In matematik , bir mesafe bir olan uygulama iki noktayı ayıran uzunluğunu demek ki mesafenin sezgisel fikir, formalizes. Fréchet , daha sonra Hausdorff tarafından geliştirilen ve daha sonra metrik uzay kavramını ortaya koyan olağan mesafenin temel özelliklerinin analizi yoluyla olur . Birçok analiz ve sayı teorisi sorusuna geometrik bir dil sunar .
Belirli aksiyomları karşılayan bir uygulama olarak görülen mesafenin tanımından, iki parça arasındaki mesafe veya bir noktadan bir parçaya olan mesafe gibi diğer mesafe kavramları tanımlanabilir. uzaklık.
Adı verilen mesafe bir ilgili grubu E herhangi bir uygulama için tanımlar ürün E 2 = D x E grubu ℝ ve değerler + ait gerçek pozitif ya da sıfır ,
aşağıdaki özellikleri kontrol etmek:
Soyadı | Emlak |
---|---|
simetri | |
ayrılık | |
üçgen eşitsizlik |
Mesafeli bir kümeye metrik uzay denir .
UyarılarEk olarak, mesafenin ultrametrik olduğu söylenir :
Soyadı | Emlak |
---|---|
Ultrametri |
Böyle bir mesafenin bir örneği, p -adik değerleme teorisinde çok önemlidir . Üçgen eşitsizliğin ultrametrik bir uzayda geometrik yorumu, tüm üçgenlerin ikizkenar olduğunu söylemeye yol açar; dahası, bu kümede tanımlanan belirli yarıçaptaki tüm toplar bu kümenin bir bölümünü oluşturur; bu yarıçapı 0'dan artırarak, mekana, özellikle hiyerarşik kümeleme için otomatik sınıflandırmada kullanılabilen, hiyerarşik bir yakınlık yapısı verilir .
Bir üzerinde normlu vektör alanı , mesafe d “ile oluşturulan” norm ile tanımlanır:
.Özellikle, ℝ n'de , genellikle Öklid mesafesi (veya 2-mesafe ) ile verilse de, iki nokta arasındaki mesafeyi çeşitli şekillerde tanımlayabiliriz . Verilen iki nokta E , ( x 1 , x 2 , ..., x n ) ve ( y 1 , y 2 , ..., y n ) , farklı mesafeler ifade şöyledir:
Soyadı | Ayar | Fonksiyon |
---|---|---|
Manhattan mesafesi | 1-mesafe | |
Öklid mesafesi | 2-mesafe | |
Minkowski mesafesi | p- mesafe | |
Chebyshev'e uzaklık | ∞- mesafe |
2-mesafe , Pisagor teoreminin bir n boyut uzayına uygulanmasını genelleştirmeye izin verir . Bu en "sezgisel" mesafedir.
P -uzaklık nadir durumlar dışında kullanılan p = 1, 2 ya da ∞ . ∞ -uzaklık sıkı tanımını sağlayan komik özelliği vardır kübik küreler (bkz oksimoron ). 1-mesafe, oktahedral kürelerin tanımlanmasına izin verir .
Herhangi bir set üzerinde, ayrı bir mesafe d ile tanımlanır: Eğer X = Y , sonra d ( x , y ) = 0 ve, aksi halde, d ( x , y ) 1 =.
Permütasyonlar arasındaki mesafeleri tanımlamak da mümkündür . Aşağıdaki örnek, genomun yeniden düzenlenmesinde yaygın olarak kullanılmaktadır . Let S olmak çeşitli işlemleri modelleme permütasyon kümesi; o zaman iki permütasyon π ve σ arasındaki mesafe , bu sekans ' yı σ' ya çevirecek şekilde S ' nin elemanlarının çarpımı tarafından oluşturulan minimal bir sekansın uzunluğudur .
Bu mesafeler, bir dizide bulunan bozukluğu çeşitli şekillerde ölçmek için de kullanılabilir. Bu ölçümler daha sonra çeşitli sıralama algoritmalarının performansını analiz etmek veya seçilen düzensizlik ölçüsüne göre optimum sayıda karşılaştırma gerçekleştiren yeni sıralama algoritmaları oluşturmak için kullanılır.
Levenshtein mesafe dizi kümesini üzerinde tanımlanan bir mesafe bir örneğidir. Bu, her iki kanal için tanımlandığı bir ve B zinciri dönüştürmek için bir ekleme işlemi / çıkarma / değiştirme minimum karakter sayısı olarak A dizge B .
Örnekler:
Bu tür bir mesafe genellikle filtreleme / hata düzeltme uygulamaları için kullanılır, örneğin kelime işlem programları için otomatik düzeltme (program, kötü kelimeye en küçük mesafeye sahip kelimeleri bir sözlükte arar. Yazılan), optik numaranın eşleştirilmesi plaka okumaları ...
Bu mesafenin Damerau-Levenshtein mesafesi gibi varyasyonları vardır .
Aynı genel prensip, örüntü tanıma uygulamaları için de kullanılabilir .
Terimi mesafesi bazen makalenin başında sunulan metrik alanlar için klasik tanımına uymayan adayı uygulamalar için kullanılır.
Let E 1 ve E 2 olduğu bir metrik alan iki boş olmayan parçalar e bir mesafe ile donatılmış d , biz, bu iki dizi arasındaki mesafeyi tanımlar:
Boş olmayan pozitif gerçekler kümesinin alt sınırı olarak pozitif bir gerçektir .
NB Bu "mesafe", yukarıda tanımlanan aksiyomlar anlamında E'nin parçaları kümesi üzerinde bir mesafe değildir . Özellikle, iki küme arasındaki mesafe sıfır ise, ondan bu kümelerin eşit olduğu veya hatta yapışmalarının karşılandığı çıkarılamaz .Bununla birlikte, bir metrik uzayın kompakt kısımları arasında gerçek bir mesafe tanımlamak mümkündür . Bunun için bkz: Hausdorff mesafesi .
Bir noktaya indirgenmiş iki kümeden birini alarak önceki tanımı özelleştirebiliriz.
Eğer bir Metrik alan bir boş olmayan bir parçası olan E ve eğer X bir elemanıdır E , biz mesafeyi tanımlayan x için A bir şekilde daha düşük bağlanmış :
Bu, A'yı karşılamayan en büyük top açık merkez x'in yarıçapıdır .
D ( x , A ) = 0'ın genel olarak x'in A'nın elemanı olduğu anlamına gelmemesine dikkat edilmelidir . Örneğin, mutlak değerle ℝ 'de, 0'dan açık aralığa olan mesafe] 0, 1 [sıfırdır veya herhangi bir gerçek ile rasyonel kümesine olan mesafe de sıfırdır.
Daha açık bir şekilde, mesafe x için A , ancak ve ancak sıfır X a, yapışan noktası için , A (: Yukarıdaki ima doğrudur, ancak ve ancak, diğer bir deyişle bir edilir kapalı ). Daha genel olarak, mesafe x de A mesafesine eşittir x yapışmasına A .
Haritası E bir elemanı ℝ içinde x ve D ortakları d ( x , A ) olan , sürekli , ve hatta 1- Lipschitzian : .
İçinden yönlendirilmiş bir çizginin geçtiği bir afin uzayın iki noktası A ve B olsun (bir yöne sahip, yani sıfır olmayan bir vektör tarafından oluşturulan bir çizgi ). Cebirsel uzaklık diyoruz den A için B gerçek örneğin:
Biz gelen cebirsel mesafe olduğunu gösterebilir A için B (not ) değer:
Dikkat, cebirsel mesafe , simetrik olmadığı için bir mesafe değildir :
Bir mesafenin tanımının aksiyomlarını hafifleterek, ikincisinin çeşitli genellemelerine ulaşırız:
Soyadı | sonlu değerler | simetri | eşitsizliği | ||
---|---|---|---|---|---|
mesafe | Evet | Evet | Evet | Evet | Evet |
kuasimetrik | Evet | Hayır | Evet | Evet | Evet |
metametrik | Evet | Evet | Hayır | Evet | Evet |
psödometrik | Evet | Evet | Evet | Hayır | Evet |
yarı metrik | Evet | Evet | Evet | Evet | Hayır |
hemimetrik | Evet | Hayır | Evet | Hayır | Evet |
prametrik | Evet | Hayır | Evet | Hayır | Hayır |
fark | Hayır | Evet | Evet | Hayır | Evet |
Mesafenin değerlerini [0, + ∞ [olarak alması koşulu, “ sıralı bir filtreleme setindeki değerlerle mesafeler” dikkate alınarak da gevşetilebilir . Bu durumda aksiyomların yeniden formüle edilmesi, tekdüze uzayların inşasına yol açar : farklı noktaların yerel topolojilerini karşılaştırmaya izin veren soyut bir yapıya sahip topolojik uzaylar.
Çeşitli mesafe varyantlarına karşılık gelen kategoriler arasında, "genişletilmiş" sahte uzayların kategorileri arasında, morfizm uygulaması 1- Lipschitz ile "genişletilmiş" ( yani + ∞ değerine izin vermek için ), en iyi performansı gösterendir: orada rastgele ürünler oluşturabilir ve ortak ürünler ve bölüm nesneleri oluşturur. Uzatılmış ürünleri kaldırırsak , yalnızca bitmiş ürünleri ve ortak ürünleri alabiliriz. Takma adı kaldırırsak , artık bölüm alamayız. yaklaşım alanları , bu iyi özellikler kategori muhafaza metrik boşlukların bir genelleme bulunmaktadır.
Ayrıca diferansiyel geometride , bir diferansiyel manifold üzerinde (ve artık sadece bir küme üzerinde değil ) Riemann ve sözde Riemann ölçütleri kavramları vardır .
Simetriye saygı göstermeyen metrikler genellikle kuasimetrik yerine "asimetrik ölçüler" olarak adlandırılır. Quasi terimi genellikle bir özelliği sabite kadar belirtmek için geometride kullanılır.