Küme teorisinde , kesişme , birleşme ve tamamlayıcıya geçiş işlemleriyle donatılmış bir kümenin parçaları kümesi , bir Boole cebri yapısına sahiptir . Bundan, set farkı ve simetrik fark gibi diğer işlemler de çıkarılabilir ...
Kümeler cebiri bu operasyonların aritmetik eğitimi ( "bkz Operasyonu ensemblist bırakmayın operasyonlar için" kalıcı bir bütün tüm parçalarını).
Makale boyunca, dikkate alınan setlerin hepsinin belirli bir U setine dahil edilmesi beklenir . Dahil etme, "⊂" veya "⊆" olarak belirtilen ve P ( U ) ile belirtilen U parçaları kümesi üzerinde şu şekilde tanımlanan (kısmi) bir sipariş ilişkisidir :
A ⊂ B ancak ve ancak ∀ x ∈ U ( x ∈ A ⇒ x ∈ B ).Eşitlik, genişlemeyle tanımlanır, iki küme aynı öğelere sahip olduklarında eşittir, yani:
A = B ancak ve ancak ∀ x ∈ U ( x ∈ A ⇔ x ∈ B ).veya
Bir = B , ancak ve ancak bir ⊂ B ve B ⊂ A .Bu nedenle, aşağıdaki özellikler, eşitlikler için, çıkarıldıkları önermesel hesaptaki eşdeğerliklere karşılık gelir . Bir elemanın sonlu (ve yeterince azaltılmış) sayıda kümeye üyeliği için tüm olası durumları tanımlamanın şematik bir yolu olan Venn diyagramları ile görselleştirilebilirler ve bu nedenle gösterilerin eşitliğini veya dahil edilmesini açıklamaya da izin verebilir.
Benzer şekilde, kapanımlar sonuçlara indirgenir.
Sendika grubu arasında A ve B , "ile belirtilen bir U B " ( "oku bir birlik B , ait öğelerin dizi") A ya da B :
bunun anlamı:
X ∈ bir ∪ B , ancak ve ancak, eğer X ∈ A ya da X ∈ B . ÖzellikleriGrubu U birliği ile donatılmış (tüm alt-gruplar için aşağıdaki özelliklere sahip bir , B , C ve U ):
Grubu A ∪ B bir üst sınırı iki set dahil edilmesi için bir ve B , yani içerdiği bir ve B , ve ihtiva eden herhangi bir grup içerdiği A ve B :
Bu nedenle katılım toplantıdan tanımlanır:
A ⊂ B ancak ve ancak A ∪ B = B ise .Kesişme grubu arasında A ve B “olarak gösterilmiştir, bir ∩ B ” ( “oku bir diğerlerinin B ”) elemanlarının setidir A da öğeleridir B , yani:
bunun anlamı:
X ∈ bir ∩ B , ancak ve ancak X ∈ bir ve x ∈ B .Ortak bir unsuru olmayan, yani kesişme noktaları boş olan iki kümenin ayrık olduğu söylenir .
ÖzellikleriKavşağın özellikleri, birliğinkilere benzer. Bunların ikili olduklarını söylüyoruz, çünkü onları birleşme işaretini kesişme işaretiyle değiştirerek ve gerekirse ∅ ve U , dahil etme ve onun karşılığını değiştirerek elde ederiz . Tüm alt-gruplar için bir , B , C ve U aşağıdaki özelliklere sahiptir:
Grubu A ∩ B ise daha düşük bağlanmış iki set dahil edilmesi için bir ve B , yani, dahildir A ve B , ve aynı zamanda yer alan herhangi bir kümesini içeren A ve B :
Bu, dahil etmenin bu sefer kesişme noktasından tanımlanmasına izin verir:
A ⊂ B ancak ve ancak A ∩ B = A ise .İki birleşim ve kesişme işlemi biri diğerine göre dağıtılır , yani tüm A , B , C kümeleri için aşağıdaki iki özelliğe sahibiz :
İlk eşitliğin her iki yanında bir küme vardır ve bu kümelerin eşit olduğunu, yani herhangi bir elemanın ancak ve ancak ikinciye aitse ilkine ait olduğunu göstermek istiyoruz. Sırasıyla Not bir , b , c önerileri , , . Göre distributivity arasında bakımından (biz bir onaylatabilir doğruluk tablosuna sahip olduğumuz)
tam olarak istenen denkliği çeviren:
İkinci eşitlik gösteri alışverişi, aynıdır ve .
Yeniden birleşmeyi sınırlı sayıda kümeye genellemek mümkündür: ardışık ikili yeniden birleşme ile iki kümenin durumuna geri dönüyoruz ve yeniden birleşmenin birlikteliği, düzenin önemli olmamasını sağlar. Aynı şekilde kavşak için.
Ancak bu işlemleri zorunlu olarak sonlu olmayan bir kümeler ailesine genellemek de mümkündür .
Bir kümeler ailesinin birleşimi şu şekilde tanımlanır:
.Bu tanım U'ya bağlı değildir . Boş bir ailenin yeniden birleşmesi boş bir bütündür.
Bir kümeler ailesinin kesişimi şu şekilde tanımlanır:
.Yukarıdaki tanım , ailenin boş olduğu durumlar dışında U kümesine bağlı değildir . ikinci durumda, boş ailenin kesişimi, tanım gereği , kesişimin özellikleriyle uyumlu kalan U referans kümesidir . Boş bir ailenin kesişimini “mutlak olarak” (referans seti olmadan) tanımlayamayız.
Yeniden birleşme ve ikili kesişimin bazı özellikleri sonsuz duruma genellenir. Artık söz konusu olan yüklemler hesabının (ve artık yalnızca önermeler hesabının değil) özellikleridir.
Bir referans grubu U verilen tamamlayıcı bir alt kümesi içinde A için U (göre anlam U ) elemanları seti olup , U ait olmayan A . Bu ile gösterilir U - A , A , A , c düzgün ya da :
bunun anlamı
X ∈ bir C , ancak ve ancak, eğer x ∈ U ve X ∉ bir .A'nın tamamlayıcısı, U referans setine bağlıdır . Aynı zamanda iki eşitlikle de karakterize edilir:
Bir ∩ bir C = ∅ ve bir ∪ bir C = U .Ek geçiş işlemi, yani ( A c ) c = A demektir .
Tamamlayıcıya geçiş, dahil etme ilişkisini tersine çevirir:
A ⊂ B ancak ve ancak B c ⊂ A cve bu nedenle, üst sınır ve alt sınır olan birliği ve kesişimi değiş tokuş eder, bunlar De Morgan'ın yasalarıdır :
( A ∩ B ) c = A c ∪ B c ; ( A ∪ B ) c = A c ∩ B c .U'nun birleşme ve kesişme ikili işlemleriyle sağlanan parçaların kümesi gibi, tamamlayıcıya geçme işleminin ve iki ayırt edici öğenin ∅ ve U'nun sıralı bir yapısı , bu işlemlerin sıralanan özelliklerini karşılar. Şimdiye kadar Boole cebri denir .
Grubu farkı arasında A ve B gösterilen " A \ B " ( "oku bir eksi B elemanlarının setidir") A ait olmayan B , yani:
.Farkı A ve B olarak U tamamlayıcı tanımlanmış olan bir ∩ B c , ve sonra, ( bir ∩ B c ) C = A C ∪ B .
Eğer B dahildir A , daha sonra bir \ B de yazılmıştır “ A - B ” (yine “oku bir eksi B ve denir”) tamamlayıcı için B içinde A (ya da nispeten için A ). Yukarıda U'ya göre tamamlayıcı olan tamamlayıcı kavramını buluyoruz :
. Farkın özellikleriSahibiz :
x ∈ A \ B ancak ve ancak x ∈ A ve x ∉ B x ∉ A \ B ancak ve ancak x ∈ A ⇒ x ∈ Bve bu yüzden :
Bir \ B = sadece ve sadece ∅ bir ⊂ B .Farkın özellikleri, tanımından ve kesişme ile tamamlayıcının birleşiminden elde edilir. Örneğin, birincisi bir dizi kesişimdir, ikincisi ise bir De Morgan yasasını ve kesişimin birleşim üzerindeki dağılımını kullanır.
.
Simetrik bir fark bir A ve B "olarak gösterilmiştir, bir Δ B " ( "oku bir delta B ") ya ait elemanları seti olup , A ya da B , ancak aynı zamanda her ikisi de. A ∪ B ve A ∩ B'nin farkıdır . Çeşitli şekillerde yazılabilir:
.Sahibiz :
x ∈ A Δ B ancak ve ancak x ∈ A veya x ∈ B (veya hariç) x ∉ A Δ B ancak ve ancak x ∈ A ⇔ x ∈ Bbu nedenle iki kümenin simetrik farkı, ancak ve ancak iki küme eşitse boştur:
A Δ B = ∅ eğer ve ancak A = B ise . Simetrik farkın özellikleriSimetrik farkın işleyişi ile sağlanan U parçalarının kümesi, nötr eleman için ∅ olan ve U'nun her bir alt kümesinin kendi zıttı olduğu, yani tüm A , B , C alt kümeleri için olan bir değişmeli gruptur. arasında U elimizde:
Bir sonucu düzgünlüğü: if bir Δ B = A Δ C , o zaman B = C .
Simetrik farka ek olarak, kesişme ile sağlanan U parçalarının kümesi, tek bir değişmeli halkadır , yani kesişimin birleşme ve değişme özelliklerine ek olarak ve U'nun nötr bir eleman olduğu anlamına gelir.
Simetrik fark, birleşimden farklı olarak, kesişme açısından dağınık değildir.
Simetrik fark olarak tanımlanan bir işlemin (kesişme ve tamamlayıcıya geçişin birleşimiyle birlikte), bazen Boole halkası olarak adlandırılan bir halka yapısını tanımlamaya izin vermesi Boole cebirlerinin genel bir özelliğidir. Tüm Boole cebirlerinde ortak olan diğer özellikler şu şekilde doğrulanır:
Bir C = U Δ A ve bu nedenle bir C Δ bir = u .veya ( A Δ B ) c = A c Δ B = A Δ B c .
Aksiyomatik bir bakış açısına göre, küme teorisinde önceki her şey , özellikle tanıtılan yapıların benzersizliğini garanti eden genişleme aksiyomundan (iki kümenin eşitliği) ve bunların varlığını garanti eden anlama aksiyomlarının şemasından gelişir. tüm tanıtılan kümesi bir bir alt kümesi olarak tanımlanmaktadır verilen dizi A.B.D.