Bileşim kanunu

In matematik ve daha doğrusu içinde genel cebir , iki verilen setleri E ve F , bir kompozisyon yasa (ya basitçe kanun üzerine) E bir ya olduğu haritası ait F × E yılında E veya haritası ait E × F içinde E . Başka bir deyişle, E kümesinin kararlı olduğu ikili bir işlemdir .

İki tür bileşim kanunu vardır:

F = E ise, iç bileşim yasasından söz ederiz ;
F ≠ E ise, bir dış bileşim yasasından söz ederiz .

Uygulamada, birçok yazar "kompozisyon kanunu" nu "iç kompozisyon kanunu" ile eşanlamlı olarak kullanır (örn. Bourbaki ve Lang).

İç ve dış kompozisyon yasaları, genel cebirde ayrıcalıklı bir yere sahip olan cebirsel yapıları tanımlamaya hizmet eder .

Ayrıntılı tanım

Bir bileşim olup yasası * : E x F → G ile, G = E veya G = F , a, harita ile ilgili e × F için G her biri ile birleşen bir çift ( X , Y ve) D X F , bir öğesi G genellikle gösterilen " x * y " (yerine fonksiyonel gösterimi "* ( x , y )") ve bir adlandırılan bileşik, bir x ve y , ya da ürünün bir x ve y .

x ve y bazen işlenenler olarak nitelendirilir , çünkü bir yasa ikili bir işlevden başka bir şey değildir , bu nedenle belirli bir işlem durumu (yani bir n-ary işlevi).

G , E veya F'ye eşit olmalıdır . Daha kesin :

Eğer D = F = G , hukuk *: E x D → D olarak adlandırılan iç bileşimin yasası içinde E ;
Eğer E ≠ F ve G = F , * hakları: E x F → F olarak adlandırılan soldaki dış bileşimin kanunu ile F ya da dış bileşimin hakları ve E daha sonra, operatör etki alanı ;
eğer E ≠ F ve G = E , Hukuk *: D × F → E denir dış kompozisyon hakkının yasa ile E alanı F .

İç kompozisyon yasaları

özet

İç kompozisyon yasaları (bazen "iç yasalar" olarak adlandırılır) E × E → E uygulamalarıdır . Genel cebirde incelenen cebirsel yapıları tanımlamak için kullanılırlar : gruplar , halkalar , alanlar vb.

Bir iç kompozisyon yasasının farklı özellikleri olabilir: değişme , çağrışım , vb.

Dahili değişmeli kompozisyon yasalarına örnekler

ek olarak , , , ya da $\ mathbb {N}$ $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$
çarpma bölgesindeki , , , ya da . $\ mathbb {N}$ $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$
değişmeli bir grubun herhangi bir kanunu
bir yüzüğün herhangi bir katkı kanunu
bir alanın herhangi bir katkı kanunu
bir vektör uzayının herhangi bir toplama yasası
değişmeli bir halkanın herhangi bir çarpım yasası
bir değişmeli alanın herhangi bir çarpım yasası

İç kompozisyon kanunlarının diğer örnekleri

çıkarma bölgesi , , ya da $\ mathbb {Z}$ $\ mathbb {Q}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathbb {C}$
bölme içinde , ya da ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {*}}$ ${\ mathbb {C}} ^ {*}$
matris çarpım
bileşim işlevleri
bir grubun herhangi bir kanunu
bir yüzüğün herhangi bir çarpım yasası
bir cismin herhangi bir çarpım yasası

Dış kompozisyon kanunları

özet

Kanunlar dış kompozisyon (bazen "dış kanunlar" olarak adlandırılır) F × E → E uygulamalarıdır . Ayrıca genel cebirde incelenen cebirsel yapıları tanımlamaya da hizmet ederler .

Ancak bir iç bileşim yasasının aksine, bir dış bileşim yasası, operatör veya skaler adı verilen dışarıdan gelen öğeleri içerir . Harici bir bileşim olup yasa nedenle bir işlem olarak görülmektedir F ile E . Sonra " F , E üzerinde çalışır " deriz .

Dış kompozisyon yasalarına örnekler

Gerçek sayıların tamamı üs alma bir yasadır içinde . ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {R}$
İçin K - vektör uzayı E , bir skalerle bir vektörün çarpımı bir yasadır K × E yılında E .

Notasyonlar

Oluşum yasaları için birkaç gösterim vardır:

en yaygın olanı infix gösterimi ; birkaç varsa, işlemlerin yürütülme sırasını belirtmek için parantez kullanılmasını gerektirir:

{\ displaystyle x * y}

yasanın sembolü bazen ihmal edilir, örneğin çarpma genellikle basit yan yana getirilerek not edilir:

{\ displaystyle xy}

önek veya Lehçe gösterimi parantez gerektirmez:

{\ displaystyle * xy}

, ara sıra

{\ displaystyle * x, y}

son ek gösterimi veya ters lehçe de parantezlerle ortadan kalkar:

{\ displaystyle xy *}

, ara sıra

{\ displaystyle x, y *}

Ayrıca görün

Notlar

cf. Bourbaki s. A I.1
cf. Lang s. 3.

Referanslar

N. Bourbaki , Elements of mathematics , cilt. II: Cebir, Bölüm 1 ila 3 , Berlin, Springer,1970( Repr. 2007), 2 inci baskı. ( ISBN 978-3-540-33849-9 , çevrimiçi sunum ).
(tr) Serge Lang , Cebir , New York / Berlin / Heidelberg vb., Springer, cilt. "Matematikte Lisans Metinleri",2002( Repr. 2010), 3 e ed. , 914 s. ( ISBN 0-387-95385-X , çevrimiçi okuyun ).