Poisson katsayısı

Tarafından (analitik) Asma Siméon Denis Poisson , Poisson oranı (aynı zamanda ana Poisson oranı) mümkün uygulanan kuvvet yönüne dik maddenin daralma karakterize kolaylaştırır.

Tanım

ν=bağıl enine büzülmebağıl boyuna uzama=(l0-l)/l0(L-L0)/L0=1-ll0LL0-1{\ displaystyle \ nu = {\ frac {\ text {göreli enine büzülme}} {\ text {göreli boyuna uzama}}} = {\ frac {(l_ {0} -l) / l_ {0}} {(L -L_ {0}) / L_ {0}}} = {\ frac {1 - {\ frac {l} {l_ {0}}}} {{\ frac {L} {L_ {0}}} - 1 }}}

En genel durumda, Poisson oranı uzamanın yönüne bağlıdır, ancak:

• izotropik malzemelerin önemli durumunda , onlardan bağımsızdır;
• bir enine izotropik  malzeme (en) durumunda, üç Poisson katsayısı tanımlanır (bunlardan ikisi bir ilişki ile bağlanır);
• ortotropik bir malzeme olması durumunda , üç ana yönün her biri için iki Poisson katsayısı (bir ilişki ile bağlantılı) tanımlanır.

Poisson oranı elastik sabitlerden biridir . Mutlaka -1 ile 0.5 arasındadır, ancak genellikle pozitiftir. Bazı insan yapımı malzemeler ve bazı doğal malzemeler (bazı kuvars açısından zengin tortul kayaçlar ) negatif bir Poisson oranına sahiptir; Bu özel malzemeler, olduğu söylenmektedir auxetic . Herhangi bir malzeme için elde edilen deneysel değerler genellikle 0.3'e yakındır.

İlişkiler

İzotropik malzeme durumu

• Malzemenin daralmasına bağlı olarak ΔV / V hacmindeki değişim aşağıdaki formülle verilebilir (sadece küçük deformasyonlar için geçerlidir):

ΔVV0≈(1-2ν)ΔLL0{\ displaystyle {\ frac {\ Delta V} {V_ {0}}} \ yaklaşık (1-2 \ nu) {\ frac {\ Delta L} {L_ {0}}}} Gösteri

Izotropik bir malzemeden oluşan ve başlangıç ​​hacmi ve son hacmi olan bir küp olsun . Bu nedenle ikisi arasındaki ilişkinin olduğu yer: V0=L03{\ displaystyle V_ {0} = L_ {0} ^ {3}}V=L⋅l2=L0(1+ϵ)⋅(L0(1-ν⋅ϵ))2{\ displaystyle V = L \ cdot l ^ {2} = L_ {0} (1+ \ epsilon) \ cdot (L_ {0} (1- \ nu \ cdot \ epsilon)) ^ {2}}
ϵ=ΔLL0{\ displaystyle \ epsilon = {\ frac {\ Delta L} {L_ {0}}}}

V=(V0+ΔV)=V0⋅(1+ϵ)⋅(1-ν⋅ϵ)2{\ displaystyle V = (V_ {0} + \ Delta V) = V_ {0} \ cdot (1+ \ epsilon) \ cdot (1- \ nu \ cdot \ epsilon) ^ {2}} veya geliştirerek:

V=(V0+ΔV)=V0⋅(1+ϵ-2⋅ν⋅ϵ+ν2⋅ϵ2-2⋅ν⋅ϵ2+ν2⋅ϵ3){\ displaystyle V = (V_ {0} + \ Delta V) = V_ {0} \ cdot (1+ \ epsilon -2 \ cdot \ nu \ cdot \ epsilon + \ nu ^ {2} \ cdot \ epsilon ^ { 2} -2 \ cdot \ nu \ cdot \ epsilon ^ {2} + \ nu ^ {2} \ cdot \ epsilon ^ {3})}

Küçük deformasyonlar varsayımı, ikinci mertebenin koşullarını ihmal etmeyi mümkün kılar, sonra şu elde edilir:

V0+ΔV=V0⋅(1+ϵ-2⋅ν⋅ϵ){\ displaystyle V_ {0} + \ Delta V = V_ {0} \ cdot (1+ \ epsilon -2 \ cdot \ nu \ cdot \ epsilon)}

ΔV=V0⋅(ϵ-2⋅ν⋅ϵ){\ displaystyle \ Delta V = V_ {0} \ cdot (\ epsilon -2 \ cdot \ nu \ cdot \ epsilon)}

bu ilişkiyi başlangıç ​​hacmine bölerek  : V0{\ displaystyle V_ {0}}

ΔVV0=(1-2ν)⋅ϵ{\ displaystyle {\ dfrac {\ Delta V} {V_ {0}}} = (1-2 \ nu) \ cdot \ epsilon}

• Elastisite izostatik modülü ( ) ile ilişkilidir Young modülü ( Poisson oranı ile () ilişkisi ile):K{\ displaystyle K}E{\ displaystyle E}ν{\ displaystyle \ nu}

K=13E(1-2ν){\ displaystyle K = {\ frac {1} {3}} {\ frac {E} {(1-2 \ nu)}}}

Bu ilişki, izostatik elastisite modülünün pozitif kalması için ½'dan daha az kalması gerektiğini göstermektedir . Ayrıca ν'nin belirli değerlerini de not ediyoruz: ν{\ displaystyle \ nu}

• ν = 1/3 için K = E idi .
• ν → 0.5 için K → ∞ sıkıştırılamazlığımız var ( örneğin kauçuk durumunda )

• İle Young modülü ( bir fonksiyonu olarak ifade edilmiştir) kayma modülü ( ) ve  :E{\ displaystyle E}G{\ displaystyle G}ν{\ displaystyle \ nu}

E=2(1+ν)⋅G{\ displaystyle E = 2 (1+ \ nu) \ cdot G}.

Bu ilişki , kayma modülünün negatif olmaması durumunda -1'den daha düşük olamayacağının altını çizer (sıkıştırılır çekilmez gerilimde istenir!). ν{\ displaystyle \ nu}

Bir laminat durumu (enine izotropik)

İkincil bir Poisson oranı daha sonra aşağıdaki ilişki ile tanımlanır:

E1ν12=E2ν21{\ displaystyle {\ frac {E_ {1}} {\ nu _ {12}}} = {\ frac {E_ {2}} {\ nu _ {21}}}}

burada ve vardır Young modülü malzeme ve ikincil Poisson oranıdır. E1{\ displaystyle E_ {1}}E2{\ displaystyle E_ {2}}ν21{\ displaystyle \ nu _ {21}}

Doğal malzeme durumu

Poisson oranı, doğrudan ölçülen boylamasına uzama ve enine kasılmadan hesaplanabilir.

Çok sert malzemeler için ölçülmesi daha uygun olabilir yayılma hızı ve P-dalgalan, ve S-dalgaları , buna bağlı sayesinde Poisson oranı elde:

ν=12[1-1(VPVS)2-1]{\ displaystyle \ nu = {\ frac {1} {2}} \ sol [1 - {\ frac {1} {\ sol ({\ frac {V _ {\ mathrm {P}}} {V _ {\ mathrm {S}}}} \ sağ) ^ {2} -1}} \ sağ]}.

Basit bedenler

Katı haldeki çoğu basit cisim , 0,2 ile 0,4 arasında bir Poisson oranına sahiptir. Bu basit cisimlerin  64'ünden sadece 6'sının katsayısı 0,4'ten büyüktür ( Si  : 0,422; Au : 0,424; Pb  : 0,442 ; Mo  : 0,458; Cs  : 0,460; Tl  : 0,468) ve 4 katsayısı 0'dan küçüktür, 2 ( Ru  : 0.188; Eu  : 0.139; Be  : 0.121; U  : 0.095); hiçbiri yardımcı değildir .

Oksitler

2018'de test edilen 160 oksit , ortam koşullarında tek bir yardımcı , kristobalit α ( ν = -0.164) ve geri kalanı 20 ila 1500  ° C'dir . Kuvars (:, diğer oksitler daha Poisson oranı önemli ölçüde daha küçük olan ν = 0.08 oda sıcaklığında karıştırıldı.

Oksitlerin% 97.4'ü için Poisson oranı 0.150 ile 0.400 arasındadır ( ortalama  : 0.256; standart sapma  : 0.050). Genel olarak, Poisson oranı olan pozitif bir korelasyon ile yoğunluk  : (kristobalit ve kuvars hariç), fakat belirlenmesi katsayısı r 2 , çok yüksek değildir: 0.28. Korelasyon, sadece aynı retiküler sistemde kristalleşen oksitleri düşündüğümüzde daha iyidir  : ν≈0.0285ρ-0.1227{\ displaystyle \ nu \ yaklaşık 0 {,} 0285 \, \ rho -0 {,} 1227}

Poisson oksit oranı

Sistem	değil	Korelasyon denklemi	r 2
altıgen	8	ν≈0.0506ρ+0.067{\ displaystyle \ nu \ yaklaşık 0 {,} 0506 \, \ rho +0 {,} 067}	0,99
üç köşeli	24	ν≈0.0852ρ-0.1267{\ displaystyle \ nu \ yaklaşık 0 {,} 0852 \, \ rho -0 {,} 1267}	0.83
kübik	70	ν≈0.0852ρ-0.1267{\ displaystyle \ nu \ yaklaşık 0 {,} 0852 \, \ rho -0 {,} 1267}	0.46
dörtgen	19	ν≈0.0525ρ-0.0264{\ displaystyle \ nu \ yaklaşık 0 {,} 0525 \, \ rho -0 {,} 0264}	0.36
ortorombik	33	ν≈0.0129ρ+0.1873{\ displaystyle \ nu \ yaklaşık 0 {,} 0129 \, \ rho +0 {,} 1873}	0.27

1. İncelenen benzersiz monoklinik oksit Poisson oranı 2,271'dir.
2. n  : doğrusal regresyonda dikkate alınan oksitlerin sayısı.

Silikatlar

2018'de test edilen 301 silikatın Poisson oranı (9 siklosilikat , 43 inosilikat , 219 neosilikat , 5 filosilikat ve 25 tektosilikat ) kuvars için 0,080 ile zirkon için 0,365 arasında değişmektedir . Bu iki uç durumu hariç tutarsak, ν 0.200 ile 0.350 arasında değişir (ortalama: 0.261; standart sapma: 0.030).

Diğer inorganik bileşikler

Poisson'un karbonat , halojenür , fosfat , sülfat ve sülfit oranı 0,091 ile 0,379 arasında değişmektedir:

Poisson'un farklı kimyasal bileşik oranı

Bileşikler	değil	Değer aralığı	Ortalama	Standart sapma
Karbonatlar	12	0.178-0.319	0.288	0.041
Halojenürler	10	0.133-0.310	0.258	0.048
Fosfatlar	8	0.091-0.316	0.243	0.083
Sülfatlar	8	0.191-0.379	0.305	0.057
Sülfitler	10	0.160-0.376	0.290	0.086

Bazı sayısal değerler

Malzemelerin mekanik özellikleri bir numuneden diğerine değişir. Bununla birlikte, hesaplamalar için aşağıdaki değerler iyi bir yaklaşım olarak kabul edilebilir. Poisson oranının birimi yoktur.

Saf metaller Malzeme ν Alüminyum (Al)  0.346 Berilyum (Be)  0.032 Bor (B)  0.21 Bakır (Cu)  0.33 Demir (Fe)  0.21 - 0.259 Magnezyum (Mg)  0.35 Altın (Au)  0.42 Kurşun (Pb)  0.44 Titanyum (Ti)  0.34

Alaşımlar Malzeme ν Yapısal çelik  0.27 - 0.30 Paslanmaz çelik  0.30 - 0.31 Dökme demir  0.21 - 0.26 Pirinç  0.37

Camlar, seramikler, oksitler, metal karbürler, mineraller Malzeme ν Islak kil  0.40 - 0.50 Somut  0.20 Kum  0.20 - 0.45 Silisyum Karbür (SiC)  0.17 Eğer 3 N 4'e  0.25 Bardak 0.18 - 0.3

Doğal materyaller Malzeme ν Polimerler , lifler  0.30 - 0.50 Silgi  0.50 mantar  0.05 - 0.40 Köpük  0.10 - 0.40 Pleksiglas ( Polimetil metakrilat )  0.40 - 0.43

Notlar ve referanslar

Notlar

1. kristobalit α a, polimorfik meta kararlı bir silikon dioksit SiO 2 .
2. kuvars katı bir silikat konuşma değildir (diğer bir deyişle a, oksit ), ama olarak sınıflandırılır yapısal silikatlar , çeşitli in mineral sınıflandırmaları .

Referanslar

1. (en) Shaocheng Ji, Le Li, Hem Bahadur Motra, Frank Wuttke, Shengsi Sun ve diğerleri. , "  Poisson Oranı ve Doğal Kayaların Yardımcı Özellikleri  " , Jeofizik Araştırma Dergisi - Katı Toprak , cilt.  123, n o  2Şubat 2018, s.  1161-1185 ( DOI  10.1002 / 2017JB014606 ).
2. (inç) A. Yeganeh-Haeri, DJ Weidner ve JB Parise, "  α-kristobalitin esnekliği: Negatif Poisson oranına sahip bir silikon dioksit  " , Science , cilt.  257, n o  507031 Temmuz 1992, s.  650-652 ( DOI 10.1126 / bilim.257.5070.650 ) .

İlgili Makaleler

• Oksetizm
• Simeon Denis Poisson

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">