Gelen matematik , bir grup aksiyonu bir ilgili dizi bir bir dış bileşim kanunu grubu ilave koşulları karşılayan set. Daha doğrusu, herkese verilir elemanın bir grubunun, permütasyon tüm bu şekilde içinde kümesinin, bijections edilir oluşan bir tarzda uyumlu olan hukuk grubunun.
Verilen bir dizi E ve bir grup G mevzuatı da çoğalması ile ifade edilmektedir ve nötr elemanı ifade edilir, bir işlem (veya işlem arasında) G ile E bir uygulamadır: aşağıdaki özellikleri kontrol etmek: ; .
Ayrıca G'nin tüm E üzerinde çalıştığı (veya olduğu) söylenir . G grubunun etkisi altında E kümesinin kararlı olup olmadığını kontrol etmek önemlidir .
Bakış eşdeğer nokta grubu söyleyerek oluşur G grubu üzerinde çalışır E bir varsa grupların morfizmalar , söylenen ilişkili ,, eylem grubunun G olarak simetrik bir grup S E bütünün E . Böyle bir morfizm, G grubunun bir temsili olarak adlandırılır .
Bu morfizm, her şey için eylemle bağlantılıdır .
Grubu durumunda e ek bir yapı ile temin edilmektedir (cebirsel, geometrik, topolojik), bir tek morfizimler dikkate gibi korur tüm bu yapı . Örneğin, E bir vektör uzayı ise, bunun GL ( E ) cinsinden değerlenmesini isteriz .
Önceki paragraftaki tüm örnekler sol eylemlerdir. Ancak sağdaki eylemleri de dikkate almakta fayda var. Sağ tarafta bir işlem yapacağız eğer . Böylece, bir G grubu , sağdaki çevirilerle kendi başına çalışır. Tabii ki doğal ve not edilmesi uygundur
sağda bir eylem.
Ters grubu simetrik grubunun S D permütasyon dizi E bileşimin hakları ile sağlanır . Bir E kümesinde bir G grubunun doğru bir hareketinde, S E'nin karşısında G'den bir homomorfizm vardır . Bu homomorfizmi bir eleman uygulanır g arasında G permütasyon ile X ↦ x⋅g arasında E .
Yorum Yap. Bugün kullanılan fonksiyonel derecelendirme, doğal olarak solcu hisse senetlerinin lehine sonuçlanıyor. Üstel notasyon (örneğin Emil Artin tarafından geometrik cebirler hakkındaki kitabında kullanıldı ), not ettiğimiz şeyin yazıldığı yerde , sağda ayrıcalıklı eylemlere yol açacaktır.
Bu tanımlar yörünge bir eleman x ve E ile . X'in yörüngesi , G'nin eylemi altında x ile ilişkili E öğeleri kümesidir . " Y , x'in yörüngesindedir " ilişkisi , E üzerindeki bir eşdeğerlik bağıntısıdır ; eşdeğerlik sınıfları yörüngelerdir.
Özellikle yörüngeler E'nin bir bölümünü oluşturur .
Stabilizör (veya izotropi alt grubu , bir eleman) x ve E etkisi altında , G grubu olduğu eylemleri altında x değişmez bırakan öğeler . Bu bir alt grup arasında G . Aynı yörüngenin iki elemanının stabilizatörleri aşağıdaki formülle birleştirilir: . Özellikle :
Üstelik uygulama bir bijection olduğu ilgili (bu özellik "adı altında aşağıda hatırlatılacaktır böylece bir yörünge üzerindeki her noktanın stabilizatör indeks bu yörünge kardinal eşit olduğunu, sınıfların formül ").
Benzer bir şekilde, G grubunun bir g öğesi tarafından sabitlenen noktaların Fix g kümesini , g eylemi altında E değişmezinin öğeleri kümesi olarak tanımlayabiliriz : .
Grubu g arasında G öyle ki g⋅A = A olarak adlandırılır stabilizatör A altında G ve belirtilen bıçak ( A ); bir elemanın stabilizatör A bölgesinin için pay ( G üzerine) , doğal olarak bu ilişkili E .
Misal:Rubik küpünde başarılı olmanın bir yöntemi ( Fridrich yöntemi ), ilk iki kronu yapmak, ardından son kronun küplerini üst yüze sahip olacak şekilde yönlendirmek ve son olarak da küpleri değiştirmektir (Permute Last Layer). Böylece P1'in ilk iki kronun ve son yüzün dengeleyicisi olduğunu görebiliriz. Bir grubun doğası doğal olarak ortaya çıkar: Örneğin iki algoritma P1 oluşturursak, başka bir tane elde ederiz.
Böylelikle, Rubik küpü, bir sette grup eylemi kavramını göstermeyi mümkün kılar.
Bir ve yalnızca bir yörüngeye sahip olan bir eylemin geçişli olduğu söylenir . Bu nedenle , bir E kümesi üzerindeki bir G grubunun eylemi, ancak ve ancak E'nin boş olmaması ve E'nin herhangi iki öğesinin, grubun bir öğesinin eylemiyle birbirine gönderilebilmesi durumunda geçişlidir :
.Daha genel olarak, bir E kümesindeki (en az n öğeden oluşan) bir eylemin, farklı öğelerin n- üçlüleri kümesi üzerindeki karşılık gelen eylem geçişli ise , yani n farklı nokta için x 1 ,… n-geçişli olduğu söylenir . , x n ve n farklı noktalar y 1 ,…, y n , E'de keyfi , her zaman grubun en az bir g öğesi vardır, öyle ki ikimiz de g · x 1 = y 1 ,…, g · x n = y n .
Dahası, böyle bir g her zaman benzersizse, başka bir deyişle , farklı öğelerin n- katları üzerindeki eylem basitçe geçişli ise, eylemin kesinlikle n-geçişli olduğu söylenir .
Permütasyon bir grup geçişli olduğu söylenir (sırasıyla. , N -transitive, Resp. Kesinlikle n -transitive) doğal işlem geçişli ise (sırasıyla. , N -transitive, Resp. Kesinlikle n -transitive).
Bu izler basit sonlu grupların sınıflandırılması 4-geçişli permütasyon gruplar yalnızca simetrik ve olduğu alternatif gruplar (derece ≥ 4 ve sırasıyla ≥ 6) ve Mathieu gruplan M 24 , E 23 , M 12 ve M 11 : dahası, M 24 ve M 12 5 geçişlidir.
Ürdün , 1873'te kesin olarak 6 geçişli permütasyon gruplarının , 6. ve 7. derecelerin simetrik grupları ve 8. derecenin değişen grubu olduğunu kanıtlamıştı .
Tüm dengeleyiciler nötr konuma indirilirse, başka bir deyişle, herhangi bir başka nötr unsur sabit nokta olmadan hareket ederse, eylem serbest olarak adlandırılır .
Tüm dengeleyicilerin kesişme noktası nötr konuma indirilirse, diğer bir deyişle, tüm noktaları yalnızca nötr düzeltirse , eylemin sadık olduğu (bazen etkili olduğunu da söyleriz ) söylenir .
.Özgür eylem sadıktır.
Benzer şekilde, morfizm
tarafından tanımlanan enjektedir.
Bir eylemin hem geçişli hem de ücretsiz olması halinde basitçe geçişli olduğu söylenir . Başka bir deyişle, alanın herhangi iki öğesi, grubun bir ve yalnızca bir öğesi tarafından üst üste gönderilir:
.Örneğin, sola (veya sağa) çevirilerle bir grubun kendi başına hareketi geçişlidir.
Değişmeli bir grubun sadık ve geçişli eylemi sadece geçişlidir. Aslında, daha genel olarak, bir G grubunun herhangi bir geçiş eylemi için , normal bir alt grubun yörüngelerine G tarafından izin verilir, bu nedenle hepsi aynı kardinaldir (bu nedenle, bu alt grup bir noktayı sabitlerse , tek tonlardır ).
Sonlu bir G grubunun bir X kümesi üzerindeki geçişli eylemi, ancak ve ancak G ve X aynı kardinaliteye sahipse geçişlidir .
Eğer G a, topolojik grup ve X, bir topolojik alan , eylem olduğu söylenir sürekli gelen harita ise G x X → X , ( g , x ) ↦ g⋅x olan sürekli , G x X sahip olan bir ürün topolojisi . X / G uzay yörüngelerinden sonra sağlanır bölüm topoloji ve X → X / G haritası edilir açıldı . Eğer X / G olduğu kompakt , eylem olduğu söylenir cocompact .
Eylem olduğu söylenir temiz durumda harita G x X → X x x , ( g , x ) ↦ ( g⋅x , x ) 'dir , temiz . Yörüngelerin alanı daha sonra ayrılır . Ayrık bir gruba uygun sürekli bir eylemin düzgün bir şekilde süreksiz olduğu söylenir (en) . Zaman G, bir yerel kompakt ve X ayrı, aksiyon doğru olup olmadığını ve herhangi iki nokta, sadece X ve Y ve X her zaman olduğu yakın çevre V x ve V Y bu şekilde V y sadece uygun Gv x bir için nispeten kompakt grubu d elemanları g arasında g . Zaman G ayrılır ve X, yerel kompakt, sürekli bir işlem, herhangi bir kompakt için, ancak ve ancak, eğer, uygun ise , K ve X , elemanlar kapalı g arasında G olan gK uygun K kompakttır. Eğer G a, kompakt bir grubu , parçaların (göreli) kompaktlık bu koşullar G otomatik olarak kontrol edilmektedir. Eğer G bir ayrık gruptur, bunlar dikkate parça sonluluğu eşdeğerdir.
Yörünge ve dengeleyici kavramları aracılığıyla, grup eylemleri kombinasyonlarda yararlı bir araçtır . Öte yandan, belirli grupların yapısıyla ilgili belirli sayıda özellik, argümanlar sayılarak gösterilebilir.
Özellikle G grubu bittiğinde sık sık iki kimlik ortaya çıkıyor .
G , bir X kümesi ve bir Y kümesi üzerinde çalışan (solda) bir grup olsun . Bu iki işlem olduğunu söyleyebiliriz olacak eşdeğer bir bijection mevcutsa f herhangi bir eleman için, öyle ki Y ile X g arasında G ve her eleman x ve X , elimizdeki
,burada noktalar G'nin sırasıyla X ve Y üzerindeki işlemlerini temsil eder .
Şimdi G , bir X veya H kümesi üzerinde (solda) Y kümesi üzerinde çalışan bir grup üzerinde (solda) çalışan bir gruba izin verin . Bu iki işlem aşağıda söylemek hemen hemen eşdeğer bir bijection mevcutsa ya da izomorfik f gelen X ile Y ve grupların izomorfizm gelen σ G ile H herhangi bir öğe için, öyle ki g arasında G ve her eleman x ve X , elimizdeki
,noktaları çalışmasını temsil eder G ile X ve bunun H ile Y, sırasıyla .
Söyleyerek Bu miktarlar, eğer ön * izomorfizm belirtmektedir s ↦ f ∘ s ∘ f -1 S X S ile Y , φ gelen grubun homomorfizması olduğunda ise G G için X aksiyonuna karşılık gelen G ile ilgili X , ise ψ gelen grubun homomorfizması belirtmektedir H S'ye Y aksiyonu tekabül eden H ile Y , daha sonra
.G = H ve σ'nun G'nin özdeşlik izomorfizmi olduğu özel durumda, aynı grubun iki işleminin denkliğini buluruz.
İki eylem hemen hemen eşitse, birincinin yörünge kümesi, ikincinin tüm yörüngelerine eşittir. Daha doğrusu, birincinin yörüngelerini ikincinin yörüngelerine bire bir karşılık gelecek şekilde yerleştirebiliriz, böylece iki karşılık gelen yörünge her zaman aynı kardinale sahip olur (ilk eylemin bir yörüngesine, görüntüsünün eşleştirme ile karşılık gelmesini sağlayın. f yukarıda ele alınmıştır). Özellikle, yarı eşdeğer iki eylemin her ikisi de geçişlidir veya her ikisi de geçişsizdir. Aynı şey çoklu geçişlilik, aslına uygunluk vb. Özellikleri için de geçerlidir .
Let G ve H iki grup kullanılır. Diyelim ki bir eylem G x H → H : ( g , h ) ↦ g ⋅ h arasında G (altta yatan grubu) üzerindeki H , aşağıdaki özelliğe sahiptir:
her eleman için gr arasında G tüm elemanlar için, h , k ve H , g ⋅ ( h * k ) = ( g ⋅ s ) * ( gr ⋅ k ),yıldız işareti H grubu yasasını temsil eder . Bu demektir ki, her elemanı, g arasında G , permütasyon H ↦ g ⋅ saat arasında , H , bir bir otomorfizm grubu H . Daha sonra G'nin H üzerindeki eyleminin otomorfizmlerin bir eylemi olduğunu söyleriz . Bu durumda, S H eyleminde G'nin homomorfizmi , değerlerini otomorfizm H grubundaki Aut ( H ) grubundan alır . Otomorfizmler tarafından H üzerindeki G'nin bir hareketi, bu nedenle , Aut ( H ) ' de G'nin bir homomorfizmine asimile edilebilir .
Örneğin, bir grubun konjugasyon yoluyla kendi üzerindeki eylemi, otomorfizmler ( iç ) tarafından yapılan bir eylemdir .
Let G olmak bir grup ile automorphisms bir grup çalışma H veya G 1 bir grup automorphisms bir grup çalışma H 1 . Biz bu iki eylem olduğunu söylemek neredeyse eşdeğer automorphisms (ve setlerde grupların eylemleri olarak değil sadece) bir izomorfizm mevcutsa (ve sadece bir eşleşme) tarafından eylemler olarak f den H üzerinde H 1 ve grupların eşbiçimlilik ait σ G ilgili g 1 herhangi bir öğe için, öyle ki g arasında g ve her eleman x ve X , elimizdeki
,noktaları sırasıyla çalışmasını temsil eder G ile H ve bu G 1 ile H 1 .
Otomorfizmler yoluyla grubun grup üzerindeki eylemleri, bir grubun yarı doğrudan (harici) ürününü bir başkası tarafından tanımlamayı mümkün kılar .