kalıcı mantık

Olarak matematiksel mantık , bir mantık kalıcı uzanan biçimsel mantık türüdür önerme mantığı , birinci dereceden mantığı ya da daha yüksek bir derece mantık ile yöntemleri . Bir kiplik, gerçeğin niteliklerini belirtir . Örneğin, "yağmur yağıyor" gibi bir önermeden önce bir kip gelebilir:

• Gereklidir yağar;
• Yarın yağmur yağar;
• Christopher Columbus yağmur yağdığını düşünüyor ;
• Yağmur yağdığı gösterilmiştir ;
• Yağmur yağması zorunludur .

Zamansal mantıklar , epistemik mantık (bilgi mantığı) gibi çeşitli modal mantıklar vardır . Gelen bilgisayar bilimleri , modal mantık etkileyiciliğini ve algoritmik yönleri için kullanılır. Örneğin, programları belirtmek ve ardından bunları doğrulamak için zamanlama mantığı kullanılır .

Alethic modal mantık

Alethic modal mantıkta (ya da Aristotelesçi ya da klasik) dört kiplik tanımlarız:

• gerekli (ki bu doğru olamaz), not edildi ;◻{\ görüntü stili \ Kutu}
• koşullu (yanlış olabilir), not edildi ;¬◻{\ görüntü stili \ olumsuz \ Kutu}
• mümkün (ki bu doğru olabilir), not edildi ;◊{\ görüntü stili \ Elmas}
• imkansız (ki bu yanlış olamaz), not edildi.¬◊{\ görüntü stili \ olumsuz \ Elmas}

Bu 4 modalite bağlantılıdır, sadece biri diğer üçünü tanımlamak için yeterlidir.

Sezgisel yorum (felsefi-mantık topluluğunun tamamı tarafından paylaşılmaz) aşağıdaki gibidir:

• Gerekli ≡ imkansız değil;
• Kota ≡ gerekli değil ≡ mümkün değil;
• Mümkün ≡ imkansız değil.
• İmkansız = mümkün değil.

Bu nedenle iki tekli ikili konektörü birbirinden ayırıyoruz:

• gerekli  ;◻{\ görüntü stili \ Kutu}
• mümkün .◊{\ görüntü stili \ Elmas}

◻{\ görüntü stili \ Kutu}p, p'nin zorunlu olarak doğru olduğu anlamına gelirken , p, p'nin muhtemelen doğru olduğu, yani mevcut bilgiyle uyumlu olduğu anlamına gelir. ◊{\ görüntü stili \ Elmas}

Örnekler:

• ¬◻{\ görüntü stili \ olumsuz \ Kutu} çalışma: öğrencilerin çalışması gerekli değildir;
• ¬◊{\ görüntü stili \ olumsuz \ Elmas} çalışma: öğrencilerin çalışması mümkün değildir;
• ◻¬{\ displaystyle \ Kutu \ olumsuz} trav: öğrencilerin çalışmaması gerekir;
• ◊¬{\ Displaystyle \ Elmas \ neg} trav: öğrencilerin çalışmaması mümkündür.

Alethic modal mantıkta (ya da Aristotelesçi ya da klasik), dört operatörü yalnızca birini (burada zorunluluk) ve olumsuzlamayı kullanarak ifade edebiliriz. Yani :

• İmkansız  ;◻¬{\ displaystyle \ kare \ negatif}
• Olasıdır .¬◻¬{\ displaystyle \ neg \ kare \ neg}

Gerekli bir önerme olamaz yanlış bir koymaksızın çelişki , bir contrario a koşullu önerme bir çelişki ima etmeden yanlış olabilir.

Farklı mod mantıkları

Modları aşağıdaki gibi olan diğer modal mantık türleri de kullanılır:

• epistemik (bilgiyle ilgili):
  • ajan tarafından bilinen , not edilenben{\ görüntü stili ben}VSben{\ görüntü stili C_ {i}}
  • şüpheli
  • hariç tutulan
  • Mantıklı
  • ajanlar grubunun ortak bilgisi , not edildiG{\ görüntü stili G}VSKG{\ görüntü stili CK_ {G}}
  • ajanlar grubunun paylaşılan bilgisi , not edildi (herkes biliyor)G{\ görüntü stili G}EKG{\ displaystyle EK_ {G}}
• deontik (ahlaki):
  • zorunlu , not edilen O
  • yasak , not ettim
  • izin , not edilen P
  • isteğe bağlı , F ile gösterilir
• geçici  :
  • her zaman , not edildi veya G◻{\ görüntü stili \ Kutu}
  • bir gün , not edildi , ya da bazen F◊{\ görüntü stili \ Elmas}
  • hiç not edilmedi¬◊{\ görüntü stili \ olumsuz \ Elmas}
  • yarın , not edildi X
  • U ile gösterilen ikili operatöre kadar
  • her zaman geçmişte , kaydetti H
  • bir gün geçti , not edildi P
• kanısal (inançlar üzerine):
  • ham , not edilen B
  • ajanlar grubunun ortak inancı , kaydettiG{\ görüntü stili G}VSBG{\ displaystyle CB_ {G}}
• karşı olgular  :
  • A doğru olsaydı , A'nın doğru olmadığını bildiğimiz yerde.
• dinamikler ( önermeler üzerindeki eylemlerin etkisi, a notu):
  • Bir yürütülmesine duyulmaktadır bir sonra böyle bir , p doğru belirtildiği⟨de⟩p{\ displaystyle \ langle a \ rangle p}
  • s herhangi yürütülmesi sonra doğru bir belirtildiği .[de]p{\ görüntü stili [a] p}

Modal mantığın aksiyomları

Her modal mantık, modların işleyişini tanımlayan bir dizi aksiyom ile sağlanır.

Böylece kabul edilen aksiyomlara göre farklı sistemler kurabiliriz.

• Kripke tarafından tasarlanan ve normal veya Kripke sistemi olarak adlandırılan K sistemi. Aşağıdaki iki aksiyomu kabul ediyor:
  • (K) (Kripke'nin dağılım aksiyomu);◻(AT→B)→(◻AT→◻B){\ displaystyle \ Kutu (A \ sağ ok B) \ sağ ok (\ Kutu A \ sağ ok \ Kutu B)}
  • (RN) (veya (N) veya (NEC) ) Eğer bir teorem ise, o zaman da (gereklilik çıkarım kuralı).AT{\ görüntü stili A}◻AT{\ görüntü stili \ Kutu A}

• K sistemine aksiyom (D) eklenerek tasarlanan D sistemi:
  • (D ) (Aristoteles mantığında bu,
  zorunluluğun olasılığı ima ettiğini ifade eder ).◻P→◊P{\ displaystyle \ Kutu P \ sağ ok \ Elmas P}

• Robert Feys tarafından 1937 yılında K sistemine aksiyom (T) eklenerek tasarlanan T sistemi:
  • (T) (veya (M) ): (Aristoteles mantığında bu
  , olgunun olasılığı ima ettiğini ifade eder ).P→◊P{\ displaystyle P \ sağ ok \ Elmas P}

• Clarence Irving Lewis tarafından tanımlanan S4 ve S5 sistemleri .
  • S4'ü oluşturmak için T sistemine (4) aksiyomunu ekleriz  :
    • (4) .◻p→◻◻p{\ displaystyle \ Kutu p \ sağ ok \ Kutu \ Kutu p}
  • S5'i oluşturmak için, T sistemine aksiyomu (5) ekleriz  :
    • (5) (veya (E) ) .◊p→◻◊p{\ displaystyle \ Elmas p \ sağ ok \ Kutu \ Elmas p}

• 1930 yılında Oskar Becker tarafından T sistemine (B) aksiyomu eklenerek tasarlanan B (veya Brouwérien) sistemi.
  • (B)  : .p→◻◊p{\ displaystyle p \ sağ ok \ Kutu \ Elmas p}

Birinci sistemde gösterilen her şey ikinci sistemde gösterildiğinde bir sistemin diğerinden daha zayıf olduğunu söylüyoruz, ancak tersi değil.

Bu, en zayıftan en güçlüye doğru K, T, S4 ve S5 sistemlerine öncelik verir. Aynı şekilde, K, D'den daha zayıf ve T, B'den daha zayıftır.

K'den S5'e kadar olan sistem serisi, normal modal mantığın özünü oluşturan iç içe geçmiş bir hiyerarşi oluşturur. Aksiyom (D) ise daha çok deontik, kanısal ve epistemik mantıklarda kullanılır.

Modal mantık modelleri

Kripke'nin modelleri veya olası dünya modelleri, modal mantığa anlambilim verir. Bir Kripke modeli verilerdir:

• boş olmayan bir olası dünyalar kümesinin  ;W{\ görüntü stili W}
• erişilebilirlik ilişkisi adı verilen olası dünyalar arasında ikili bir ilişki ;${\ görüntü stili R}
• Her olası dünyadaki her önerme değişkenine bir doğruluk değeri veren bir değerleme .V{\ görüntü stili V}

Bir modal operatörün semantiği, bir erişilebilirlik ilişkisinden şu şekilde tanımlanır: formül , eğer w dünyasında doğrudur ve ancak formül , w'den ilişki tarafından erişilebilen tüm dünyalarda doğruysa . ◻AT{\ displaystyle \ kare A}AT{\ görüntü stili A}${\ görüntü stili R}

Modal mantık sistemlerinin sınıflandırılması

Modal mantık sistemleri, çıkarsama kurallarına ve onları karakterize eden aksiyomlara göre düzenlenir.

Klasik modsal mantık

Klasik modal mantık sistemleri, aşağıdaki çıkarım kuralını kabul eden sistemlerdir:

($E)AT↔B◻AT↔◻B{\ displaystyle (RE) {\ frac {A \ leftrightarrow B} {\ Box A \ leftrightarrow \ Kutu B}}}

Böyle bir sisteme , sistemin aksiyomlarının adlarının olduğu türde kanonik bir ad verilmesi gelenekseldir . Eξ1ξ2⋯ξdeğil{\ displaystyle E \ xi _ {1} \ xi _ {2} \ cdots \ xi _ {n}}ξben{\ görüntü stili \ xi _ {i}}

Monotonik modsal mantık

Monotonik modal mantık sistemleri, RM çıkarım kuralını kabul eden sistemlerdir:

($M)AT→B◻AT→◻B{\ displaystyle (RM) {\ frac {A \'dan B'ye} {\ Kutu A \'dan \ Kutu B'ye}}}

Monotonik sistemler kümesi, geleneksel sistemler kümesine dahildir.

Düzenli modsal mantık

Normal modsal mantık sistemleri, RR çıkarım kuralını kabul eden sistemlerdir:

($$)(AT∧B)→VS(◻AT∧◻B)→◻VS{\ displaystyle (RR) {\ frac {(A \ kama B) \ ila C} {(\ Kutu A \ kama \ Kutu B) \ ila \ Kutu C}}}

Düzenli sistemler kümesi, monotonik sistemler kümesine dahildir.

Normal mod mantığı

Normal modsal mantık sistemleri, RK çıkarım kuralını kabul eden sistemlerdir:

($K)(AT1∧⋯ATdeğil)→B(◻AT1∧⋯◻ATdeğil)→◻B{\ displaystyle (RK) {\ frac {(A_ {1} \ wedge \ cdots A_ {n}) \ to B} {(\ Box A_ {1} \ wedge \ cdots \ Box A_ {n}) \ to \ Kutu B}}}

Normal sistemler kümesi, düzenli sistemler kümesine dahildir.

Normal sistemlerin eşdeğer ve daha yaygın bir tanımı şu şekildedir: Bir modal mantık sistemi, aksiyomu (K) varsa ve zorunluluk kuralını (RN) çıkarım kuralı olarak kabul ederse normal olarak adlandırılır:

(K)◻(AT→B)→(◻AT→◻B){\ displaystyle (K) \ Kutu (A \'dan B'ye) \ ila (\ Kutu A \ ila \ Kutu B)}

($DEĞİL)AT◻AT{\ görüntü stili (RN) {\ frac {A} {\ Kutu A}}}

Normal sistemler en çok kullanılanlardır, çünkü bunlar Kripke'nin semantiğine karşılık gelen sistemlerdir . Bununla birlikte, normal olmayan klasik mantıklar için semantik bulmak mümkündür, ancak genellikle daha zayıf özelliklere sahiptirler.

Diğer mantıklarla bağlantı

Sezgicilik kalıcı mantık olarak mantık alethic üzerine inşa edilebilir. Modal mantık, birinci dereceden mantığın bir parçasıdır.

Notlar ve referanslar

1. Jacques Paul Dubucs "geleneksel olmayan Mantık", Encyclopaedia Universalis , Cilt 13, Paris, 1990, s. 977-992.

Şuna da bakın:

İlgili Makaleler

• Kota
• İkilem
• modal kurgusalcılık
• Sahlqvist formülü
• Kanıtlanabilirlik mantığı
• deontik mantık
• Çok değerli mantık
• Gödel'in ontolojik kanıtı
• Kripke semantiği
• Löb teoremi
• Dezert-Smarandache teorisi

Dış bağlantılar

• (tr) James Garson, Modal Mantık , Stanford Felsefe Ansiklopedisi , Edward N. Zalta (ed.), 2007.
• (tr) Tablo yöntemiyle S4 ispatı , S4 ispatı
• (tr) Ross Kirsling, Modal Mantık Oyun Alanı

bibliyografya

• Patrick Blackburn, Maarten de Rijke ve Yde Venema, Modal Mantık , Cambridge University Press, 2001
• (tr) Brian F. Chellas, Modal mantık, giriş , Cambridge University Press,1980[ basımın detayı ]
• L. Fontaine, Modal mantık ve antropoloji. Kolombiya Amazonunun Yucuna Kızılderilileri arasında kurallardan söze . L'Homme , n.184, 2007, 131-153.
• P. Gochet, P. Gribomont, A. Thayse, Logique, Cilt 3: yapay zeka için yöntemler, Paris, Hermès-Lavoisier, 2000, 394s. (Ana modal mantıkların Fransızca olarak çok eksiksiz özeti).

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">