Newton'un binom formülü
Binom teoreminin formül bir formül matematiksel tarafından verilen Isaac Newton bir bütün güç gelişimi bir herhangi birine bulmak için çift . Binom formülü veya Newton formülü olarak da adlandırılır .
Devletler
Eğer x ve y , bir iki unsurlarıdır halka (örneğin iki gerçek veya karmaşık sayılar , iki polinomları , iki kare matris aynı boyutta, vs.) gidip (yani bu şekilde xy = yx - matrisler için örnek: y = kimlik matrisi ) sonra, herhangi bir doğal sayı için n ,
(x+y)değil=∑k=0değil(değilk)xkydeğil-k=∑k=0değil(değilk)xdeğil-kyk{\ displaystyle (x + y) ^ {n} = \ toplam _ {k = 0} ^ {n} {n \ k seçin} x ^ {k} y ^ {nk} = \ toplam _ {k = 0} ^ {n} {n \ k'yi seçin} x ^ {nk} y ^ {k}},
sayılar nerede
(değilk)=değil!k!(değil-k)!{\ displaystyle {n \ k seç} = {\ frac {n!} {k! \, (nk)!}}}
(bazen de not edildi Ck
n) binom katsayılarıdır , “! »Gösteren faktör ve x 0 halkanın birim elemanı .
y by - y formülünde yer değiştirerek şunu elde ederiz:
(x-y)değil=(x+(-y))değil=∑k=0değil(değilk)xdeğil-k(-y)k{\ displaystyle (xy) ^ {n} = \ sol (x + (- y) \ sağ) ^ {n} = \ toplam _ {k = 0} ^ {n} {n \ k seçin} x ^ {nk } (-y) ^ {k}}.
Örnekler:
değil=2,(x+y)2=x2+2xy+y2,(x-y)2=x2-2xy+y2,değil=3,(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3,(x-y)3=x3-3x2y+3xy2-y3,değil=4,(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4,değil=7,(x+y)7=x7+7x6y+21x5y2+35x4y3+35x3y4+21x2y5+7xy6+y7.{\ displaystyle {\ başlangıç {dizi} {lclcl} n = 2, & (x + y) ^ {2} & = x ^ {2} + 2xy + y ^ {2}, & (xy) ^ {2} & = x ^ {2} -2xy + y ^ {2}, \\ n = 3, & (x + y) ^ {3} & = x ^ {3} + 3x ^ {2} y + 3xy ^ { 2} + y ^ {3}, & (xy) ^ {3} & = x ^ {3} -3x ^ {2} y + 3xy ^ {2} -y ^ {3}, \\ n = 4, & (x + y) ^ {4} & = x ^ {4} + 4x ^ {3} y + 6x ^ {2} y ^ {2} + 4xy ^ {3} + y ^ {4}, && \ \ n = 7, & (x + y) ^ {7} & = x ^ {7} + 7x ^ {6} y + 21x ^ {5} y ^ {2} + 35x ^ {4} y ^ {3 } + 35x ^ {3} y ^ {4} + 21x ^ {2} y ^ {5} + 7xy ^ {6} + y ^ {7}. && \ end {dizi}}}
gösteriler
İfadenin formülünü tümevarımla kanıtlayabiliriz .
Daha sezgisel bir kanıt, binom katsayısının bir n- eleman kümesindeki k- eleman parçalarının sayısı olduğu gerçeğini kullanır . ifadeyi geliştirdiğimizde
(değilk){\ displaystyle \ textstyle {n \ k'yi seçin}}
(x+y)değil=(x+y)(x+y)⋯(x+y)(değil zaman){\ görüntü stili (x + y) ^ {n} = (x + y) (x + y) \ cdots (x + y) \ qquad (n {\ metin {kez}})},
x j y k biçimindeki tek terimlilerin bir toplamını elde ederiz ; burada j ve k , sırasıyla, x veya y'yi genişleterek seçtiğimiz sayıları temsil eder . Biz ille sahip k - j = n , biz seçmeyin her zamandan beri y , biz seçim x . Son olarak, yukarıda çarpılan n ifadeler ( x + y ) arasından k çarpı y değerini seçmenin farklı yolları olduğundan , x n – k y k tek terimlisi açılımda katsayılı olarak görünmelidir .
(değilk){\ displaystyle \ textstyle {n \ k'yi seçin}}(değilk){\ displaystyle \ textstyle {n \ k'yi seçin}}
Tümevarımla ispat
Tümevarım yoluyla özelliğin doğru olduğunu doğrulamaya çalışıyoruz ve öyle ki ( herhangi bir halka nerede )
(de+b)değil=∑k=0değil(değilk)dekbdeğil-k{\ displaystyle (a + b) ^ {n} = \ toplam _ {k = 0} ^ {n} \ textstyle {n \ k seç} a ^ {k} b ^ {nk}}∀değil∈DEĞİL{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}}∀{de,b}∈AT2{\ displaystyle \ forall \ {a, b \} \ in \ mathbb {A} ^ {2}}deb=bde{\ görüntü stili ab = ba}AT{\ displaystyle \ matematik {A}}
başlatma
Evet değil=0{\ görüntü stili n = 0}
(de+b)0=1{\ görüntü stili (a + b) ^ {0} = 1}
(00)de0b0-0=1{\ displaystyle \ textstyle {0 \ 0 seçin} a ^ {0} b ^ {0-0} = 1}
Bu nedenle özellik iyi başlatıldı
kalıtım
Özelliğin rütbeye kadar doğru olduğunu varsayıyoruz değil{\ görüntü stili n}
(de+b)değil+1=(de+b).(de+b)değil{\ görüntü stili (a + b) ^ {n + 1} = (a + b). (a + b) ^ {n}}
⇒(de+b).∑k=0değil(değilk)dekbdeğil-k{\ displaystyle \ Sağ Ok (a + b). \ toplam _ {k = 0} ^ {n} \ textstyle {n \ k seç} a ^ {k} b ^ {nk}}
⇒(∑k=0değil(değilk)dek+1bdeğil-k)+(∑k=0değil(değilk)dekbdeğil+1-k){\ displaystyle \ Rightarrow \ sol (\ toplam _ {k = 0} ^ {n} \ textstyle {n \ k seçin} a ^ {k + 1} b ^ {nk} \ sağ) + \ sol (\ toplam _ {k = 0} ^ {n} \ metin stili {n \ k'yi seçin} a ^ {k} b ^ {n + 1-k} \ sağ)}
poz veriyoruz p=k+1{\ görüntü stili p = k + 1}
⇒(∑p=1değil+1(değilp-1)depbdeğil+1-p)+(∑k=0değil(değilk)dekbdeğil+1-k){\ displaystyle \ Rightarrow \ sol (\ toplam _ {p = 1} ^ {n + 1} \ textstyle {n \ p-1 seç} a ^ {p} b ^ {n + 1-p} \ sağ) + \ sol (\ toplam _ {k = 0} ^ {n} \ metin stili {n \ k seçin} a ^ {k} b ^ {n + 1-k} \ sağ)}
⇒(∑k=1değil((değilk-1)+(değilk))dekbdeğil+1-k)+(değil0)de0bdeğil+1+(değildeğil)dedeğil+1b0{\ displaystyle \ Rightarrow \ sol (\ toplam _ {k = 1} ^ {n} \ sol (\ textstyle {n \ k-1 seç} + \ textstyle {n \ k seç} \ sağ) a ^ {k} b ^ {n + 1-k} \ sağ) + \ textstyle {n \ 0 seçin} a ^ {0} b ^ {n + 1} + \ textstyle {n \ n seçin} a ^ {n + 1} b ^ {0}}
⇒(∑k=1değil(değil+1k)dekbdeğil+1-k)+(değil+10)de0bdeğil+1+(değil+1değil+1)dedeğil+1b0{\ displaystyle \ Rightarrow \ sol (\ toplam _ {k = 1} ^ {n} \ textstyle {n + 1 \ seç k} a ^ {k} b ^ {n + 1-k} \ sağ) + \ textstyle {n + 1 \ 0 seçin} a ^ {0} b ^ {n + 1} + \ textstyle {n + 1 \ n + 1 seçin} a ^ {n + 1} b ^ {0}}
⇒(∑k=0değil+1(değil+1k)dekbdeğil+1-k){\ displaystyle \ Rightarrow \ sol (\ toplam _ {k = 0} ^ {n + 1} \ textstyle {n + 1 \ k seçin} a ^ {k} b ^ {n + 1-k} \ sağ)}
Sonuç
a ve b'de verilen koşullarla , özellik doğrudur .
(de+b)değil=∑k=0değil(değilk)dekbdeğil-k{\ displaystyle (a + b) ^ {n} = \ toplam _ {k = 0} ^ {n} \ textstyle {n \ k seç} a ^ {k} b ^ {nk}}∀değil∈DEĞİL{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}}
genellemeler
Endüksiyon ile dayanıklı kanıtlamak için modellenebilir Leibniz'in formülü için n- inci türevinin bir ürün elde edilmiştir.
Varyantının kombinatoryal yöntemi , polinom kimliğinin genelleştirilmesini mümkün kılar.
(X+Y)değil=∑k=0değil(değilk)Xdeğil-kYk{\ displaystyle (X + Y) ^ {n} = \ toplam _ {k = 0} ^ {n} {n \ k seçin} X ^ {nk} Y ^ {k}}
içinde
∏ben=1değil(X+Yben)=∑k=0değilσk(Y1,...,Ydeğil)Xdeğil-k{\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} (X + Y_ {i}) = \ toplam _ {k = 0} ^ {n} \ sigma _ {k} (Y_ {1}, \ ldots , Y_ {n}) X ^ {nk}},
burada σ k , temel simetrik polinomları gösterir .
Formülü, bir n tamsayısına yükseltilmiş m karmaşık terimin toplamlarına genelleştirmek de mümkündür ( Newton'un çok terimli formülü makalesine bakın ):
(∑ben=1mxben)değil=∑|k→|=değil(değilk→)∏ben=1mxbenkben{\ displaystyle \ sol (\ toplam _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} \ sağ) ^ {n} = \ toplam _ {\ sol | {\ vec {k}} \ sağ | = n} {n \ seç {\ vec {k}}} \ prod _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} ^ {k_ {i}}}
ve tamsayı olmayan üsler ( Genelleştirilmiş iki terimli formül makalesine bakın ) veya negatif tam sayılar ( Negatif iki terimli formül makalesine bakın ).
Formülü iyi seçilmiş fonksiyon halkalarına uygulamak (veya ispatı tümevarımla izleyerek) , iki değişkenli Taylor formülünün yanı sıra daha yüksek dereceli sonlu fark formülünü çıkarmamıza izin verir .
Son olarak, ombral hesabın yöntemleri , Bernoulli polinomları gibi belirli polinom dizileri için benzer formüller (üslerin indislerle değiştirildiği yerde) elde edilmesini sağlar .
literatürde
Profesör Moriarty , ünlü düşmanı Sherlock Holmes , binom teoremi ilgili bir makale yayımlamıştı.
Notlar ve referanslar
-
Aslında, bu formül bilinmekteydi X inci yüzyılda, özellikle Hint matematikçiler ( Halayudha () 'de ), Arap ve Pers ( El-Kerecî ) ve XIII inci yüzyılda, Çin matematikçi Yang Hui , bağımsız bir şekilde göstermiştir Var. 1665'te Newton, bunu tamsayı olmayan üslere genelleştirdi ( genelleştirilmiş binom formülü makalesine bakın ).
-
Bu koşul esastır ve ayrıca n = 2 formülünün geçerliliğine eşdeğerdir .
-
Klasik gösterim Wikiversité'de ( aşağıya bakınız ) ve bu alıştırmada Wikiversity'de düzeltilmiş daha orijinal bir yöntem mevcuttur .
-
Newton'un iki terimlisi: Videoda yinelemeyle ispat .
-
Newton'un iki terimlisi: Videoda sayarak gösterme .
-
Arthur Conan Doyle , Son Sorun , 1891.
Şuna da bakın:
İlgili Makaleler
bibliyografya
(tr) JL Coolidge , “ Binom Teoreminin Öyküsü ” , Amer. Matematik. Aylık , cilt. 56, n o 3,1949, s. 147-157 ( JSTOR 2305028 , çevrimiçi okuyun )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">