Karmaşık bir sayının argümanı
Bir bağımsız değişken bir bölgesinin sıfır olmayan karmaşık sayı z (bir ölçüsüdür radyan nedenle modülo 2π) arasında bir açı arasında yarı satır pozitif reel sayı (arasında X - ekseni ) ve orijinden elde edilen ve nokta geçirerek z ile temsil edilir (yandaki şekle bakın).
Tanım
Sıfır olmayan bir karmaşık sayı z verildiğinde , z'nin argümanı , açının bir ölçüsüdür (radyan cinsinden, dolayısıyla modulo 2π):
(Öx→,ÖM→){\ displaystyle ({\ overrightarrow {Ox}}, \; {\ overrightarrow {OM}})}burada M görüntüsü olan z de kompleks düzlemde , Eklerin yani noktası z .
Aynı şekilde , z'nin bir argümanı, şöyle bir gerçek sayıdır :
θ{\ displaystyle \ theta}
çünküθ=ℜ(z)|z|vegünahθ=ℑ(z)|z|{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {\ Re (z)} {| z |}} \ quad {\ text {et}} \ quad \ sin \ theta = {\ frac {\ Im (z)} {| z |}}},
burada , ve sırası ile , gerçek ve sanal parça ve modül arasında z .
ℜ(z){\ displaystyle \ Re (z)}ℑ(z){\ displaystyle \ Im (z)}|z|{\ displaystyle \ sol | z \ sağ |}
Genellikle, karmaşık sayı z'nin bir argümanını basitleştirilmiş bir şekilde şu şekilde gösteririz:
argümanz=θ{\ displaystyle \ arg z = \ theta}veya daha doğrusu:
argümanz≡θmod2π{\ displaystyle \ arg z \ equiv \ theta {\ bmod {2 \ pi}}}.
Not: İngilizce, bazen denilen sahne veya genliği karmaşık sayının: .
ph(z){\ displaystyle \ mathrm {ph} (z)}
Hesaplama formülleri
- Eğer Z bir değil saf hayali , burada bir konjugat ve z ve bu nedenle:
bronzlaşmak(argümanz)=ℑ(z)ℜ(z)=z-z¯ben(z+z¯){\ displaystyle \ tan (\ arg z) = {\ frac {\ Im (z)} {\ Re (z)}} = {\ frac {z - {\ bar {z}}} {\ mathrm {i} \ left (z + {\ bar {z}} \ sağ)}}}z¯{\ displaystyle {\ bar {z}}}eğer , .ℜ(z)>0{\ displaystyle \ Re (z)> 0}argümanz≡Arctanℑ(z)ℜ(z)≡Arctanz-z¯ben(z+z¯)mod2π{\ displaystyle \ arg z \ equiv \ arctan {\ frac {\ Im (z)} {\ Re (z)}} \ equiv \ arctan {\ frac {z - {\ bar {z}}} {\ mathrm { i} \ left (z + {\ bar {z}} \ sağ)}} {\ bmod {2 \ pi}}}
- Daha genel olarak, sıfır olmayan karmaşık sayı z'nin argümanı tamamen şu şekilde belirlenebilir:
argümanz={2Arctanℑ(z)ℜ(z)+|z|Eğer z∉R-πEğer z∈R-∗.{\ displaystyle \ arg z = {\ {vakalar} 2 \ arctan {\ frac {\ Im (z)} {\ Re (z) + \ sol | z \ sağ |}} ve {\ text {si}} başlar z \ notin \ mathbb {R} _ {-} \\\ pi & {\ text {si}} z \ in \ mathbb {R} _ {-} ^ {*} {\ text {.}} \ end { vakalar}}}
Özellikleri
Let z , z 1 ve Z 2 olması sıfır olmayan kompleksleri. Elimizde :
mod2π{\ displaystyle {\ bmod {2 \ pi}}}
argüman(z1z2)≡argümanz1+argümanz2{\ displaystyle \ arg (z_ {1} z_ {2}) \ equiv \ arg z_ {1} + \ arg z_ {2}}.
Özellikle :
- herhangi bir gerçek için vardır sıfırdan:argüman(-dez)≡{argümanzEğer -de>0(argümanz)+πEğer -de<0 ;{\ displaystyle \ arg (az) \ equiv {\ başlar {vakalar} \ arg z & {\ text {si}} a> 0 \\ (\ arg z) + \ pi & {\ text {si}} a < 0 {\ text {;}} \ end {vakalar}}}
- tüm göreli tam sayı n : .argüman(zdeğil)≡değilargümanz{\ displaystyle \ arg (z ^ {n}) \ eşdeğeri n \ arg z}
Geometri uygulamaları
Eğer bir , B , C ve D , dört nokta, iki iki ile ilgili eklerinin kompleks düzleminden farklı olan bir , b , c ve d , daha sonra:
(ATB→,VSD→)≡argümand-vsb--demod2π{\ displaystyle ({\ overrightarrow {AB}}, \; {\ overrightarrow {CD}}) \ equiv \ arg {\ frac {dc} {ba}} {\ bmod {2 \ pi}}}.
Notlar ve referanslar
-
(in) Matematik Sözlük , 2002, "faz".
-
(in) Konrad Knopp ve Frederick Bagemihl, Fonksiyonlar Teorisi Bölüm I ve II , Dover Yayınları,1996, 150 p. ( ISBN 978-0-486-69219-7 ) , s. 3.
İlgili Makaleler
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">