Legendre sabiti
Legendre sabiti bir olan matematik sabiti matematikçi tarafından önerilen Adrien-Marie Legendre hangi bugün tek tarihsel çıkarı ve.
1808'de Legendre varsayımları, daha sonra asal sayı teoremi olarak adlandırılacak olan şeyin kesin bir biçimidir . Şöyle yazıyor: “Asal sayıların dizisi son derece düzensiz olmasına rağmen, yine de çok tatmin edici bir kesinlikle bu sayılardan 1'den belirli bir x sınırına kadar kaç tane olduğunu bulabiliriz . Bu soruyu çözen formül şudur:
y=xgünlük.x-1.08366{\ displaystyle y = {\ frac {x} {\ log .x-1.08366}}}günlüğü. x hiperbolik bir logaritmadır. Başka bir deyişle, Legendre şunu iddia ediyor:
π(x)=xgünlük(x)-AT(x){\ displaystyle \ pi (x) = {\ frac {x} {\ log (x) -A (x)}}}nerede
ve nerede π ( x ) , x'ten küçük asal sayıların sayma fonksiyonunu gösterir .
limx→∞AT(x)=1.08366,{\ displaystyle \ lim _ {x \ ila \ infty} A (x) = 1 {,} 08366,}
Var olan sayı , Legendre sabiti olarak adlandırılır . Ancak değeri Legendre'nin varsaydığı kadar değil.
AT: =limx→∞AT(x){\ displaystyle A: = \ lim _ {x \ ila \ infty} A (x)}
1849'da Tchebycheff , sınır varsa bunun 1'e eşit olması gerektiğini gösterdi. 1980'de Pintz tarafından daha basit bir kanıt verildi.
Bu, asal sayı teoreminin (1896'da bağımsız olarak Jacques Hadamard ve Charles-Jean de La Vallée Poussin tarafından gösterilmiş olan), 1899'da La Vallée Poussin tarafından gösterilen daha kesin biçimde doğrudan bir sonucudur .
π(x)=Lben(x)+Ö(xe--degünlükx)ne zaman x→∞,{\ displaystyle \ pi (x) = {\ rm {Li}} (x) + O \ sol (x \ mathrm {e} ^ {- a {\ sqrt {\ log x}}} \ sağ) \ quad { \ text {ne zaman}} x \ - \ infty,}-den
π(x)=xgünlükx+x(günlükx)2+Ö(x(günlükx)2),{\ displaystyle \ pi (x) = {\ frac {x} {\ log x}} + {\ frac {x} {(\ log x) ^ {2}}} + o \ sol ({\ frac {x } {(\ log x) ^ {2}}} \ sağ),}
ve bu nedenle A vardır ve 1'e eşittir.
Referanslar
-
A.-M. Legendre, Sayı teorisi üzerine deneme, Paris, Courcier 1808, s. 394 .
-
(itibaren) Edmund Landau , Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen , Chelsea,1974, s. 17( 3 inci baskı. Düzeltildi, 2 cilt. Bir).
-
(in) , J. Pintz , ' 'in prim sayısı Legendre formül " , Amer. Matematik. Aylık , cilt. 87,1980, s. 733-735.
-
" ζ ( s ) fonksiyonunun sıfır dağılımı ve aritmetik sonuçları hakkında ", Bull. Soc. Matematik. Fr. , cilt. 24,1896, s. 199-220 ( çevrimiçi okuyun ).
-
" Asal sayı teorisi üzerine analitik araştırma ", Annales de la Société Scientifique de Bruxelles , cilt. 20,1896, s. 183-256 ve 281-361.
-
La Vallée Poussin, C. Mém. Taçlı Acad. Roy. Belçika , cilt. 59, 1899, s. 1-74 .