Bir kümenin parçalarının cebiri

Kavşağın özellikleri, birliğinkilere benzer. Bunların ikili olduklarını söylüyoruz, çünkü onları birleşme işaretini kesişme işaretiyle değiştirerek ve gerekirse ∅ ve U , dahil etme ve onun karşılığını değiştirerek elde ederiz . Tüm alt-gruplar için bir , B , C ve U aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• (ilişkilendirilebilirlik): Birkaç kümenin kesişmesinin sonucu, işlemlerin yapıldığı sıraya bağlı değildir:

(AT∩B)∩VS=AT∩(B∩VS){\ displaystyle (A \ cap B) \ cap C = A \ cap (B \ cap C)}

• (değişme): iki kümenin kesişimi, bu iki kümenin alındığı sıraya bağlı değildir.

AT∩B=B∩AT{\ displaystyle A \ cap B = B \ cap A}

• (idempotence): herhangi bir kümenin kendisiyle kesişimi bu kümeyi verir

AT∩AT=AT{\ displaystyle A \ cap A = A}

• (Emici Ø): boş set ile herhangi bir setin kesişimi boştur

AT∩∅=∅{\ displaystyle A \ cap \ varnothing = \ varnothing}

• U nötr: U ∩ A = A .

Grubu A ∩ B ise daha düşük bağlanmış iki set dahil edilmesi için bir ve B , yani, dahildir A ve B , ve aynı zamanda yer alan herhangi bir kümesini içeren A ve B  :

• A ∩ B ⊂ A ,   A ∩ B ⊂ B   ve ∀ C [( C ⊂ A ve C ⊂ B ) ⇒ C ⊂ A ∩ B ].

Bu, dahil etmenin bu sefer kesişme noktasından tanımlanmasına izin verir:

DAĞILMA

İki birleşim ve kesişme işlemi biri diğerine göre dağıtılır , yani tüm A , B , C kümeleri için aşağıdaki iki özelliğe sahibiz  :

• (kesişimin birleşmeye göre dağılımı: iki kümenin birleşiminin üçüncü bir kümeyle kesişimi, ilk iki kümenin her birinin üçüncü ile kesişme noktasının birleşimine eşittir:

AT∩(B∪VS)=(AT∩B)∪(AT∩VS){\ displaystyle A \ cap (B \ fincan C) = (A \ cap B) \ fincan (A \ cap C)}

• (birleşimin kesişme açısından dağıtımı): iki kümenin kesişme noktasının üçüncü bir küme ile birleşimi, ilk iki kümenin her birinin birleşiminin üçüncüyle kesişmesine eşittir:

AT∪(B∩VS)=(AT∪B)∩(AT∪VS){\ Displaystyle A \ fincan (B \ cap C) = (A \ fincan B) \ kap (A \ fincan C)}

İlk eşitliğin her iki yanında bir küme vardır ve bu kümelerin eşit olduğunu, yani herhangi bir elemanın ancak ve ancak ikinciye aitse ilkine ait olduğunu göstermek istiyoruz. Sırasıyla Not bir , b , c önerileri , , . Göre distributivity arasında bakımından (biz bir onaylatabilir doğruluk tablosuna sahip olduğumuz) x{\ displaystyle x}x∈AT{\ displaystyle x \ A’da}x∈BB’de {\ displaystyle x \}x∈VS{\ displaystyle x \ C}∧{\ displaystyle \ land}∨{\ displaystyle \ lor}

-de∧(b∨vs)⇔(-de∧b)∨(-de∧vs){\ Displaystyle a \ arazi (b \ lor c) \ Leftrightarrow (a \ arazi b) \ lor (a \ arazi c)}

tam olarak istenen denkliği çeviren:

x∈[AT∩(B∪VS)]⇔x∈[(AT∩B)∪(AT∩VS)] .{\ displaystyle x \ in [A \ cap (B \ cup C)] \ Leftrightarrow x \ in [(A \ cap B) \ cup (A \ cap C)] ~.}

İkinci eşitlik gösteri alışverişi, aynıdır ve . ∧{\ displaystyle \ land}∨{\ displaystyle \ lor}

Buluşma ve kesişme: genel durum

Yeniden birleşmeyi sınırlı sayıda kümeye genellemek mümkündür: ardışık ikili yeniden birleşme ile iki kümenin durumuna geri dönüyoruz ve yeniden birleşmenin birlikteliği, düzenin önemli olmamasını sağlar. Aynı şekilde kavşak için.

Ancak bu işlemleri zorunlu olarak sonlu olmayan bir kümeler ailesine genellemek de mümkündür .

Bir kümeler ailesinin birleşimi şu şekilde tanımlanır: (Eben)ben∈ben{\ displaystyle (E_ {i}) _ {i \ I’de}}

⋃ben∈benEben={x∈U∣∃ ben∈benx∈Eben}{\ displaystyle \ bigcup _ {i \ I} E_ {i} = \ sol \ {x \ in \ mathrm {U} \ orta \ var \ i \ I \ quad x \ içinde E_ {i} \, \ sağ \}}

Bu tanım U'ya bağlı değildir . Boş bir ailenin yeniden birleşmesi boş bir bütündür.

Bir kümeler ailesinin kesişimi şu şekilde tanımlanır: (Eben)ben∈ben{\ displaystyle (E_ {i}) _ {i \ I’de}}

⋂ben∈benEben={x∈U∣∀ben∈benx∈Eben}{\ displaystyle \ bigcap _ {i \ I} E_ {i} = \ sol \ {x \ in \ mathrm {U} \ orta \ forall i \ in I \ quad x \ in E_ {i} \ right \} }

Yukarıdaki tanım , ailenin boş olduğu durumlar dışında U kümesine bağlı değildir . ikinci durumda, boş ailenin kesişimi, tanım gereği , kesişimin özellikleriyle uyumlu kalan U referans kümesidir . Boş bir ailenin kesişimini “mutlak olarak” (referans seti olmadan) tanımlayamayız.

Yeniden birleşme ve ikili kesişimin bazı özellikleri sonsuz duruma genellenir. Artık söz konusu olan yüklemler hesabının (ve artık yalnızca önermeler hesabının değil) özellikleridir.

• Bir ailenin kesişimi ve yeniden birleşmesi, yalnızca, çağrışım, değişme ve ideopotansı genelleştiren ailenin bütün imajına bağlıdır ve doğrudan tanımdan izler;(Eben)ben∈ben{\ displaystyle (E_ {i}) _ {i \ I’de}}
• bir küme ailesinin kesişimi ( E i ) i ∈ I , kümenin alt sınırıdır { E i | i ∈ I };
• bir küme ailesinin birliği ( E i ) i ∈ I kümenin üst sınırıdır { E i | i ∈ I };
• ikili kesişim, herhangi bir yeniden birleşme ve herhangi bir kesişme üzerindeki ikili yeniden birleşme üzerine dağıtılır: AT∩⋃ben∈benBben=⋃ben∈ben(AT∩Bben){\ displaystyle A \ cap \ bigcup _ {i \ I'de} B_ {i} = \ bigcup _ {i \ I'de} (A \ cap B_ {i})}   ;    ;AT∪⋂ben∈benBben=⋂ben∈ben(AT∪Bben){\ displaystyle A \ fincan \ bigcap _ {i \ I'de} B_ {i} = \ bigcap _ {i \ I'de} (A \ fincan B_ {i})}
• daha genel olarak, eşitlik var (ki dahil hemen ama içerme kullandığı seçme aksiyomu eğer sonsuzdur) yanı sıra ikili eşitliği .⋂ben∈ben⋃j∈JbenATben,j=⋃f∈(∏ben∈benJben)⋂ben∈benATben,f(ben){\ displaystyle \ bigcap _ {i \ in I} {\ bigcup _ {j \ in J_ {i}} {A_ {i, j}}} = \ bigcup _ {f \ in \ sol (\ prod _ {i \ I} {J_ {i}} \ sağ)} {\ bigcap _ {i \ I içinde} {A_ {i, f (i)}}}}⊃{\ displaystyle \ supset}⊂{\ displaystyle \ subset}ben{\ displaystyle I}

Tamamlayıcı

Bir referans grubu U verilen tamamlayıcı bir alt kümesi içinde A için U (göre anlam U ) elemanları seti olup , U ait olmayan A . Bu ile gösterilir U - A , A , A , c düzgün ya da  : ∁AT{\ displaystyle \ tamamlayıcı A}

ATvs={x∈U∣x∉AT}{\ displaystyle A ^ {\ mathrm {c}} = \ {x \ in \ mathrm {U} \ mid x \ notin A \}}

bunun anlamı

A'nın tamamlayıcısı, U referans setine bağlıdır . Aynı zamanda iki eşitlikle de karakterize edilir:

Ek geçiş işlemi, yani ( A c ) c = A demektir .

De Morgan Kanunları

Tamamlayıcıya geçiş, dahil etme ilişkisini tersine çevirir:

ve bu nedenle, üst sınır ve alt sınır olan birliği ve kesişimi değiş tokuş eder, bunlar De Morgan'ın yasalarıdır  :

U'nun birleşme ve kesişme ikili işlemleriyle sağlanan parçaların kümesi gibi, tamamlayıcıya geçme işleminin ve iki ayırt edici öğenin ∅ ve U'nun sıralı bir yapısı , bu işlemlerin sıralanan özelliklerini karşılar. Şimdiye kadar Boole cebri denir .

Fark ve simetrik fark

Fark

Grubu farkı arasında A ve B gösterilen "  A \ B  " ( "oku  bir eksi B  elemanlarının setidir") A ait olmayan B , yani:

AT∖B={x∈AT∣x∉B}{\ displaystyle A \ setminus B = \ {x \ in A \ mid x \ notin B \}}

Farkı A ve B olarak U tamamlayıcı tanımlanmış olan bir ∩ B c , ve sonra, ( bir ∩ B c ) C = A C ∪ B .

Eğer B dahildir A , daha sonra bir \ B de yazılmıştır “  A - B  ” (yine “oku  bir eksi B  ve denir”) tamamlayıcı için B içinde A (ya da nispeten için A ). Yukarıda U'ya göre tamamlayıcı olan tamamlayıcı kavramını buluyoruz  :

AT∖B=AT-B=∁ATB={x∈AT∣x∉B}{\ displaystyle A \ setminus B = AB = \ tamamlayıcı _ {A} B = \ {x \ in A \ mid x \ notin B \}}

Farkın özellikleri

Sahibiz :

x ∈ A \ B   ancak ve ancak   x ∈ A ve x ∉ B x ∉ A \ B   ancak ve ancak   x ∈ A ⇒ x ∈ B

ve bu yüzden :

Bir \ B = sadece ve sadece ∅   bir ⊂ B .

Farkın özellikleri, tanımından ve kesişme ile tamamlayıcının birleşiminden elde edilir. Örneğin, birincisi bir dizi kesişimdir, ikincisi ise bir De Morgan yasasını ve kesişimin birleşim üzerindeki dağılımını kullanır.

(AT∩B)∖VS=AT∩(B∖VS)=(AT∖VS)∩(B∖VS){\ displaystyle (A \ cap B) \ setminus C = A \ cap (B \ setminus C) = (A \ setminus C) \ cap (B \ setminus C)} AT∖(B∩VS)=(AT∖B)∪(AT∖VS){\ displaystyle A \ setminus (B \ cap C) = (A \ setminus B) \ fincan (A \ setminus C)}.

Simetrik fark

Simetrik bir fark bir A ve B "olarak gösterilmiştir,  bir Δ B  " ( "oku  bir delta B  ") ya ait elemanları seti olup , A ya da B , ancak aynı zamanda her ikisi de. A ∪ B ve A ∩ B'nin farkıdır . Çeşitli şekillerde yazılabilir:

ATΔB=(AT∪B)∖(AT∩B)=(AT∖B)∪(B∖AT)=(AT∩Bvs)∪(B∩ATvs){\ displaystyle A \, \ Delta \, B = (A \ fincan B) \ setminus (A \ cap B) = (A \ setminus B) \ fincan (B \ setminus A) = (A \ cap B ^ {\ mathrm {c}}) \ cup (B \ cap A ^ {\ mathrm {c}})}.

Sahibiz :

x ∈ A Δ B   ancak ve ancak x ∈ A veya x ∈ B (veya hariç) x ∉ A Δ B   ancak ve ancak   x ∈ A ⇔ x ∈ B

bu nedenle iki kümenin simetrik farkı, ancak ve ancak iki küme eşitse boştur:

A Δ B = ∅ eğer ve ancak   A = B ise . Simetrik farkın özellikleri

Simetrik farkın işleyişi ile sağlanan U parçalarının kümesi, nötr eleman için ∅ olan ve U'nun her bir alt kümesinin kendi zıttı olduğu, yani tüm A , B , C alt kümeleri için olan bir değişmeli gruptur. arasında U elimizde:

• (ilişkilendirilebilirlik): Üç kümenin simetrik farkı, işlemlerin gerçekleştirildiği sıraya bağlı değildir, parantezler gerekli değildir:

(ATΔB)ΔVS=ATΔ(BΔVS){\ displaystyle (A \, \ Delta \, B) \, \ Delta \, C = A \, \ Delta \, (B \, \ Delta \, C)} ve A Δ B Δ C yazabiliriz .

• (değişme): iki kümenin simetrik farkı, bu kümelerin alındığı sıraya bağlı değildir:

ATΔB=BΔAT{\ displaystyle A \, \ Delta \, B = B \, \ Delta \, A}

• Ø nötr bir elementtir: boş set ile başka bir setin simetrik farkı bu seti verir:

ATΔ∅=AT{\ displaystyle A \, \ Delta \, \ varnothing = A}

• Her alt küme kendi zıddıdır: herhangi bir kümenin kendisiyle simetrik farkı boş kümeyi verir:

ATΔAT=∅{\ displaystyle A \, \ Delta \, A = \ varnothing}

Bir sonucu düzgünlüğü: if bir Δ B = A Δ C , o zaman B = C .

Simetrik farka ek olarak, kesişme ile sağlanan U parçalarının kümesi, tek bir değişmeli halkadır , yani kesişimin birleşme ve değişme özelliklerine ek olarak ve U'nun nötr bir eleman olduğu anlamına gelir.

• ∩'ya göre ∩ dağılımı: Bir kümenin diğer iki kümenin simetrik farkı ile kesişimi, ilk kümenin diğer ikisinin her biriyle kesişimlerinin simetrik farkına eşittir:

AT∩(BΔVS)=(AT∩B)Δ(AT∩VS){\ displaystyle A \ cap (B \, \ Delta \, C) = (A \ cap B) \, \ Delta \, (A \ cap C)}.

Simetrik fark, birleşimden farklı olarak, kesişme açısından dağınık değildir.

Simetrik fark olarak tanımlanan bir işlemin (kesişme ve tamamlayıcıya geçişin birleşimiyle birlikte), bazen Boole halkası olarak adlandırılan bir halka yapısını tanımlamaya izin vermesi Boole cebirlerinin genel bir özelliğidir. Tüm Boole cebirlerinde ortak olan diğer özellikler şu şekilde doğrulanır:

Bir C = U Δ A   ve bu nedenle   bir C Δ bir = u .

veya ( A Δ B ) c = A c Δ B = A Δ B c .

Aksiyomatik yönler

Aksiyomatik bir bakış açısına göre, küme teorisinde önceki her şey , özellikle tanıtılan yapıların benzersizliğini garanti eden genişleme aksiyomundan (iki kümenin eşitliği) ve bunların varlığını garanti eden anlama aksiyomlarının şemasından gelişir. tüm tanıtılan kümesi bir bir alt kümesi olarak tanımlanmaktadır verilen dizi A.B.D.

Notlar ve referanslar

• Bu makale kısmen veya tamamen “ Kurulum işlemi  ” başlıklı makaleden alınmıştır  (yazar listesine bakınız ) .

1. (in) Robert L. Vaught , Küme Teorisi: Giriş , Birkhauser ,2001, 2 nci  baskı. ( 1 st  ed. 1985) ( Online okuma ) , s.  21.
2. Ancak küme farkı için bu gösterim, cebirsel farkla karışıklığa yol açabilir . Örneğin: while .[0,1]∖[0,1]=∅{\ displaystyle [0,1] \ setminus [0,1] = \ varnothing}{x-y∣x,y∈[0,1]}=[-1,1]{\ displaystyle \ {xy \ mid x, y \ in [0,1] \} = [- 1,1]}

Ayrıca görün

• Naif küme teorisi
• Cebiri ayarla
• Boole cebri (mantık)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">