Sadece rağmen otomorfizm vücut arasında ℝ olan kimlik (gösterdiği sonuç Gaston Darboux 1880 yılında) ve tek vücut otomorfizmalar devam etmek ℂ kimlik ve vardır konjugasyon ( Julian Coolidge 1924), kullanım seçme aksiyomu (iki kez) bize sağlar Sürekli olmayan ℂ alanlarının diğer otomorfizmlerini inşa edin (bu tür otomorfizmlerin varlığı Richard Rado tarafından Ernst Steinitz'in 1910 tarihli genel sonuçlarından gösterildi , ancak aşağıdaki yapı 1947'de Hyman Kestelman tarafından bağışlandı).
E , √ 2 içermeyen ℂ alt alanlarının kümesi olsun . E boş değildir (çünkü örneğin ℚ içerir ) ve dahil edilerek (kısmen) sıralanır . Bunun bir endüktif küme olduğunu kolayca doğrulayabiliriz . Lemma Zorn'a göre maksimum K elementine sahiptir .
Nin maksimal K bize gösterilmesini sağlar uzatma K ( √ 2 ) → ℂ ise cebirsel veya ℂ olduğu cebirsel olarak kapalı ; K ( √ 2 ) ' nin herhangi bir alan otomorfizmi bu nedenle ℂ alan otomorfizmine uzanır (bu sonuç klasiktir ve aynı zamanda seçim aksiyomunu kullanır ). K ( √ 2 ) 'nin K noktasını noktaya sabitlemesinin ve √ 2'yi - √ 2'ye göndermesinin otomorfizmini göz önünde bulundurarak, daha sonra kimlik ve konjugasyon dışında bir ℂ alan otomorfizmi elde ederiz: bu nedenle sürekli değildir ve hatta tüm noktalarda süreksizdir. . Biz anlamak o olmadığını ölçülebilir ve ℝ imajı olduğuna yoğun : böylece, seçim aksiyomu ℝ izomorftur ℂ yoğun alt vücut varlığını gerektirir.
(tr) Paul B. Yale , " Karmaşık sayıların otomorfizmaları " , Math. Mag. , cilt. 39,1966, s. 135-141 ( çevrimiçi okuyun )( Lester Randolph Ford Ödülü, 1967)