sağ) \ end {dizi}} \ sağ) }∇→{\ displaystyle {\ vec {\ nabla}}}  ∇→⋅sen→(x,y,z,t)=(∂∂x∂∂y∂∂z).(senxsenysenz)=∂senx∂x+∂seny∂y+∂senz∂z≡dbenvsen→{\ displaystyle \ {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {u}} \ left (x, y, z, t \ right) = \ left ({\ begin {array} {c} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi x}} \\ {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi y}} \\ {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi z}} \ end {dizi}} \ sağ). \ left ({\ begin {dizi} {c} u_ {x} \\ u_ {y} \\ u_ {z} \ end {dizi}} \ sağ) = {\ frac {\ kısmi u_ {x}} { \ kısmi x}} + {\ frac {\ kısmi u_ {y}} {\ kısmi y}} + {\ frac {\ kısmi u_ {z}} {\ kısmi z}} \ eşdeğeri {\ rm {div}} \, {\ vec {u}}} Kullanılması çapraz ürünü , biz tanımlamak dönme  ∇→∧sen→(x,y,z,t)=(∂∂x∂∂y∂∂z)∧(senxsenysenz)=(∂senz∂y-∂seny∂z∂senx∂z-∂senz∂x∂seny∂x-∂senx∂y)≡rÖt→sen→≡vssenrl→sen→{\ displaystyle \ {\ vec {\ nabla}} \ kama {\ vec {u}} \ left (x, y, z, t \ right) = \ left ({\ begin {array} {c} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi x}} \\ {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi y}} \\ {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi z}} \ end {dizi}} \ sağ) \ kama \ left ({\ begin {dizi} {c} u_ {x} \\ u_ {y} \\ u_ {z} \ end {dizi}} \ sağ) = \ left ({\ begin {dizi} {c } {\ frac {\ kısmi u_ {z}} {\ kısmi y}} - {\ frac {\ kısmi u_ {y}} {\ kısmi z}} \\ {\ frac {\ kısmi u_ {x}} { \ kısmi z}} - {\ frac {\ kısmi u_ {z}} {\ kısmi x}} \\ {\ frac {\ kısmi u_ {y}} {\ kısmi x}} - {\ frac {\ kısmi u_ {x}} {\ partial y}} \ end {dizi}} \ right) \ equiv {\ overrightarrow {\ rm {rot}}} \, {\ vec {u}} \ equiv {\ overrightarrow {\ rm { curl}}} \, {\ vec {u}}} Uzayda herhangi bir noktada skaler bir sayıyı ilişkilendiren bir işlev için gradyanı tanımlarız :sen(x,y,z,t){\ displaystyle u \ sol (x, y, z, t \ sağ)}  ∇→sen(x,y,z,t)=(∂∂x∂∂y∂∂z).sen(x,y,z,t)=(∂sen∂x∂sen∂y∂sen∂z)=gr-ded→sen{\ displaystyle \ {\ vec {\ nabla}} \, u \ sol (x, y, z, t \ sağ) = \ sol ({\ başla {dizi} {c} {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi x}} \\ {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi y}} \\ {\ frac {\ kısmi} {\ kısmi z}} \ end {dizi}} \ sağ) .u \ left (x, y, z, t \ right) = \ left ({\ begin {dizi} {c} {\ frac {\ kısmi u} {\ kısmi x}} \\ {\ frac {\ kısmi u} {\ kısmi y} } \\ {\ frac {\ kısmi u} {\ kısmi z}} \ end {dizi}} \ sağ) = {\ overrightarrow {\ rm {grad}}} \, u} İkinci dereceden türetme için diverjansa benzer şekilde Laplacian operatörünü de kullanıyoruz . Δ≡∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2{\ displaystyle \ Delta \ eşdeğeri \ nabla ^ {2} = {\ frac {\ kısmi ^ {2}} {\ kısmi x ^ {2}}} + {\ frac {\ kısmi ^ {2}} {\ kısmi y ^ {2}}} + {\ frac {\ kısmi ^ {2}} {\ kısmi z ^ {2}}}} ayrıca vektör Laplacian operatörüne bakınız .  

EDP ​​örnekleri

Laplace denklemi

Laplace denklemi çok önemli bir temel PDE geçerli:

∂2sen∂x2+∂2sen∂y2+∂2sen∂z2=0{\ displaystyle {\ kısmi ^ {2} u \ fazla \ kısmi x ^ {2}} + {\ kısmi ^ {2} u \ kısmen \ kısmi y ^ {2}} + {\ kısmi ^ {2} u \ aşırı \ kısmi z ^ {2}} = 0}

burada u = u ( x , y , z ) bilinmeyen-fonksiyonunun yerini tutmaktadır.

Bu işlevi, belirli sınırlayıcı koşullar altında ve belirli bir geometriyle, örneğin küresel koordinatlarla analitik olarak yazmak mümkündür.

Vektör analizi gösteriminde, Laplacian operatörünü kullanarak Δ

Ya bir dalga işlevi.ψ≡sen(x,y,z,t) {\ displaystyle \ psi \ eşit u \ sol (x, y, z, t \ sağ) \} Δψ = 0{\ displaystyle \ Delta \ psi \ = \ 0}

Yayılma denklemi (veya titreşimli dize denklemi)

Dalga yayılma denklemi olarak adlandırılan bu PDE, ses dalgalarının ve elektromanyetik dalgaların (ışık dahil) yayılma olaylarını açıklar. Bilinmeyen dalga fonksiyonu, zamanı temsil eden u (x, y, z, t), t ile gösterilir:

∂2sen∂x2+∂2sen∂y2+∂2sen∂z2=1vs2∂2sen∂t2{\ displaystyle {\ kısmi ^ {2} u \ fazla \ kısmi x ^ {2}} + {\ kısmi ^ {2} u \ kısmen \ kısmi y ^ {2}} + {\ kısmi ^ {2} u \ aşırı \ kısmi z ^ {2}} = {1 \ bölü c ^ {2}} {\ kısmi ^ {2} u \ kısmi \ kısmi t ^ {2}}}

C sayısı, u dalgasının yayılma hızını veya hızını temsil eder.

Vektör analizi gösteriminde, Laplacian operatörü Δ kullanılarak  :

Ya bir dalga işlevi.ψ≡sen(x,y,z,t) {\ displaystyle \ psi \ eşit u \ sol (x, y, z, t \ sağ) \} Δψ = 1vs2∂2ψ∂t2{\ displaystyle \ Delta \ psi \ = \ {1 \ c ^ üzerinde ^ {2}} {\ kısmi ^ {2} \ psi \ \ kısmi t ^ {2}}} üzerinde Dalga denklemi, genel form

Dalga  ψ{\ displaystyle ~ \ psi}		Boyuna kısım		Enine kısım		Yayılmış		Dağılım
Δψ{\ displaystyle ~ \ Delta \ psi}	={\ displaystyle \ =}	grad→[div ψ]{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ textrm {grad}}} [{\ textrm {div}} \ \ psi]}	-{\ displaystyle \ -}	geğirmek→[geğirmek→ ψ]{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ textrm {rot}}} \ left [{\ overrightarrow {\ textrm {rot}}} \ \ psi \ sağ]}	={\ displaystyle \ =}	1vs2∂2ψ∂t2{\ displaystyle {1 \ c ^ üzerinde {2}} {\ kısmi ^ {2} \ psi \ kısmi t ^ üzerinde ^ {2}}}	+{\ displaystyle \ +}	1α∂ψ∂t{\ displaystyle {1 \ over \ alpha} {\ kısmi \ psi \ üzeri \ kısmi t}}

Ayrıca bkz sismik dalga , mekanik dalga , His , titreşimli bir dize dalga , bir boru sabit dalga , Maxwell Denklem

Fourier denklemi

∂2sen∂x2+∂2sen∂y2+∂2sen∂z2=1α∂sen∂t{\ displaystyle {\ kısmi ^ {2} u \ fazla \ kısmi x ^ {2}} + {\ kısmi ^ {2} u \ kısmen \ kısmi y ^ {2}} + {\ kısmi ^ {2} u \ fazla \ kısmi z ^ {2}} = {1 \ üzeri \ alpha} {\ kısmi u \ kısmi \ kısmi t}}

Bu PDE'ye ısı denklemi de denir . U fonksiyonu sıcaklığı temsil eder. Zamana göre 1. derecenin türevi, fenomenin geri çevrilemezliğini yansıtır. Sayı , ortamın termal yayılımı olarak adlandırılır . α{\ displaystyle \ alpha}

Vektör analizi gösteriminde, Laplacian operatörü Δ kullanılarak  :

Yani, bir sıcaklık dalgasının bir fonksiyonudur.ψ≡sen(x,y,z,t) {\ displaystyle \ psi \ eşit u \ sol (x, y, z, t \ sağ) \} Δψ = 1α∂ψ∂t{\ displaystyle \ Delta \ psi \ = \ {1 \ over \ alpha} {\ kısmi \ psi \ kısmen \ kısmi t}}

Poisson denklemi

Laplacian operatörünün kullanılması Δ  :

Let , dalga fonksiyonu ve olmak yük yoğunluğu.ψ(x,y,z) {\ displaystyle \ psi \ sol (x, y, z \ sağ) \}ρ(x,y,z,t){\ displaystyle \ rho \ sol (x, y, z, t \ sağ)} Δψ =-4πρ{\ displaystyle \ Delta \ psi \ = -4 \ pi \ rho}

Adveksiyon denklemi

Uzay ve zamanın 1 boyutlu adveksiyon denklemi , miktarın ilerleme oranına göre taşınmasını tanımlar.sen(x,t){\ displaystyle u (x, t)}-de{\ displaystyle a}

∂sen∂t+-de∂sen∂x=0{\ displaystyle {\ frac {\ kısmi u} {\ kısmi t}} + a {\ frac {\ kısmi u} {\ kısmi x}} = 0}

Bu çözüm vardır için burada başlangıç durumdur . sen(x,t)=η(x--det){\ displaystyle u (x, t) = \ eta (x-at)}t⩾0{\ displaystyle t \ geqslant 0}η(x){\ displaystyle \ eta (x)}t=0{\ displaystyle t = 0}

Adveksiyon denklemi , sıkıştırılabilir akışkanlar dinamiğindeki Euler'in denklemleri gibi korunum yasalarının hiperbolik sistemlerinin sonlu hacim yöntemiyle sayısal çözünürlük yöntemlerinin çalışılmasında temel bir rol oynar .

Langmuir dalga denklemi

Let , dalga fonksiyonu ve olmak yük yoğunluğu. ψ(x,y,z,t) {\ displaystyle \ psi \ sol (x, y, z, t \ sağ) \}ρ(x,y,z,t){\ displaystyle \ rho \ sol (x, y, z, t \ sağ)}

Δψ =1vs2.∂2ψ∂t2-ρϵ{\ displaystyle \ Delta \ psi \ = {1 \ c ^ {2}} üzerinde. {\ kısmi ^ {2} \ psi \ kısmen \ kısmi t ^ {2}} - {\ rho \ üzerinden \ epsilon}}

Bu denklem, bir plazmada yayılan uzunlamasına elektrik dalgalarını tanımlar .

Stokes denklemi

Sıkıştırılamayan bir Newtoniyen sıvının kararlı durumda ve düşük Reynolds sayılı akışını tanımlayan Stokes sistemi şöyle yazılır:

ηΔv→=gr-ded→p-ρf→{\ displaystyle \ eta \ Delta {\ vec {v}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, p- \ rho {\ vec {f}}} dbenvv→=0{\ displaystyle {\ rm {div}} \, {\ vec {v}} = 0} Puanlar:

• v→(r→){\ displaystyle {\ vec {v}} ({\ vec {r}})} sıvının hızıdır;
• p(r→){\ displaystyle p ({\ vec {r}})}sıvının içindeki basınçtır ;
• ρ{\ displaystyle \ rho} sıvının yoğunluğu
• η{\ displaystyle \ eta}bir dinamik viskozitesi sıvı;
• f→{\ displaystyle {\ vec {f}}} sıvıya uygulanan bir kütle kuvvetidir (örneğin: yerçekimi);
• gr-ded→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}}}Div ve Δ sırasıyla diferansiyel operatörler gradyan, diverjans Laplace.

 

Schrödinger denklemi

benℏ∂ψ∂t =[-ℏ22mΔ+V]ψ{\ displaystyle i \ hbar {\ kısmi \ psi \ üzerinde \ kısmi t} \ = \ sol [- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ Delta + V \ sağ] \ psi} Puanlar:

• ψ(x,y,z,t){\ displaystyle \ psi \ sol (x, y, z, t \ sağ)}, dalga fonksiyonu.
• ℏ {\ displaystyle \ hbar \} azaltılmış Planck sabiti .
• m, parçacığın kütlesidir.
• ben{\ displaystyle i}gibi hayali karmaşık sayı .ben2=-1{\ displaystyle i ^ {2} = - 1}
• V potansiyel operatörü (herhangi bir noktadaki potansiyeli temsil eder), genellikle elektriktir.
• Δ Laplacian'dır.

 

Klein-Gordon denklemi

Yani bir dalga fonksiyonu. ψ(x,y,z,t){\ displaystyle \ psi \ sol (x, y, z, t \ sağ)}

-ℏ2∂2ψ∂t2 =-ℏ2vs2Δψ+m2vs4ψ{\ displaystyle - \ hbar ^ {2} {\ kısmi ^ {2} \ psi \ üzerinde \ kısmi t ^ {2}} \ = - \ hbar ^ {2} c ^ {2} \ Delta \ psi + m ^ {2} c ^ {4} \ psi} Puanlar:

• ψ(x,y,z,t){\ displaystyle \ psi \ sol (x, y, z, t \ sağ)}, dalga fonksiyonu.
• ℏ {\ displaystyle \ hbar \} azaltılmış Planck sabiti .
• m, parçacığın kütlesidir.
• bu ışık hızı
• Δ Laplacian'dır.

 

Çözünürlük yöntemleri

Analitik yaklaşım

• Özellikler yöntemi

Dijital çözünürlük

Kısmi diferansiyel denklemleri çözmek için en yaygın kullanılan sayısal yöntemler şunlardır:

• Sonlu Fark Yöntemi
• Sonlu eleman yöntemi
• Sonlu hacim yöntemi
• Özellikler yöntemi

Notlar ve referanslar

1. Stéphane Mottin , "Legendre dönüşümü uygulayarak Robin koşullarıyla Laplace denkleminin analitik çözümü", İntegral Dönüşümler ve Özel Fonksiyonlar , cilt. 27 ( n o  4), 2016, s. 289-306. Çevrimiçi oku

İlgili Makaleler

• Frobenius teoremi (diferansiyel geometri)
• Cauchy-Kowalevski teoremi
• Diferansiyel operatör
• Sözde diferansiyel operatör
• Laplace dönüşümü
• Ehrenpreis'in temel prensibi

Kaynakça

• VI Arnold: Kısmi Diferansiyel Denklemler Üzerine Dersler , Cassini, 2016.
• Claire David , Pierre Gosselet: Kısmi diferansiyel denklemler - Kurs ve düzeltilmiş alıştırmalar , 2. baskı. Dunod, 2015.
• Ahmed Lesfari, Sıradan diferansiyel denklemler ve kısmi diferansiyel denklemler - Ders ve düzeltilmiş alıştırmalar . Ellipses, 2015.
• Edward Goursat: iki bağımsız değişkenin, Cilt I ile ikinci kısmi diferansiyel denklemler entegrasyonu Dersler . Hachette / BNF, 2014.
• Mourad Choulli, Fonksiyonel analiz - Kısmi diferansiyel denklemler - Kurs ve düzeltilmiş alıştırmalar . Vuibert, 2013.
• Hervé Le Dret, Doğrusal Olmayan Eliptik Kısmi Diferansiyel Denklemler . Springer, 2013.
• Lionel Roques: Mekansal ekoloji için reaksiyon-difüzyon modelleri . Quae, 2013.
• Pierre Dreyfuss: Navier-Stokes denklemlerinin analizine giriş . Ellipses, 2012.
• Claude Wagschal: Dağılımlar, mikrookal analiz, kısmi diferansiyel denklemler . Hermann, 2011.
• Claude Zuily: Dağılım problemleri ve kısmi diferansiyel denklemler . Cassini, 2010.
• Bruno Després: Eulerian, Lagrangian Koruma Yasaları ve Sayısal Yöntemler . Springer / SMAI, 2010.
• Jacques Hadamard: Cauchy problemi ve hiperbolik doğrusal kısmi diferansiyel denklemler . Jacques Gabay, 2008.
• Jean Dieudonné: Analiz unsurları - Tome VIII - Doğrusal fonksiyonel denklemler, ikinci kısım, sınır problemleri . Jacques Gabay, 2008.
• Bruno Després, François Dubois: Koruma yasalarının hiperbolik sistemleri . Politeknik Okulu, 2005.
• Jean Dieudonné: Analiz unsurları - Tome VII - Doğrusal fonksiyonel denklemler - Birinci bölüm: sözde diferansiyel operatörler . Jacques Gabay, 2003.
• Claude Zuily: Dağılımların elemanları ve kısmi diferansiyel denklemler . Dunod, 2002.
• Jacques-Louis Lions: Doğrusal olmayan limitlerle problem çözmenin bazı yöntemleri . Dunod, 2002 (1969 metninin yeniden basımı).
• Jean-Michel Rakotoson, Jean-Emile Rakotoson: Kısmi diferansiyel denklemlere uygulanan fonksiyonel analiz . PUF, 1999.
• Denis Serre: Koruma yasaları sistemleri. Ben, Hiperboliklik, entropiler, şok dalgaları . Diderot editörü, 1996.
• Denis Serre: Koruma yasaları sistemleri. II, Geometrik yapılar, salınım ve karışık problemler . Diderot editörü, 1996.
• A. Martin: Çözülmüş alıştırmalar: kısmi diferansiyel denklemler . Dunod, 1991.
• H. Reinhard: Kısmi diferansiyel denklemler - giriş . Dunod, 1991.
• Camille Jordan: Analiz kursu, cilt III, 3. baskı . Jacques Gabay, 1991 (1915 metninin yeniden basımı).
• Robert Dautray, Jacques-Louis Lions: Bilimler ve teknikler için matematiksel analiz ve sayısal hesaplama . Masson, 1984.
• Jean Vaillant: Hiperbolik ve holomorfik kısmi diferansiyel denklemler . Hermann, 1984.
• Jacques Chazarain, Alain Piriou: Doğrusal kısmi diferansiyel denklemler teorisine giriş . Gauthier-Villars, 1981.
• Serge Colombo: Sürekli medyanın fizik ve mekaniğinde kısmi diferansiyel denklemler . Masson, 1976.
• OA Ladyženskaja, NN Ural'ceva: Eliptik tipte kısmi diferansiyel denklemler . Dunod, 1968.
• J. Necas: Eliptik denklem teorisinde direkt yöntemler . Masson, 1967.
• Édouard Goursat: Birinci mertebeden kısmi diferansiyel denklemlerin entegrasyonu üzerine dersler, 2. baskı . Hermann, 1921.
• (tr) Lars Hörmander , Doğrusal kısmi diferansiyel operatörlerin analizi , Springer-Verlag, 1983-1985. 1962 Alanlar Madalyasını alan kişi tarafından dört ciltlik referans tez, 1. Cilt alt başlıklıdır: Dağılım teorisi ve Fourier analizi ve cilt II: Sabit katsayılı diferansiyel operatörler . Cilt III ve IV, sözde diferansiyel operatörler aracılığıyla modern teoriye ayrılmıştır .
• (tr) Lars Hörmander, Doğrusal Kısmi Diferansiyel Operatörler , Springer-Verlag, 1963. Bu kitap, yazarın 1962'de Fields Madalyası ile ödüllendirildiği çalışmaları içermektedir.
• (in) Yu. V. Egorov ve MA Shubin'in  (in) , Kısmi Diferansiyel Denklemlerin Klasik Teorinin Temelleri , Springer-Verlag, 2 inci Baskı., 1998 ( ISBN  3-540-63825-3 ) . Matematik Bilimleri Ansiklopedisi için yazılmış dokuz bölümlük dizinin ilk cildi . Aşağıdaki ciltler sözde diferansiyel operatörler aracılığıyla modern teoriye ayrılmıştır.
• (en) Michael E. Taylor  (en) , Kısmi Diferansiyel Denklemler - Temel Teori , coll. ( "Applied Mathematics Metinler" n o  23), Springer-Verlag, 2 inci Baskı., 1999 ( ISBN  0-387-94654-3 ) . Üç içeren bir serinin ilk cildi. Aşağıdaki ciltler sözde diferansiyel operatörler aracılığıyla modern teoriye ayrılmıştır.
• (en) Vladimir I. Arnold , Kısmi diferansiyel denklemler üzerine dersler , Springer-Verlag, 2004 ( ISBN  3-540-40448-1 ) .

Dış bağlantılar

• A.Lesfari: Kısmi diferansiyel denklemlere giriş , Master kursu, 2014-2015