İlişkisel cebir

Gelen matematik , bir birleştirici cebir (a ile değişmeli halka A ) aşağıdakilerden biridir cebirsel yapılar kullanılan genel cebir . Bu a, halka (ya da sadece bir sahte-halkası ) B ek yapısına sahip ilgili modül , A halkası çarpma yasa, ve B ise bir - iki çizgili . Bu nedenle , bir halka üzerinde özel bir cebir durumudur .

Resmi tanımlama

Let A aşağıdaki değişmeli bir halka. Şu durumlarda ( B , +,., ×) 'nin ilişkisel bir A- cebir olduğunu söylüyoruz :

( B , + ,. ) Bir A modülüdür,
( B , +, ×) bir sözde halkadır ,
$\forall \lambda \in A,~\forall x,y\in B,\qquad \lambda \cdot (x\times y)=x\times (\lambda \cdot y)=(\lambda \cdot x)\times y~.$

A'nın elemanlarına skaler denir .

A halkasının bir alan olduğu özel durumda , bir alan üzerinden ilişkisel cebirden bahsediyoruz .

B çarpma için nötr olduğunda üniter (veya birleşik) cebirden bahsediyoruz .

Örnekler

Herhangi bir halka ( M +, x) (ve hatta herhangi bir sözde-halka) da olduğu için birleştirici cebiri dış hakları herhangi: ile tanımlanan tam sayı ve herhangi bir elemanın arasında M , $\mathbb {Z}$ $n$ $x$ $\left\{{\begin{matrix}{\text{si }}n>0{\text{ alors }}&n\cdot x=\underbrace {x+x+\ldots +x} _{n\ \mathrm {fois} }~,\\{\text{si }}n<0{\text{ alors }}&n\cdot x=\underbrace {-x-x-\ldots -x} _{|n|\ \mathrm {fois} }~,\\{\text{si }}n=0{\text{ alors }}&n\cdot x=0~.\end{matrix}}\right.$
Her halka, merkezinde , dolayısıyla bu merkezin her A alt halkasında bir çağrışımsal cebirdir .
Let A aşağıdaki değişmeli bir halka.
- Bir monoid cebri L fazla A bir bir birleştirici ve uniferous bir cebiri. Bu, önceki örneğin özel bir durumudur. (Eğer monoid L olduğu , bu cebir bunun ise polinomların içinde k belirsiz üzerinde A. ) $(\mathbb {N} ,+)^{k}$
- Bir A modülünün endomorfizm dizisi , bir ilişkisel A- cebirdir.

Eşdeğer tanım

Cebir B birleştirildiğinde eşdeğer bir tanım vardır :

Let bir değişmeli bir halka da B halkası ve bir yüzük morfizmanın bu şekilde ön ( A olarak) merkezi bir B . Daha sonra , B'ye A- ilişkisel (ve birleşik) cebir yapısını sağlayan bir dış yasa tanımlayabiliriz . $f\,:\,A\to B$ $(a,b)\mapsto f(a)b$

Tersine, eğer B bir bir birleştirici ve birleşik bir cebiri, bu tür bir halka morfizmanın olan $f\,:\,a\mapsto a.1_{B}$

(a.1_{B})\times x=1_{B}\times (a.x)=(a.x)\times 1_{B}=x\times (a.1_{B})~{\text{donc}}~f(a)\times x=x\times f(a)~;

Resim A , B'nin merkezinde yer almaktadır .

Ayrıca görün

Derecelendirme ve referans

Tanım örneğin Serge Lang , Algebra'da kullanılmıştır [ sürümlerin detayı ]