Ayrışma gövdesi

In matematik ve daha doğrusu içinde cebir teorisinde değişmeli alanlar , bir ayrışma alanında veya bazen kök alanında ve hatta dağıtım alanında a, sıfır olmayan polinom P bir olan asgari alan uzantısı üzerinde P ise bölünmüş . Sıfır olmayan bir polinomun her zaman izomorfizme kadar benzersiz bir ayrışma gövdesine sahip olduğunu ve bunun sonlu ve normal bir uzantı olduğunu gösteriyoruz .

Dahası, polinom ayrılabilir ise, bir Galois uzantısıdır . Galois'in teori daha sonra, özellikle de geçerlidir ilkel eleman teoremi ve Galois'in teorinin temel teoremi .

Tanım

Değişmeli alanı göz önüne alındığında, K ve sıfır olmayan polinom P katsayılı K , bir ayrıştırma alanı gelen P üzerinde K bir bir uzantı L arasında K gibi ifade edilmektedir:

Bir de verilen cebirsel kapanış Q, aynı zamanda bir ayrıştırma alanı olan Q eşsiz bir alt uzantısı vardır P  : bu kökleri tarafından oluşturulan Q alt uzantısı P Q olarak. Genel olarak, P'nin herhangi bir ayrışma alanı bu of alt alanına izomorfiktir.

Teklif. - K [ X ] ' in sıfır olmayan herhangi bir polinomu , izomorfizme kadar benzersiz bir ayrışma alanına sahiptir. Bu, K'nin sonlu bir uzantısıdır ve P'nin bölündüğü herhangi bir uzantının bir alt uzantısıdır.

İzomorfizme kadar varoluş ve benzersizlik doğrudan gösterilebilir (yukarıdaki gibi, bir cebirsel kapanmanın yakınında izomorfizme kadar varoluş ve benzersizlik varsayılmadan).

  • Herhangi bir P ayrışma vücut L izomorf:
    Let L 'olarak bir bozunma gövde. Önceki bir noktaya göre, bir aşırı uzantısıdır L bir vardır yani, birebir K gelen -morphism İçeride ISTV melerin RWMAIWi'nin L içine L ' . Üstelik bu yana P konusunda bölünmüş olan L , bütün kökleri P içinde L ' aittir θ'nın görüntüye (onlar köklerinin görüntüleri çünkü P içinde L ) yani bu görüntü olduğu L' tamsayı ve θ olduğunu bir izomorfizm.

    • Bir alan bir uzantısı olduğunu Not K bir polinom sadece bir ayrışma alanını içerebilir P üzerinde K , bu birinin yırtılmalar (aralarında izomorf) ait çeşitli alanları içerebilir iken,.

    Örnekler

    Polinom X 2 + 1'in gerçek sayılar alanı üzerindeki ayrışma alanı, komplekslerin alanıdır .

    Polinom P ( X ) = X 3 - 2, rasyonel sayıların ℚ alanında indirgenemez (aslında, indirgenemez olmayan herhangi bir derece 3 polinomunun rasyonel bir kökü vardır). Let r, gerçek küp kökü 2 ve j olduğu iki biri birlik ilkel (karmaşık) küp kökleri . Diğer iki kök P olan j r ve j 2 r . P'nin ℚ üzerindeki ayrışma alanı L = ℚ ( r , j r , j 2 r ) 'dir.

    P'nin ayrışma gövdesi, yukarıdaki varoluş kanıtındaki gibi inşa edilebilir.

    K 1 uzantısının ℚ ( r ) ' ye eşit olduğunu , yani r tarafından üretilen uzantıyı düşünün . Yana P olan indirgenemez , eğer bu bir kırık alanı arasında P ℚ [izomorf, X ] / ( P , tabanı (1,), R , r 2 ).

    On K 1 , polinom P bir kök vardır r . P ( X ) 'in X - r polinomuna bölünmesi eşitliği verir:

    O anlamak L eşittir K 1 ( s derecesi 2'nin bir uzantısıdır) K 1 ve tabanı olan {1, s }.

    [ L : ℚ] = [ L : K 1 ] [ K 1 : ℚ] = 3 × 2 = 6 derecelerinde eşitlik var ( cf. Cebirsel uzantıların tanımları ve ilk özellikleri ). L on ℚ'nin temelinin {1, r, r 2 , s, rs, r 2 s } olduğu sonucuna vardık .

    Galois uzantısı

    Nitekim, P indirgenemez değilse , kesin pozitif derecelerdeki iki polinom P 1 ve P 2'nin çarpımıdır. köklerinin grubu p 1 köklerinin kümesinden ayrık olan P 2 için p ayrılabilir. P 1 kökünün Galois grubunun bir öğesi olan morfizmi ile görüntülenmesi zorunlu olarak bu polinomun bir köküdür, bu nedenle P 2'nin kökü olamaz , bu da grubun geçişli olarak işlemediğini kanıtlar. Tersine, eğer P indirgenemezse, α ve β P'nin iki köküdür . Let m morfizmaları K içinde (α), K ortakları p a için (P). Yukarıda gösterilen genel özellik (önermenin ispatında tümevarım yoluyla), m alanının morfizminin , ayrışma alanının bir otomorfizm σ'suna uzandığını gösterir . Dolayısıyla, Galois grubunun, grubun geçişli olarak çalıştığını gösteren σ (α) = β olacak şekilde bir σ elemanı vardır.

    Notlar ve referanslar

    1. Alain Kraus, "  Theory of Galois: DEA crash course  " , University of Paris 6 ,1998.
    2. Veya "kök gövde"  : Henri Lombardi ve Claude Quitté, Değişmeli cebir - Yapıcı yöntemler - Sonlu tip projektif modüller , Calvage & Mounet,2016( 1 st  ed. , 2011) ( arXiv  1611,02942 , çevrimiçi sunum ) , s.  117.
    3. A.-M. Simon, "  Matematikte Bac 2 kursu: sayı teorisi ile ilk temas  " , ULB'de ,2010, s.  99, terminolojiyi tercih ediyor: "yerleştirme gövdesi", ancak "bazı yazarların [buna [diyoruz]" corps de rupture "( İngilizcede bölünme alanı ) veya hatta" köklerin gövdesi "olduğunu belirtir, ancak bu soyadı biraz belirsizdir . " " Kırılma kuvveti "terimi, en az vücut kaldırma makalesinde anlatıldığı gibi değildir . İngilizcede yanlış anlama yok: bölme alanı aslında ayrıştırma gövdesidir.
    4. Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ baskıların ayrıntıları ], 1981, yak. III 7.
    5. Bu özellik, örneğin: Régine ve Adrien Douady , Algèbre et teories galoisiennes [ baskıların ayrıntıları ], 2005, s.  307 .

    Kaynakça