Bir yüzüğün karakteristiği
Olarak cebri , özelliği a (yekpare) bir halka A tanım olarak sipariş aditif kanunu nötr element bu sırada sonlu ise çarpımsal hukuk; bu sıra sonsuz ise, halkanın özelliği tanım gereği sıfırdır .
Üniter bir halka için ( A , +, ×), 0 A "+" nın nötr öğesini ve 1 A "×" i belirtiriz.
Bir A halkasının karakteristiği bu nedenle en küçük tamsayı n > 0'dır, öyle ki
değil.1AT = 1AT+1AT+⋯+1AT⏟değilşartlar = 0AT {\ displaystyle {\ n.1_ {A} ~ = ~ \ underbrace {1_ {A} + 1_ {A} + \ cdots + 1_ {A}} _ {n \; {\ text {terimler}}} ~ = ~ 0_ {A}} ~}![{\ displaystyle {\ n.1_ {A} ~ = ~ \ underbrace {1_ {A} + 1_ {A} + \ cdots + 1_ {A}} _ {n \; {\ text {terimler}}} ~ = ~ 0_ {A}} ~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a7c7f5624eb9825453cfb342adf57e0004c6a38)
böyle bir tamsayı varsa. Aksi takdirde (diğer bir deyişle, 1 A sonsuz sıradaysa), karakteristik sıfırdır.
Not. Bu tanım literatür ile tutarlıdır XXI inci yüzyılın . Bourbaki , bir yüzüğün karakteristiğini ancak bu yüzük bir gövde içeriyorsa tanımlamayı açıkça söylüyor. Lang , n'nin oluşturduğu ideal Z'yi dikkate alır, öyle ki n .1 A = 0; Bu ideal bir asal sayı ise, bu formun demek olan bir Z burada bir sıfır ya da bir asal sayı , bu karakteristik tanımlar A numarası olarak bir . Başka türlü tanımlamaz.
Homomorfizmaları Z de A
Eşsiz vardır morfizmaları üniter halkalar arasından içinde A ( gerçekten de bir ilk amacı, halkaların kategori). Tanım gereği, n kesinlikle pozitif bir tamsayı ise, bizde:
f{\ displaystyle f}
Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}
Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}![\ mathbb {Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc)
f(değil)=1AT+⋯+1AT{\ displaystyle f (n) = 1_ {A} + \ cdots + 1_ {A} \,}![f (n) = 1_ {A} + \ cdots + 1_ {A} \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3875d227d86c1983e3784d88dbb8f54814bd6ed5)
,
burada 1 A n defa tekrarlanır . Yana a, Öklid halka , çekirdek a, temel ideal tanımı gereği, ve karakteristik bir A pozitif bir jeneratördür. Daha açık bir şekilde, çekirdeği ideal olacak şekilde benzersiz doğal sayı c'dir .
Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}
f{\ displaystyle f}
f{\ displaystyle f}
vsZ{\ displaystyle c \ mathbb {Z}}![{\ displaystyle c \ mathbb {Z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bd104958fe41581112dfaf37a5b2f514c391eb1)
Halkalar üzerindeki özellikler
- Karakteristik A , üniter bir alt halka A olarak negatif olmayan benzersiz c tamsayısıdır .Z/vsZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / c \ mathbb {Z}}
![{\ displaystyle \ mathbb {Z} / c \ mathbb {Z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1298719d57fde46aaafae4a61afae45fda838587)
Bu, yukarıdaki tanımdan ve çarpanlara ayırma teoreminden gelir . Özellikle şu sonuca varıyoruz:
- Eğer oda üniter bir alt halka A , daha sonra A ve B , aynı özelliğe sahiptir.
- Sıfır karakteristik halkalar, üniter bir alt halka olan halkalardır. Bu nedenle sonsuzdurlar.Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}
![\ mathbb {Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449494a083e0a1fda2b61c62b2f09b6bee4633dc)
Bu alan için geçerlidir ait
karmaşık sayılar bu tür alan olarak ve birim alt halkaların hepsi, bir
gerçek sayılar veya alanın içinde
rasyonel sayılar .
VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}
halkanın sıfır özelliği vardır.
Gerçekten de homomorfizm artıyor. Kesin olarak pozitif herhangi bir tam sayı, 0'dan farklı olarak, halkanın kesinlikle pozitif bir öğesine gönderilir.
Z→AT{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ - A}![{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ - A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcf64d6f11aeb1d91b42b8ff852b81aa0fad6cfa)
Bu, örneğin (ve birim alt halkaları) durumudur .
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}![\ mathbb {R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc)
Gerçekte, eğer bir integral halkanın bir birim alt-halkası ise, o zaman kendisi integraldir, dolayısıyla c sıfır veya asaldır.
Z/vsZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / c \ mathbb {Z}}
- Morfizmanın ünitesi için halkaları g : A → B , karakteristik B Bunun bölme A .
Gerçekten de, birim halkaların homomorfizması bileşiği homomorfizma g ∘ f . Eğer p ve q , A ve B'nin ilgili karakteristikleriyse, g ∘ f'nin çekirdeği bu nedenle veya g ( f ( p )) = g (0 A ) = 0 B'dir , yani
p içerir , diğer bir deyişle q böler s .
Z→B{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ - B}
qZ{\ displaystyle q \ mathbb {Z}}
qZ{\ displaystyle q \ mathbb {Z}}![{\ displaystyle q \ mathbb {Z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e91747ef4303c85bbfc0db633a8c893c46d587f2)
- Eğer bir a, değişmeli bir halka , ve karakteristik bir asal sayı ise p , o zaman tüm elemanlar için , x + y de A için, ( x + y ) p = X P + y s . X Associates x p'ye uygulama, Frobenius endomorfizmi adı verilen bir endomorfizm halkasıdır .
Sonuç, Newton'un iki terimli formülünden ve p'nin genişlemede görünen iki terimli katsayıları böldüğü gerçeğinden hemen çıkar .
Gövdelerdeki özellikler
Herhangi bir integral halkaya gelince, bir K alanının karakteristiği ya 0 ya da bir asal sayı p'dir . Ayrıca, ikinci durumda, herhangi bir halka olarak sıfır olmayan karakteristik p , K bir kopyasını içerir (burada itibaren olan p asal) bir saha: bu benzersiz sonlu alan F p ile s elemanları.
Z/pZ{\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}
- Boş karakteristiğe sahip herhangi bir alan, öğesinin bir kopyasını içerir .Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}
![\ mathbb {Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a)
Aslında, böyle bir K alanı zaten (sıfır karakteristiğine sahip herhangi bir halka gibi) bir kopyasını içerir . Yana K bir alandır, bu nedenle içerdiği fraksiyonların alanını ait yani alanında, rasyonel insanların. Bu nedenle herhangi bir cisim, minimal bir alt gövdeye sahiptir, ana gövdesi , sonlu bir F p alanına veya cisme izomorfiktir (karakteristiğine göre) .
Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}
Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}
Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}
Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}![\ mathbb {Q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5909f0b54e4718fa24d5fd34d54189d24a66e9a)
- Herhangi bir sonlu alanın karakteristik için bir asal sayı ve kardinal için bu sayının bir kuvveti vardır.
Eğer K sonlu bir alan o vardır, sonlu bir halka, sıfır olmayan bir özelliği gibi. Yukarıda tarafından, kendi karakteristik nedenle asal sayıdır p ve K alanının bir kopyasını içerir F p . Aslında K , F p'de bir vektör uzayıdır . Kardinalitesi So s kendi boyutunun gücüne (bu nedenle, diğer bir deyişle, zorunlu olarak sınırlı olan K a, sonlu uzantısı arasında F p ).
-
Herhangi bir asal sayı p için , p karakteristiğinin sonsuz alanları vardır :
örneğin alan rasyonel fraksiyonları üzerinde F , p ya da cebirsel kapağın arasında F , p .
Notlar ve referanslar
-
Örneğin (in) , Joseph Gallian , Çağdaş Özet Albegra , Cengage2010, 656 s. ( ISBN 978-0-547-16509-7 , çevrimiçi okuyun ) , s. 252-253.
-
N. Bourbaki, Cebir, bölüm 4 ila 7 , Masson ,bin dokuz yüz Seksen bir, s. V.2.
-
Serge Lang, Cebir , Dunod ,2004, s. 97.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">